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高二数学参考答案
B 2.C 3．A．4.D 5. C 6．A 7.C 8.A 9．ABC 10.ACD 11．BD.
12．－3或3 13. 14.
15.【详解】（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率，
直线方程为，即；
②当直线l不过原点时，∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，
∴可设直线l的方程为：．
∵直线l过点P（-3，4），，解得a=-1．
∴直线l的方程为：，即．
综上所述，所求直线l方程为或．
（2）设直线l的方程为，由直线l过点P（-3，4）得：．
，化为，当且仅当a=-6，b=8时取等号．
∴的面积，其最小值为24．
16．（1）由频率分布直方图有，解得，
因为，所以中位数在区间内，设为x，则有，得，
（2）设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，“任选一道题，丙答对”，
则由古典概型概率计算公式得：，，所以有，
记“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有，且有与互斥，
因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立，
所以，
17.（1）由题可知，解得；
（2）由原始分在和中的频率之比为，
故抽取的6人中，原始分在中的有2人，记为，在中的有4人，记为，
则从6人中抽取2人，所有可能的结果有：
共15个基本事件，
其中抽取这2人中怡有一人原始成绩在内的结果有：
共8个基本事件，
所以抽取这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
（3），
.
18．（1）如图所示：作中点，连接，
，
是等边三角形，
又，
满足，即有，
而，所以，，平面，
平面，而平面，所以，又因为是中点，
所以.
（2）若，则，易知，
以点为原点，分别以方向为轴，以过点竖直向上的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
过点作，垂足为，易求，，
则，
，，，
设平面的法向量为，则有，即，
令，则，，所以，
同理可得：平面的法向量，
则.
因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为
19.（1）法一：由已知平面平面，，且平面平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又由，且，所以，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
在内，过点A做于点F，因为平面平面，且交线为PD,
所以平面.所以AF为所求.
由
法二：空间向量
（2）解：以E为原点，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则点．
所以．
设平面的法向量为，所以，即，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
（3）解：“线段上存在点M，使得平面”等价于“”．
因为，设，，
则，．
由（2）知平面的法向量为，
所以，解得，
所以线段上存在点M，即中点，使得平面．保密★启用前
2024—2025学年第一学期阶段性模块检测
高二数学试卷
2024．10
(
注意事项：
1
．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共
58
分；第Ⅱ卷为非选择题，共
92
分，满分
150
分，考试时间为
120
分钟。
2
．第Ⅰ卷请将选出的答案标号（
A
、
B
、
C
、
D
）涂在答题卡上。第Ⅱ卷将答案用黑色签字笔（
0.5mm
）写在答题纸上。
3.
试卷卷面分
5
分，如不规范，分等级（
5
、
3
、
1
分）扣除。
)
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
2．设，向量且，则（ ）
A． B． C．3 D．4
3．已知向量是空间向量的一组基底，向量{，，是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，，，则向量在基底，，下的坐标为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的分位数是（ ）
A．11 B．12 C．16 D．17
5．已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（ ）.
A． B．1 C． D．
6．从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，直线： ，：，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
8．已知点A在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．若AC>0，BC<0，则直线Ax＋By+C=0经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．下列四个结论不正确的是 （ ）
A．任意向量，若，则或
B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线
C．空间中任意向量，若满足，则
D．已知向量，若，则为钝角
11．对于直线.以下说法正确的有（ ）
A． 的充要条件是 B．当时，
C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为________.
13．如图：已知二面角的大小为120°，点，，于点C，于D，且，则直线AB与CD所成角的正弦值为________.
14.已知实数满足方程,当时，的取值范围是______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）已知直线l过点
(1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的一般式方程.
(2)若直线l与轴负半轴、轴的正半轴分别交于点，求的面积的最小值.
16．（本小题满分15分）某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数；
(2)活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率.
17．（本小题满分15分）
某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
(1)求图中的值；
(2)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
(3)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差.
18.（本小题满分17分）
已知三棱柱中，．
(1)证明：；
(2)若，求二面角的余弦值.
（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，平面平面，E为的中点，，，，，．
(1)求A到平面的距离；
(2)求直线与平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点M，使得平面？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由.

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