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8.2　直线的倾斜角与斜率
1．直线与方程
(1)一次函数的图象是一条________．代数方程可以用几何图形来表示，几何图形也可以用代数方程来表示．
(2)在平面直角坐标系中，给定一条直线，如果直线上点的坐标都满足某个方程，而且满足这个方程的坐标所表示的点都在给定的直线上，那么这个方程称为这条________的方程．
2．直线的倾斜角和斜率
(1)一般地，在平面直角坐标系中，直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角α称为这条直线的________．
规定：当直线与y轴垂直时，它的倾斜角为________．
(2)直线倾斜角α的取值范围是________．
(3)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值称为这条直线的斜率，通常用k表示，即________．
(4)若x1≠x2 ，则过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线的斜率为________．
(5)直线的倾斜角与斜率的关系：
当α≠时，直线l的倾斜角和直线l的斜率的关系是k＝________．
当倾斜角α＝90°时，直线的斜率不存在．
当0＜α＜90°时，k＞0，直线的倾斜角越大，直线的斜率也越________；
当90°＜α＜180°时，k＜0，直线的倾斜角越大，直线的斜率也越________；
(6)用两点的坐标表示直线的斜率公式：
已知直线l过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线l的斜率为k＝________(x1－x2≠0)；
当x1＝x2时，直线与x轴________，斜率k不存在．
1．点(1，a)在直线x－y＋1＝0上，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．－2
2．过点(－1，2)且垂直于x轴的直线方程为(　　)
A．x＝－1 B．y＝－1
C．x＝2 D．y＝2
3．若直线的倾斜角为30°，则直线的斜率为 (　　)
A． B．－
C． D．－
4．已知直线l的斜率等于－，则直线的倾斜角为(　　)
A．60° B．30°
C．120° D．150°
5．已知A(－1，－1)，B(1，1)，则直线AB的斜率k等于 (　　)
A．2 B．1
C．0 D．不存在
题型1：直线与方程
例1　(1)直线m平行于y轴，且通过点(－4，4)，则直线m的方程为(　　)
A．x＝4 B．x＝－4
C．y＝4 D．y＝－4
(2)直线m垂直于y轴，且通过点(－3，2)，则直线m的方程为(　　)
A．x＝2 B．x＝－3
C．y＝2 D．y＝－3
(1)B　(2)C　[(1)显然直线m上的点的横坐标都是－4，而且横坐标是－4的点都在直线m上，所以直线m的方程是x＝－4．
(2)直线m上的点的纵坐标都是2，而且纵坐标是2的点都在直线m上，所以直线m的方程是y＝2．]
点拨：1．当直线平行于x轴或垂直于y轴，且经过点(a，b)，可设直线的方程为y＝b．
2．当直线平行于y轴或垂直于x轴，且经过点(a，b)，可设直线的方程为x＝a．
(1)直线l平行于x轴，且通过点(2，3)，则直线l的方程为(　　)
A．x＝2 B．x＝3
C．y＝2 D．y＝3
(2)直线n垂直于x轴，且通过点(4，－2)，则直线n的方程为(　　)
A．x＝－2 B．x＝4
C．y＝－2 D．y＝4
题型2：直线的斜率
例2　根据条件求直线的斜率k：
(1)直线与x轴平行；
(2)直线的倾斜角为120°；
(3)已知直线过点P(1，2)，Q(3，－4)．
[解析]　(1) 因为直线与x轴平行，倾斜角α＝0°，所以斜率k＝tan 0°＝0．
(2)由直线的倾斜角与斜率的关系，得k＝tan 120°＝－．
(3)由两点的坐标求直线的斜率，得 k＝＝－3．
点拨：1．已知直线的倾斜角α，则k＝tan α；
2．已知直线上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则k＝(x1≠x2)．
如果过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．2 B．1
C．0 D．不存在
题型3：直线的倾斜角
例3　(1)已知B(1，0)，C，则直线BC的倾斜角等于 (　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
(2)如图所示，已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则(　　)
A．k1B．k3C．k3D．k1(1)B　(2)D　[(1)由斜率公式得kBC＝．∵倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，
且tan 60°＝，∴直线BC的倾斜角为60°．
(2)设直线l1、l2、l3的倾斜角分别是α1、α2、α3，
由图可知α1>90°>α2>α3>0°，所以k1<0点拨：直线的倾斜角与斜率的关系：k＝tan α，α为锐角时，α越大，k越大且为正值，α为钝角时，α越大，k越大且为负值．
若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于 (　　)
A．－ B．
C．－1 D．1
一、选择题
1．过A(1，0)，B(2，1)的直线的斜率为(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
2．下列说法错误的是(　　)
A．在平面直角坐标系内，每一条直线都有一个确定的倾斜角
B．每一条直线的斜率都是一个确定的值
C．没有斜率的直线是存在的
D．同一直线的斜率与倾斜角不是一一对应的
3．已知直线l1的斜率为1，直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小15°，则直线l2的斜率为(　　)
A．－1 B．－
C． D．1
4．若经过A(1－a，1＋a)和B(3，a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的值不可能是(　　)
A．－3 B．－5
C．－4 D．2
5．点A(a，b)既在直线x＝2上，又在直线2x－y＝0上，则a，b的值为(　　)
A．a＝2，b＝－4 B．a＝2，b＝4
C．a＝4，b＝2 D．a＝－4，b＝2
6．如图所示，直线l的倾斜角为α的是 (　　)
A．① B．①②
C．①③ D．②④
7．已知某直线l的倾斜角α＝45°，又A(2，y)，B(3，1)是此直线上的两点，则y＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
8．给出下列命题正确的是(　　)
A．直线的倾斜角的取值范围为[0，π)
B．一条直线的倾斜角可以为－30°
C．倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴
D．任何一条直线都有唯一的斜率
二、填空题
9．经过A(－2，－1)，B(2，3)两点的直线的倾斜角为________．
10．在直角坐标系xOy中，A(－1，4)，B(－4，1)，点C在直线x＝1上，若A，B，C三点共线，则点C的坐标为________．
11．已知经过两点A(－1，1)，B(4，a)的直线的斜率为1，则a的值为________．
12．一条直线l与x轴相交，如图所示，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为________．
13．设P为x轴上的一点，A(－3，8)，B(2，14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为________．
三、解答题
14．直线l平行于y轴，且过点(1，－2)，点P(a，b)在直线l上，也在直线y＝2x－3上，求代数式3a＋2b的值．
15．已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
1．下列说法不正确的是(　　)
A．一次函数的图象是一条直线
B．代数方程可以用几何图形来表示
C．几何图形可以用代数方程来表示
D．直线上的点的坐标满足某个方程，则这个方程就是这条直线的方程
2．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为________．
3．已知A，B(－1，0)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为________．
7/71．下列说法不正确的是(　　)
A．一次函数的图象是一条直线
B．代数方程可以用几何图形来表示
C．几何图形可以用代数方程来表示
D．直线上的点的坐标满足某个方程，则这个方程就是这条直线的方程
2．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为________．
3．已知A，B(－1，0)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为________．
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第八章　解析几何
8.2　直线的倾斜角与斜率
1．直线与方程
(1)一次函数的图象是一条____．代数方程可以用几何图形来表示，几何图形也可以用代数方程来表示．
(2)在平面直角坐标系中，给定一条直线，如果直线上点的坐标都满足某个方程，而且满足这个方程的坐标所表示的点都在给定的直线上，那么这个方程称为这条____的方程．
必备知识梳理
直线
直线
2．直线的倾斜角和斜率
(1)一般地，在平面直角坐标系中，直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角α称为这条直线的______．
规定：当直线与y轴垂直时，它的倾斜角为____．
(2)直线倾斜角α的取值范围是______________．
(3)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值称为这条直线的斜率，通常用k表示，即_________．
(4)若x1≠x2 ，则过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线的斜率为________.
倾斜角
0°
0°≤α＜180°
k＝tan α
k＝
(5)直线的倾斜角与斜率的关系：
当α≠时，直线l的倾斜角和直线l的斜率的关系是k＝______．
当倾斜角α＝90°时，直线的斜率不存在．
当0＜α＜90°时，k＞0，直线的倾斜角越大，直线的斜率也越__；
当90°＜α＜180°时，k＜0，直线的倾斜角越大，直线的斜率也越__；
tan α
大
大
(6)用两点的坐标表示直线的斜率公式：
已知直线l过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线l的斜率为k＝_______
(x1－x2≠0)；
当x1＝x2时，直线与x轴____，斜率k不存在．
垂直
1．点(1，a)在直线x－y＋1＝0上，则a的值为(　　)
A．0 　　　B．1 　　　C．2　　　D．－2
√
C　[将点(1，a)的坐标代入x－y＋1＝0中，得1－a＋1＝0，所以a＝2，故选C．]
2．过点(－1，2)且垂直于x轴的直线方程为(　　)
A．x＝－1 　　B．y＝－1　　C．x＝2 　　D．y＝2
√
A　[直线上的横坐标都是－1，反之，横坐标是－1的点也一定在直线x＝－1上，所以直线方程为x＝－1，故选A．]
3．若直线的倾斜角为30°，则直线的斜率为 (　　)
A． 　　　B．－ 　　　C． 　　　D．－
√
C　[直线的斜率k＝tan 30°＝．故选C．]
4．已知直线l的斜率等于－，则直线的倾斜角为(　　)
A．60° 　　　B．30° 　　　C．120° 　　　D．150°
C　[因为k＝tan α＝－，又因为0°≤α＜180°，所以α＝120°．]
5．已知A(－1，－1)，B(1，1)，则直线AB的斜率k等于 (　　)
A．2 　　　B．1 　　　C．0 　　　D．不存在
B　[由斜率公式得kAB＝＝1，故选B．]
√
√
题型1：直线与方程
例1　(1)直线m平行于y轴，且通过点(－4，4)，则直线m的方程为(　　)
A．x＝4 　　　B．x＝－4　　　C．y＝4 　　　D．y＝－4
(2)直线m垂直于y轴，且通过点(－3，2)，则直线m的方程为(　　)
A．x＝2 　　　B．x＝－3　　　C．y＝2 　　　D．y＝－3
题型分类透析
√
√
(1)B　(2)C　[(1)显然直线m上的点的横坐标都是－4，而且横坐标是－4的点都在直线m上，所以直线m的方程是x＝－4．
(2)直线m上的点的纵坐标都是2，而且纵坐标是2的点都在直线m上，所以直线m的方程是y＝2．]
点拨：1．当直线平行于x轴或垂直于y轴，且经过点(a，b)，可设直线的方程为y＝b．
2．当直线平行于y轴或垂直于x轴，且经过点(a，b)，可设直线的方程为x＝a．
跟踪训练1
(1)直线l平行于x轴，且通过点(2，3)，则直线l的方程为(　　)
A．x＝2 　　　B．x＝3　　　C．y＝2 　　　D．y＝3
D　[直线l上的点的纵坐标都是3，而且纵坐标是3的点都在直线l上，所以直线l的方程是y＝3．]
(2)直线n垂直于x轴，且通过点(4，－2)，则直线n的方程为(　　)
A．x＝－2 　　　B．x＝4 　　　C．y＝－2 　　　D．y＝4
B　[直线n上的点的横坐标都是4，而且横坐标是4的点都在直线n上，所以直线n的方程是x＝4．]
√
√
题型2：直线的斜率
例2　根据条件求直线的斜率k：
(1)直线与x轴平行；
(2)直线的倾斜角为120°；
(3)已知直线过点P(1，2)，Q(3，－4)．
[解析]　(1) 因为直线与x轴平行，倾斜角α＝0°，
所以斜率k＝tan 0°＝0．
(2)由直线的倾斜角与斜率的关系，得k＝tan 120°＝－．
(3)由两点的坐标求直线的斜率，得k＝＝－3．
点拨：1．已知直线的倾斜角α，则k＝tan α；
2．已知直线上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则k＝(x1≠x2)．
跟踪训练2
如果过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．2 　　　B．1　　　C．0 　　　D．不存在
B　[由斜率公式得k＝＝1，解得m＝1．]
√
题型3：直线的倾斜角
例3　(1)已知B(1，0)，C(2，)，则直线BC的倾斜角等于 (　　)
A．30° 　　　B．60° 　　　C．120° 　　　D．150°
(2)如图所示，已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则 (　　)
A．k1B．k3C．k3D．k1√
√
(1)B　(2)D　[(1)由斜率公式得kBC＝．∵倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，
且tan 60°＝，∴直线BC的倾斜角为60°．
(2)设直线l1、l2、l3的倾斜角分别是α1、α2、α3，
由图可知α1>90°>α2>α3>0°，所以k1<0点拨：直线的倾斜角与斜率的关系：k＝tan α，α为锐角时，α越大，k越大且为正值，α为钝角时，α越大，k越大且为负值．
跟踪训练3
若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于 (　　)
A．－ 　　　B． 　　　C．－1 　　　D．1
C　[∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k＝tan 45°＝1，即＝1，∴y＝－1．]
√
一、选择题
1．过A(1，0)，B(2，1)的直线的斜率为(　　)
A．1 　　　B．2 　　　C．－1 　　　D．－2
当堂达标训练
√
A　[因为直线过A(1，0)，B(2，1)，所以斜率k＝ ＝1．]
2．下列说法错误的是(　　)
A．在平面直角坐标系内，每一条直线都有一个确定的倾斜角
B．每一条直线的斜率都是一个确定的值
C．没有斜率的直线是存在的
D．同一直线的斜率与倾斜角不是一一对应的
√
B　[每条直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率，故选B错误．]
3．已知直线l1的斜率为1，直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小15°，则直线l2的斜率为(　　)
A．－1 　　　B．－ 　　　C． 　　　D．1
√
C　[l1的斜率为1，则倾斜角为45°，l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小15°，则l2的倾斜角为30°，所以l2的斜率为．]
4．若经过A(1－a，1＋a)和B(3，a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的值不可能是(　　)
A．－3 　　　B．－5 　　　C．－4 　　　D．2
√
D　[经过A(1－a，1＋a)和B(3，a)的直线的斜率k＝，若倾斜角为锐角，则k＞0，
所以＞0，即－2－a＞0，故a＜－2，
结合选项知，实数a的值不可能是2．]
5．点A(a，b)既在直线x＝2上，又在直线2x－y＝0上，则a，b的值为(　　)
A．a＝2，b＝－4 　　　 B．a＝2，b＝4
C．a＝4，b＝2 　　　 D．a＝－4，b＝2
√
B　[因为点A(a，b)在直线x＝2上，所以a＝2，又点A在直线2x－y＝0上，所以2a－b＝0，所以b＝4，故选B．]
6．如图所示，直线l的倾斜角为α的是 (　　)
√
C　[①③中直线的倾斜角为α，故选C．]
A．① 　　　B．①②　　　C．①③ 　　　D．②④
7．已知某直线l的倾斜角α＝45°，又A(2，y)，B(3，1)是此直线上的两点，则y＝(　　)
A．－1 　　　B．0 　　　C．1 　　　D．2
√
B　[∵α＝45°，∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
又A，B在直线上，∴＝1，解得y＝0．]
8．给出下列命题正确的是(　　)
A．直线的倾斜角的取值范围为[0，π)
B．一条直线的倾斜角可以为－30°
C．倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴
D．任何一条直线都有唯一的斜率
A　[由倾斜角α∈[0°，180°)知B错；又平行于x轴的直线的倾斜角是0°，这样的直线有无数条，故选C错；垂直于x轴的直线没有斜率，故D错，只有A是正确的．]
√
二、填空题
9．经过A(－2，－1)，B(2，3)两点的直线的倾斜角为________．
45°　[经过A(－2，－1)，B(2，3)两点的直线的斜率为k＝＝1，又因为0°≤α＜180°，所以α＝45°．]
45°　
10．在直角坐标系xOy中，A(－1，4)，B(－4，1)，点C在直线x＝1上，若A，B，C三点共线，则点C的坐标为________．
(1，6) 　[设点C的坐标为(1，y)，AB两点的直线的斜率k1＝1，因为A，B，C三点共线，所以BC两点的直线的斜率k2＝＝1，所以y＝6，所以点C的坐标为(1，6)．]
(1，6)
11．已知经过两点A(－1，1)，B(4，a)的直线的斜率为1，则a的值为______．
6　[因为斜率存在，而且斜率为k＝＝1，所以a＝6．]
6　
12．一条直线l与x轴相交，如图所示，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为__________．
90°－α　[l向上方向与x轴正方向所成的角为90°－α，所以倾斜角为90°－α．]
90°－α　
13．设P为x轴上的一点，A(－3，8)，B(2，14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为___________．
(－5，0)　[设点P的坐标为(x，0)，则kPA＝，于是，解得x＝－5，故点P坐标为(－5，0)．]
(－5，0)　
三、解答题
14．直线l平行于y轴，且过点(1，－2)，点P(a，b)在直线l上，也在直线y＝2x－3上，求代数式3a＋2b的值．
[解析]　直线l平行于y轴，且过点(1，－2)，
所以直线l的方程为x＝1，
点P(a，b)在直线l上，所以a＝1，
点(1，b)在y＝2x－3上，
所以b＝2－3＝－1，
所以3a＋2b＝3×1＋2×(－1)＝1．
15．已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
[解析]　直线AB的斜率kAB＝；
直线BC的斜率kBC＝；
直线CA的斜率kCA＝＝1．
∵kAB>0及kCA>0，∴直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
∵kBC<0，∴直线BC的倾斜角为钝角．
THANKS8.2　直线的倾斜角与斜率
1．直线与方程
(1)一次函数的图象是一条直线．代数方程可以用几何图形来表示，几何图形也可以用代数方程来表示．
(2)在平面直角坐标系中，给定一条直线，如果直线上点的坐标都满足某个方程，而且满足这个方程的坐标所表示的点都在给定的直线上，那么这个方程称为这条直线的方程．
2．直线的倾斜角和斜率
(1)一般地，在平面直角坐标系中，直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角α称为这条直线的倾斜角．
规定：当直线与y轴垂直时，它的倾斜角为0°．
(2)直线倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°．
(3)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值称为这条直线的斜率，通常用k表示，即k＝tan α．
(4)若x1≠x2 ，则过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝．
(5)直线的倾斜角与斜率的关系：
当α≠时，直线l的倾斜角和直线l的斜率的关系是k＝tan α．
当倾斜角α＝90°时，直线的斜率不存在．
当0＜α＜90°时，k＞0，直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大；
当90°＜α＜180°时，k＜0，直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大；
(6)用两点的坐标表示直线的斜率公式：
已知直线l过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线l的斜率为k＝(x1－x2≠0)；
当x1＝x2时，直线与x轴垂直，斜率k不存在．
1．点(1，a)在直线x－y＋1＝0上，则a的值为(　　)
A．0 　　　B．1 　　　C．2　　　D．－2
C　[将点(1，a)的坐标代入x－y＋1＝0中，得1－a＋1＝0，所以a＝2，故选C．]
2．过点(－1，2)且垂直于x轴的直线方程为(　　)
A．x＝－1 　　B．y＝－1　　C．x＝2 　　D．y＝2
A　[直线上的横坐标都是－1，反之，横坐标是－1的点也一定在直线x＝－1上，所以直线方程为x＝－1，故选A．]
3．若直线的倾斜角为30°，则直线的斜率为(　　)
A． 　　　B．－ 　　　C． 　　　D．－
C　[直线的斜率k＝tan 30°＝．故选C．]
4．已知直线l的斜率等于－，则直线的倾斜角为(　　)
A．60° 　　　B．30° 　　　C．120° 　　　D．150°
C　[因为k＝tan α＝－，又因为0°≤α＜180°，所以α＝120°．]
5．已知A(－1，－1)，B(1，1)，则直线AB的斜率k等于(　　)
A．2 　　　B．1 　　　C．0 　　　D．不存在
B　[由斜率公式得kAB＝＝1，故选B．]
题型1：直线与方程
例1　(1)直线m平行于y轴，且通过点(－4，4)，则直线m的方程为(　　)
A．x＝4 　　　B．x＝－4　　　C．y＝4 　　　D．y＝－4
(2)直线m垂直于y轴，且通过点(－3，2)，则直线m的方程为(　　)
A．x＝2 　　　B．x＝－3　　　C．y＝2 　　　D．y＝－3
(1)B　(2)C　[(1)显然直线m上的点的横坐标都是－4，而且横坐标是－4的点都在直线m上，所以直线m的方程是x＝－4．
(2)直线m上的点的纵坐标都是2，而且纵坐标是2的点都在直线m上，所以直线m的方程是y＝2．]
点拨：1．当直线平行于x轴或垂直于y轴，且经过点(a，b)，可设直线的方程为y＝b．
2．当直线平行于y轴或垂直于x轴，且经过点(a，b)，可设直线的方程为x＝a．
(1)直线l平行于x轴，且通过点(2，3)，则直线l的方程为(　　)
A．x＝2 　　　B．x＝3　　　C．y＝2 　　　D．y＝3
D　[直线l上的点的纵坐标都是3，而且纵坐标是3的点都在直线l上，所以直线l的方程是y＝3．]
(2)直线n垂直于x轴，且通过点(4，－2)，则直线n的方程为(　　)
A．x＝－2 　　　B．x＝4 　　　C．y＝－2 　　　D．y＝4
B　[直线n上的点的横坐标都是4，而且横坐标是4的点都在直线n上，所以直线n的方程是x＝4．]
题型2：直线的斜率
例2　根据条件求直线的斜率k：
(1)直线与x轴平行；
(2)直线的倾斜角为120°；
(3)已知直线过点P(1，2)，Q(3，－4)．
[解析]　(1) 因为直线与x轴平行，倾斜角α＝0°，所以斜率k＝tan 0°＝0．
(2)由直线的倾斜角与斜率的关系，得k＝tan 120°＝－．
(3)由两点的坐标求直线的斜率，得 k＝＝－3．
点拨：1．已知直线的倾斜角α，则k＝tan α；
2．已知直线上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则k＝(x1≠x2)．
如果过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．2 　　　B．1　　　C．0 　　　D．不存在
B　[由斜率公式得k＝＝1，解得m＝1．]
题型3：直线的倾斜角
例3　(1)已知B(1，0)，C(2，)，则直线BC的倾斜角等于(　　)
A．30° 　　　B．60° 　　　C．120° 　　　D．150°
(2)如图所示，已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则(　　)
A．k1B．k3C．k3D．k1(1)B　(2)D　[(1)由斜率公式得kBC＝．∵倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，
且tan 60°＝，∴直线BC的倾斜角为60°．
(2)设直线l1、l2、l3的倾斜角分别是α1、α2、α3，
由图可知α1>90°>α2>α3>0°，所以k1<0点拨：直线的倾斜角与斜率的关系：k＝tan α，α为锐角时，α越大，k越大且为正值，α为钝角时，α越大，k越大且为负值．
若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于(　　)
A．－ 　　　B． 　　　C．－1 　　　D．1
C　[∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k＝tan 45°＝1，即＝1，∴y＝－1．]
一、选择题
1．过A(1，0)，B(2，1)的直线的斜率为(　　)
A．1 　　　B．2 　　　C．－1 　　　D．－2
A　[因为直线过A(1，0)，B(2，1)，所以斜率k＝ ＝1．]
2．下列说法错误的是(　　)
A．在平面直角坐标系内，每一条直线都有一个确定的倾斜角
B．每一条直线的斜率都是一个确定的值
C．没有斜率的直线是存在的
D．同一直线的斜率与倾斜角不是一一对应的
B　[每条直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率，故选B错误．]
3．已知直线l1的斜率为1，直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小15°，则直线l2的斜率为(　　)
A．－1 　　　B．－ 　　　C． 　　　D．1
C　[l1的斜率为1，则倾斜角为45°，l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小15°，则l2的倾斜角为30°，所以l2的斜率为．]
4．若经过A(1－a，1＋a)和B(3，a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的值不可能是(　　)
A．－3 　　　B．－5 　　　C．－4 　　　D．2
D　[经过A(1－a，1＋a)和B(3，a)的直线的斜率k＝，若倾斜角为锐角，则k＞0，
所以＞0，即－2－a＞0，故a＜－2，
结合选项知，实数a的值不可能是2．]
5．点A(a，b)既在直线x＝2上，又在直线2x－y＝0上，则a，b的值为(　　)
A．a＝2，b＝－4 　　　 B．a＝2，b＝4
C．a＝4，b＝2 　　　 D．a＝－4，b＝2
B　[因为点A(a，b)在直线x＝2上，所以a＝2，又点A在直线2x－y＝0上，所以2a－b＝0，所以b＝4，故选B．]
6．如图所示，直线l的倾斜角为α的是(　　)
　
A．① 　　　B．①②　　　C．①③ 　　　D．②④
C　[①③中直线的倾斜角为α，故选C．]
7．已知某直线l的倾斜角α＝45°，又A(2，y)，B(3，1)是此直线上的两点，则y＝(　　)
A．－1 　　　B．0 　　　C．1 　　　D．2
B　[∵α＝45°，∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
又A，B在直线上，∴＝1，解得y＝0．]
8．给出下列命题正确的是(　　)
A．直线的倾斜角的取值范围为[0，π)
B．一条直线的倾斜角可以为－30°
C．倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴
D．任何一条直线都有唯一的斜率
A　[由倾斜角α∈[0°，180°)知B错；又平行于x轴的直线的倾斜角是0°，这样的直线有无数条，故选C错；垂直于x轴的直线没有斜率，故D错，只有A是正确的．]
二、填空题
9．经过A(－2，－1)，B(2，3)两点的直线的倾斜角为________．
45°　[经过A(－2，－1)，B(2，3)两点的直线的斜率为k＝＝1，又因为0°≤α＜180°，所以α＝45°．]
10．在直角坐标系xOy中，A(－1，4)，B(－4，1)，点C在直线x＝1上，若A，B，C三点共线，则点C的坐标为________．
(1，6) 　[设点C的坐标为(1，y)，AB两点的直线的斜率k1＝1，因为A，B，C三点共线，所以BC两点的直线的斜率k2＝＝1，所以y＝6，所以点C的坐标为(1，6)．]
11．已知经过两点A(－1，1)，B(4，a)的直线的斜率为1，则a的值为________．
6　[因为斜率存在，而且斜率为k＝＝1，所以a＝6．]
12．一条直线l与x轴相交，如图所示，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为________．
90°－α　[l向上方向与x轴正方向所成的角为90°－α，所以倾斜角为90°－α．]
13．设P为x轴上的一点，A(－3，8)，B(2，14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为________．
(－5，0)　[设点P的坐标为(x，0)，则kPA＝，于是，解得x＝－5，故点P坐标为(－5，0)．]
三、解答题
14．直线l平行于y轴，且过点(1，－2)，点P(a，b)在直线l上，也在直线y＝2x－3上，求代数式3a＋2b的值．
[解析]　直线l平行于y轴，且过点(1，－2)，
所以直线l的方程为x＝1，
点P(a，b)在直线l上，所以a＝1，
点(1，b)在y＝2x－3上，
所以b＝2－3＝－1，
所以3a＋2b＝3×1＋2×(－1)＝1．
15．已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
[解析]　直线AB的斜率kAB＝；
直线BC的斜率kBC＝；
直线CA的斜率kCA＝＝1．
∵kAB>0及kCA>0，∴直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
∵kBC<0，∴直线BC的倾斜角为钝角．
1．下列说法不正确的是(　　)
A．一次函数的图象是一条直线
B．代数方程可以用几何图形来表示
C．几何图形可以用代数方程来表示
D．直线上的点的坐标满足某个方程，则这个方程就是这条直线的方程
D　[直线上的点的坐标满足某个方程，而且满足这个方程的坐标所表示的点都在给定的直线上，那么这个方程才是这条直线的方程．所以D不正确，故选D．]
2．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为________．
　[由已知得，kAB＝kAC，∴，解得m＝．]
3．已知A(1，2)，B(－1，0)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为________．
　[∵kAB＝，∴直线AB的倾斜角为60°，则直线l的倾斜角为30°，其斜率k＝tan 30°＝．]
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