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1．下列命题中，正确的是(　　)
①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形；
④圆柱的任意两条母线相互平行．
A．①② 　 B．②③
C．①③ 　 D．②④
2．下列叙述中，错误的一项为(　　)
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的各个侧面都是平行四边形
C．棱柱的两底面是全等的多边形
D．棱柱的面中，至少有两个面相互平行
3．下列命题中的假命题是(　　)
A．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
B．以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆柱
D．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
4．若一个圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为4 cm，则这个圆锥的底面半径为________cm.
5．若圆柱的侧面展开图是周长为16的正方形，则该圆柱的轴截面面积为________．
1 / 11．了解多面体、旋转体和棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的概念，理解直棱柱、正棱锥的有关概念．
2．理解实物或空间图形的三视图．掌握直观图的斜二测画法．
3．会求直棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥和球的表面积，会求柱体、椎体、球的体积，并会求简单组合体的表面积和体积．
4．理解平面的基本性质．
5．理解空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．
6．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定与性质．
7．理解点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离的概念，并会解决相关的距离问题．
8．理解异面直线所成角、直线与平面所成角，并会解决相关的简单问题．了解二面角的概念．
9.1　空间几何体
1．多面体及相关概念
由若干个平面多边形围成的几何体称为______．
每个多边形称为多面体的__；
两个相邻面的公共边称为多面体的__；
棱和棱的公共点称为多面体的____，
连接不在同一面上的两个顶点的线段称为多面体的________．
2．棱柱
(1)棱柱的定义及相关概念有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都________，这样的多面体称为____．
两个互相平行的面称为棱柱的____(简称底)；其余各面称为棱柱的____；两侧面的______称为棱柱的侧棱；过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的__．
(2)棱柱的表示方法
用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图中的棱柱可记为棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′.
(3)棱柱的表示分类
①按底面边数分：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
②按是否与底面垂直分：斜棱柱和直棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱称为______．侧棱垂直于底面的棱柱称为______．底面是正多边形的直棱柱称为______．
(4)几种特殊的棱柱
底面是矩形的直四棱柱称为______．棱长都相等的长方体称为______．
(5)长方体的对角线长
若长方体的长、宽、高分别是a，b，c，则其对角线的长是．
3．棱锥
(1)棱锥的定义及相关概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个________的三角形，这样的多面体称为棱锥．其中有________的三角形称为棱锥的侧面，多边形称为棱锥的____(简称底)，相邻侧面的公共边称为棱锥的____，过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的__．
(2)棱锥的表示
棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面的一条对角线端点的字母表示．如图中的棱锥，可表示为棱锥S-ABCDEF或S-AD.
(3)棱锥的分类
棱锥按底面多边形的边数分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥…….图中的棱锥称为六棱锥．
(4)正棱锥的概念
底面是________，并且顶点与底面中心的连线______底面的棱锥称为正棱锥．正棱锥的各侧面都是全等的__________，各等腰三角形底边上的高称为正棱锥的____．
4．旋转体及相关概念
一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面称为______．
由封闭的旋转面围成的几何体称为______．
其中的定直线称为旋转体的__．
由多面体、旋转体等基本几何体组合而成的几何体，称为______．组合体可以分解为基本几何体．
5．圆柱
(1)圆柱的定义及相关概念
以____的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，形成的曲面所围成的旋转体称为圆柱．旋转轴称为圆柱的__；在轴上的这条边或它的长度称为圆柱的高；____于轴的边旋转而成的圆面称为圆柱的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为圆柱的____；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为圆柱的____．
(2)圆柱的表示方法
圆柱用它轴上的字母表示，如圆柱O′O.
6．圆锥
(1)圆锥的定义及相关概念
以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周，形成的曲面所围成的旋转体称为圆锥．
旋转轴称为圆锥的轴；在轴上的这条边或它的长度称为________；
垂直于轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的____；
不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为圆锥的____．
(2)圆锥的表示方法
圆锥用它轴上的字母表示，如圆锥SO.
7．球
(1)球的定义及相关概念
一个半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所形成的曲面称为____．球面围成的几何体称为球体，简称球．
形成球的半圆的圆心称为____；
连接球面上任一点和球心的线段称为球的____；
连接球面上两点且通过球心的线段称为球的____．
(2)球的表示方法
一个球常用其球心的字母来表示，例如球O.
(3)球的截面相关概念
球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆．
球的小圆：被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆．平面α截球面所得的交线是以O′为圆心，以r＝为半径的一个圆，截面是一个圆面(圆及其内部)．
(4)球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段____的长度，我们把这个弧长称为两点的球面距离．如图，的长就是A，B两点的球面距离．
1．下列几何体中是旋转体的是 (　　)
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体；⑥圆锥．
A．①⑤⑥ 　 B．①
C．③④ 　 D．①④⑥
2．下列说法中正确的是 (　　)
A．所有的棱柱都有一个底面
B．棱柱的顶点至少有6个
C．棱柱的侧棱至少有4条
D．棱柱的棱至少有4条
3．下列说法正确的有(　　)
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．
A．0个 　 B．1个
C．2个 　 D．3个
4．在空间中，到定点的距离等于定长的所有点的集合是(　　)
A．球 　 B．球的大圆
C．圆 　 D．球面
5．已知正四棱锥，底面面积为16，一条侧棱长为6，则它的斜高为________．
题型1：空间几何体的有关命题判断
例1　(1)下列说法正确的是(　　)
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱都相等
C．棱柱的棱都平行
D．棱柱的侧棱总与底面垂直
(2)下列命题正确的是________．(填序号)
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②圆柱、圆锥的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；
④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．
(1)B　(2)③④　[(1)由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以不正确；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确．
(2)①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥，故①错误；②圆柱、圆锥的底面为圆面，故②错误；③④正确．]
点拨：(1)棱柱的结构特征有以下几点：两个面互相平行；其余各面是平行四边形；相邻两个平行四边形的公共边互相平行．
(2)圆柱、圆锥、球都是常见的旋转体，熟练掌握它们结构特征，弄清旋转体的性质是准确解题的前提．
(1)下列说法中正确的是(　　)
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②三棱柱的侧面为三角形；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长都相等．
A．①② 　 B．①③
C．②③ 　 D．②④
(2)下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是________．
题型2：简单几何体的有关计算
例2　已知正三棱锥的侧面是边长为4的正三角形，求它的斜高和高．
[解析]　在直角三角形SEC中h′＝＝2，
OB＝＝，h＝SO＝＝，故它的斜高为2，高为.
例3　已知正四棱锥的侧面为边长为2的等边三角形，如图所示，求此棱锥的高SO和斜高SE的长度．
[解析]　连接OB，OE(图略)，在直角三角形SOB中，OB＝BD＝＝，SO＝＝，
在直角三角形SOE中，OE＝AB＝1，SE＝＝.
点拨：利用高、斜高、底面半边长和高、侧棱、底面半对角线所构成的直角三角形中的边之间的关系．
已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为，求正四棱锥的高．
例4　已知圆锥SO的母线长为5，底面直径为8，求圆锥SO的高．
[解析]　如图，∵圆锥的底面直径AB＝8，
∴圆锥的底面半径R＝OA＝4，又∵SA＝5，∴圆锥的高h＝SO＝＝3.
点拨：圆锥中过任意两条母线的截面是等腰三角形．
若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．
例5一个正方体的外接球与内切球的半径之比为________．
∶1　[设正方体的棱长为a，内切球的直径2r＝a，外接球的直径2R＝a，所以 R∶r＝∶1.
点拨：正方体外接球的直径等于正方体的体对角线，正方体内切球的直径等于正方体的边长．
若一个球的内接正方体的全面积等于24，则此球的大圆的面积为 ________．
一、选择题
1．在棱柱中(　　)
A．只有两个面平行
B．所有的棱都平行
C．所有的面都是平行四边形
D．两底面平行，且各侧棱也互相平行
2．给出下列命题，其中正确的是(　　)
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
A．①② 　 B．②③
C．①③ 　 D．①
3．下列说法错误的是(　　)
A．棱锥的侧面一定是三角形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
4．下列对于圆柱的各判断中正确的是(　　)
A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱
B．经过圆柱的轴的截面仅有一个
C．将矩形ABCD(及其内部)绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱
D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线
5．下列说法正确的是(　　)
A．半圆弧以其直径为轴旋转所形成的曲面叫球
B．空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面
C．球面和球是同一个概念
D．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
6. 一个圆锥的母线长为4，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为(　　)
A．4 　 B．2
C．4 　 D．2
7. 已知正四棱锥的所有棱长都是2，则其高为(　　)
A． 　 B．
C．2 　 D．2
二、填空题
8．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．
9．若球的半径为3，则过球面上任意两点的截面与球面相交所得的圆中，最大的面积为________．
10．平面α截球O的球面所得圆的半径为3，球心O到平面α的距离为，则此球的半径为________．
11．一个圆柱的母线长为5，圆柱的轴截面的面积是20，则底面半径为________．
12．若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为________．
三、解答题
13．正四棱锥的底面边长为6 cm，侧面为等腰三角形，其面积为12 cm2，求正四棱锥侧棱的长．
14．若正三棱锥的底面边长是6 cm，侧棱长是5 cm，求该棱锥的高和斜高．
7 / 11(共56张PPT)
第九章　立体几何
1．了解多面体、旋转体和棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的概念，理解直棱柱、正棱锥的有关概念．
2．理解实物或空间图形的三视图．掌握直观图的斜二测画法．
3．会求直棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥和球的表面积，会求柱体、椎体、球的体积，并会求简单组合体的表面积和体积．
4．理解平面的基本性质．
5．理解空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．
第九章　立体几何
6．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定与性质．
7．理解点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离的概念，并会解决相关的距离问题．
8．理解异面直线所成角、直线与平面所成角，并会解决相关的简单问题．了解二面角的概念．
第九章　立体几何
9.1　空间几何体
第九章　立体几何
必备知识梳理
1．多面体及相关概念
由若干个平面多边形围成的几何体称为______．
每个多边形称为多面体的__；
两个相邻面的公共边称为多面体的__；
棱和棱的公共点称为多面体的____，
连接不在同一面上的两个顶点的线段称为多面体的________．
多面体
面
棱
顶点
体对角线
2．棱柱
(1)棱柱的定义及相关概念有两个面互相平行，
其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的
公共边都________，这样的多面体称为____．
两个互相平行的面称为棱柱的____(简称底)；其余各面称为棱柱的____；两侧面的______称为棱柱的侧棱；过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的__．
互相平行
棱柱
底面
侧面
公共边
高
(2)棱柱的表示方法
用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图中的棱柱可记为棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′.
(3)棱柱的表示分类
①按底面边数分：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
②按是否与底面垂直分：斜棱柱和直棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱称为______．侧棱垂直于底面的棱柱称为______．底面是正多边形的直棱柱称为______．
斜棱柱
直棱柱
正棱柱
(4)几种特殊的棱柱
底面是矩形的直四棱柱称为______．棱长都相等的长方体称为______．
(5)长方体的对角线长
若长方体的长、宽、高分别是a，b，c，则其对角线的长是．
长方体
正方体
3．棱锥
(1)棱锥的定义及相关概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个________的三角形，这样的多面体称为棱锥．其中有________的三角形称为棱锥的侧面，多边形称为棱锥的____(简称底)，相邻侧面的公共边称
为棱锥的____，过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，
所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的__．
公共顶点
公共顶点
底面
侧棱
高
(2)棱锥的表示
棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面的一条对角线端点的字母表示．如图中的棱锥，可表示为棱锥S-ABCDEF或S-AD.
(3)棱锥的分类
棱锥按底面多边形的边数分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥…….图中的棱锥称为六棱锥．
(4)正棱锥的概念
底面是________，并且顶点与底面中心的连线______底面的棱锥称为正棱锥．正棱锥的各侧面都是全等的__________，各等腰三角形底边上的高称为正棱锥的____．
正多边形
垂直于
等腰三角形
斜高
4．旋转体及相关概念
一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面称为______．
由封闭的旋转面围成的几何体称为______．
其中的定直线称为旋转体的__．
由多面体、旋转体等基本几何体组合而成的几何体，
称为______．组合体可以分解为基本几何体．
旋转面
旋转体
轴
组合体
5．圆柱
(1)圆柱的定义及相关概念
以____的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，形成的曲面所围成的旋转体称为圆柱．旋转轴称为圆柱的__；在轴上的这条边或它的长度称为圆柱的高；____于轴的边旋转而成的圆面称为圆柱的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为圆柱的____；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为圆柱的____．
矩形
轴
垂直
侧面
母线
(2)圆柱的表示方法
圆柱用它轴上的字母表示，如圆柱O′O.
6．圆锥
(1)圆锥的定义及相关概念
以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周，形成的曲面所围成的旋转体称为圆锥．
旋转轴称为圆锥的轴；在轴上的这条边或它的长度称为________；
垂直于轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的____；
不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为圆锥的____．
圆锥的高
底面
母线
(2)圆锥的表示方法
圆锥用它轴上的字母表示，如圆锥SO.
7．球
(1)球的定义及相关概念
一个半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所形成的曲面称为____．球面围成的几何体称为球体，简称球．
形成球的半圆的圆心称为____；
连接球面上任一点和球心的线段称为
球的____；
连接球面上两点且通过球心的线段称
为球的____．
球面
球心
半径
直径
(2)球的表示方法
一个球常用其球心的字母来表示，例如球O.
(3)球的截面相关概念
球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆．
球的小圆：被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆．平面α截球面所得的交线是以O′为圆心，以r＝为
半径的一个圆，截面是一个圆面(圆及其内部)．
(4)球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段____的长度，我们把这个弧长称为两点的球面距离．如图，的长就是A，B两点的球面距离．
劣弧
1．下列几何体中是旋转体的是 (　　)
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体；⑥圆锥．
A．①⑤⑥ 　 B．①
C．③④ 　 D．①④⑥
√
D　[圆柱、球体、圆锥是旋转体，六棱锥、正方体、四面体是多面体．故选D.]
2．下列说法中正确的是 (　　)
A．所有的棱柱都有一个底面
B．棱柱的顶点至少有6个
C．棱柱的侧棱至少有4条
D．棱柱的棱至少有4条
√
B　[棱柱有两个底面，所以A项不正确；棱柱底面的边数至少是3，三棱柱的顶点数至少是6，三棱柱的侧棱数至少是3，三棱柱的棱数至少是9，所以C、D项不正确，B项正确．]
3．下列说法正确的有(　　)
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．
A．0个 　 B．1个
C．2个 　 D．3个
√
C　[①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的．]
4．在空间中，到定点的距离等于定长的所有点的集合是(　　)
A．球 　 B．球的大圆
C．圆 　 D．球面
D　[根据球面的定义可知，到定点的距离等于定长的所有点的集合是球面．]
√
5．已知正四棱锥，底面面积为16，一条侧棱长为6，则它的斜高为________．
4　[由S底＝16，知底面边长为4，又侧棱长为6，故斜高h′＝＝4.]
4
题型分类透析
题型1：空间几何体的有关命题判断
例1　(1)下列说法正确的是(　　)
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱都相等
C．棱柱的棱都平行
D．棱柱的侧棱总与底面垂直
√
(2)下列命题正确的是________．(填序号)
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②圆柱、圆锥的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；
④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．
③④
(1)B　(2)③④　[(1)由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以不正确；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确．
(2)①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥，故①错误；②圆柱、圆锥的底面为圆面，故②错误；③④正确．]
点拨：(1)棱柱的结构特征有以下几点：两个面互相平行；其余各面是平行四边形；相邻两个平行四边形的公共边互相平行．
(2)圆柱、圆锥、球都是常见的旋转体，熟练掌握它们结构特征，弄清旋转体的性质是准确解题的前提．
√
跟踪训练1
(1)下列说法中正确的是(　　)
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②三棱柱的侧面为三角形；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长都相等．
A．①② 　 B．①③
C．②③ 　 D．②④
B　[由棱锥的定义可知，棱锥的各个侧面都是三角形，①正确；由棱柱的定义可知，棱柱的侧面都是平行四边形，②错误；③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，但各侧棱必须有一个公共顶点，④不正确．故选B.]
(2)下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是________．
③④ 　[①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
②错误，棱柱的底面可以是三角形；
③正确，由棱柱的定义易知；
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．]
③④
题型2：简单几何体的有关计算
例2　已知正三棱锥的侧面是边长为4的正三角形，求它的斜高和高．
[解析]　在直角三角形SEC中h′＝＝2，
OB＝＝，h＝SO＝＝
，故它的斜高为2，高为.
例3　已知正四棱锥的侧面为边长为2的等边三角形，如图所示，求此棱锥的高SO和斜高SE的长度．
[解析]　连接OB，OE(图略)，在直角三角形SOB中，OB＝BD＝＝，SO＝＝，
在直角三角形SOE中，OE＝AB＝1，SE＝＝.
点拨：利用高、斜高、底面半边长和高、侧棱、底面半对角线所构成的直角三角形中的边之间的关系．
跟踪训练2
已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为，求正四棱锥的高．
[解析]　如图，正四棱锥S-ABCD，SB＝，OB＝，则SO＝1.
例4　已知圆锥SO的母线长为5，底面直径为8，求圆锥SO的高．
[解析]　如图，∵圆锥的底面直径AB＝8，
∴圆锥的底面半径R＝OA＝4，又∵SA＝5，∴圆锥的高h＝SO＝＝3.
点拨：圆锥中过任意两条母线的截面是等腰三角形．
跟踪训练3
若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．
2　[设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝.
所以由题意可知
·(2r)·h＝r＝8，
∴r2＝8，∴h＝2.]
2
例5一个正方体的外接球与内切球的半径之比为________．
∶1　[设正方体的棱长为a，内切球的直径2r＝a，外接球的直径2R＝a，所以 R∶r＝∶1.
∶1
点拨：正方体外接球的直径等于正方体的体对角线，正方体内切球的直径等于正方体的边长．
跟踪训练4
若一个球的内接正方体的全面积等于24，则此球的大圆的面积为 ________．
3π　[设正方体的棱长为a，则6a2＝24，故a＝2，体对角线为a＝2，
外接球的直径2R＝2，R＝，球的大圆的半径即球的半径 r＝R＝，所以球的大圆的面积为πR2＝3π.]
3π
当堂达标训练
一、选择题
1．在棱柱中(　　)
A．只有两个面平行
B．所有的棱都平行
C．所有的面都是平行四边形
D．两底面平行，且各侧棱也互相平行
√
D　[根据棱柱定义可知，两底面平行，侧棱平行，故选D.]
2．给出下列命题，其中正确的是(　　)
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
A．①② 　 B．②③
C．①③ 　 D．①
√
B　[由圆柱、圆锥的定义及母线的性质可知②③正确，①错误．]
3．下列说法错误的是(　　)
A．棱锥的侧面一定是三角形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
√
D　[A正确，棱锥的侧面一定是三角形．B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．D错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
]
4．下列对于圆柱的各判断中正确的是(　　)
A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱
B．经过圆柱的轴的截面仅有一个
C．将矩形ABCD(及其内部)绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱
D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线
√
C　[对于A，有两个互相平行的底面的旋转体可能是圆台，A错误；
对于B，圆柱的轴截面均经过圆柱的轴，有无数个，B错误；对于C，由圆柱的定义知C正确；对于D，圆柱有无数条母线，D错误．故选C.]
5．下列说法正确的是(　　)
A．半圆弧以其直径为轴旋转所形成的曲面叫球
B．空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面
C．球面和球是同一个概念
D．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
B　[半圆弧以其直径为轴旋转所形成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，A不正确；B正确；球面和球是两个不同的概念，C错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径端点，则过此两点的大圆有无数个，故D错误．]
√
6. 一个圆锥的母线长为4，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为
(　　)
A．4 　 B．2
C．4 　 D．2
D　[h＝4cos 30°＝4×＝2.]
√
7. 已知正四棱锥的所有棱长都是2，则其高为(　　)
A． 　 B．
C．2 　 D．2
B　[ h＝＝.]
√
二、填空题
8．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．
2　[如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意易知其母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，
∴＝AB2，∴AB＝2.]
2
9．若球的半径为3，则过球面上任意两点的截面与球面相交所得的圆中，最大的面积为________．
9π　[球面上任意两点的截面与球面相交所得的圆中，最大的圆为半径为3的圆，所以面积为9π.]
9π
10．平面α截球O的球面所得圆的半径为3，球心O到平面α的距离为，则此球的半径为________．
2　[如图，设平面α截球O所得圆的圆心为O1，则|OO1|＝，|O1A|＝3，
∴球的半径R＝|OA|＝＝2.
]
2
11．一个圆柱的母线长为5，圆柱的轴截面的面积是20，则底面半径为________．
2　[由题意得，圆柱的轴截面为矩形，长为5，宽为2r，
所以面积为5×2r＝20，r＝2.]
2
12．若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为________．
︰2　[设正三角形的边长为a，则高＝＝a，则高与底面边长之比为︰2．]
︰2
三、解答题
13．正四棱锥的底面边长为6 cm，侧面为等腰三角形，其面积为
12 cm2，求正四棱锥侧棱的长．
[解析]　因为正四棱锥的底面ABCD为正方形，
正方形的边长为6 cm，侧面面积为12 cm2，所以斜高h′＝4 cm，
所以侧棱的长为＝5 (cm)．
14．若正三棱锥的底面边长是6 cm，侧棱长是5 cm，求该棱锥的高和斜高．
[解析]　在直角三角形SEC中SE＝＝4 (cm)，
OB＝＝2 (cm)，SO＝＝ (cm)，
所以棱锥的高为 cm，斜高为4 cm.
THANKS1．了解多面体、旋转体和棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的概念，理解直棱柱、正棱锥的有关概念．
2．理解实物或空间图形的三视图．掌握直观图的斜二测画法．
3．会求直棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥和球的表面积，会求柱体、椎体、球的体积，并会求简单组合体的表面积和体积．
4．理解平面的基本性质．
5．理解空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．
6．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定与性质．
7．理解点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离的概念，并会解决相关的距离问题．
8．理解异面直线所成角、直线与平面所成角，并会解决相关的简单问题．了解二面角的概念．
9.1　空间几何体
1．多面体及相关概念
由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体．
每个多边形称为多面体的面；
两个相邻面的公共边称为多面体的棱；
棱和棱的公共点称为多面体的顶点，
连接不在同一面上的两个顶点的线段称为多面体的体对角线．
2．棱柱
(1)棱柱的定义及相关概念有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这样的多面体称为棱柱．
两个互相平行的面称为棱柱的底面(简称底)；其余各面称为棱柱的侧面；两侧面的公共边称为棱柱的侧棱；过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高．
(2)棱柱的表示方法
用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图中的棱柱可记为棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′.
(3)棱柱的表示分类
①按底面边数分：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
②按是否与底面垂直分：斜棱柱和直棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱．侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱．底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱．
(4)几种特殊的棱柱
底面是矩形的直四棱柱称为长方体．棱长都相等的长方体称为正方体．
(5)长方体的对角线长
若长方体的长、宽、高分别是a，b，c，则其对角线的长是．
3．棱锥
(1)棱锥的定义及相关概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体称为棱锥．其中有公共顶点的三角形称为棱锥的侧面，多边形称为棱锥的底面(简称底)，相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱，过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高．
(2)棱锥的表示
棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面的一条对角线端点的字母表示．如图中的棱锥，可表示为棱锥S-ABCDEF或S-AD.
(3)棱锥的分类
棱锥按底面多边形的边数分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥…….图中的棱锥称为六棱锥．
(4)正棱锥的概念
底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥称为正棱锥．正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高称为正棱锥的斜高．
4．旋转体及相关概念
一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面称为旋转面．
由封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．
其中的定直线称为旋转体的轴．
由多面体、旋转体等基本几何体组合而成的几何体，称为组合体．组合体可以分解为基本几何体．
5．圆柱
(1)圆柱的定义及相关概念
以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，形成的曲面所围成的旋转体称为圆柱．旋转轴称为圆柱的轴；在轴上的这条边或它的长度称为圆柱的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面称为圆柱的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为圆柱的母线．
(2)圆柱的表示方法
圆柱用它轴上的字母表示，如圆柱O′O.
6．圆锥
(1)圆锥的定义及相关概念
以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周，形成的曲面所围成的旋转体称为圆锥．
旋转轴称为圆锥的轴；在轴上的这条边或它的长度称为圆锥的高；
垂直于轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的底面；
不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为圆锥的母线．
(2)圆锥的表示方法
圆锥用它轴上的字母表示，如圆锥SO.
7．球
(1)球的定义及相关概念
一个半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所形成的曲面称为球面．球面围成的几何体称为球体，简称球．
形成球的半圆的圆心称为球心；
连接球面上任一点和球心的线段称为球的半径；
连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径．
(2)球的表示方法
一个球常用其球心的字母来表示，例如球O.
(3)球的截面相关概念
球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆．
球的小圆：被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆．平面α截球面所得的交线是以O′为圆心，以r＝为半径的一个圆，截面是一个圆面(圆及其内部)．
(4)球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长称为两点的球面距离．如图，的长就是A，B两点的球面距离．
1．下列几何体中是旋转体的是 (　　)
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体；⑥圆锥．
A．①⑤⑥ 　 B．①
C．③④ 　 D．①④⑥
D　[圆柱、球体、圆锥是旋转体，六棱锥、正方体、四面体是多面体．故选D.]
2．下列说法中正确的是 (　　)
A．所有的棱柱都有一个底面
B．棱柱的顶点至少有6个
C．棱柱的侧棱至少有4条
D．棱柱的棱至少有4条
B　[棱柱有两个底面，所以A项不正确；棱柱底面的边数至少是3，三棱柱的顶点数至少是6，三棱柱的侧棱数至少是3，三棱柱的棱数至少是9，所以C、D项不正确，B项正确．]
3．下列说法正确的有(　　)
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．
A．0个 　 B．1个
C．2个 　 D．3个
C　[①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的．]
4．在空间中，到定点的距离等于定长的所有点的集合是(　　)
A．球 　 B．球的大圆
C．圆 　 D．球面
D　[根据球面的定义可知，到定点的距离等于定长的所有点的集合是球面．]
5．已知正四棱锥，底面面积为16，一条侧棱长为6，则它的斜高为________．
4　[由S底＝16，知底面边长为4，又侧棱长为6，故斜高h′＝＝4.]
题型1：空间几何体的有关命题判断
例1　(1)下列说法正确的是(　　)
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱都相等
C．棱柱的棱都平行
D．棱柱的侧棱总与底面垂直
(2)下列命题正确的是________．(填序号)
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②圆柱、圆锥的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；
④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．
(1)B　(2)③④　[(1)由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以不正确；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确．
(2)①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥，故①错误；②圆柱、圆锥的底面为圆面，故②错误；③④正确．]
点拨：(1)棱柱的结构特征有以下几点：两个面互相平行；其余各面是平行四边形；相邻两个平行四边形的公共边互相平行．
(2)圆柱、圆锥、球都是常见的旋转体，熟练掌握它们结构特征，弄清旋转体的性质是准确解题的前提．
(1)下列说法中正确的是(　　)
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②三棱柱的侧面为三角形；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长都相等．
A．①② 　 B．①③
C．②③ 　 D．②④
B　[由棱锥的定义可知，棱锥的各个侧面都是三角形，①正确；由棱柱的定义可知，棱柱的侧面都是平行四边形，②错误；③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，但各侧棱必须有一个公共顶点，④不正确．故选B.]
(2)下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是________．
③④ 　[①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
②错误，棱柱的底面可以是三角形；
③正确，由棱柱的定义易知；
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．]
题型2：简单几何体的有关计算
例2　已知正三棱锥的侧面是边长为4的正三角形，求它的斜高和高．
[解析]　在直角三角形SEC中h′＝＝2，
OB＝＝，h＝SO＝＝，故它的斜高为2，高为.
例3　已知正四棱锥的侧面为边长为2的等边三角形，如图所示，求此棱锥的高SO和斜高SE的长度．
[解析]　连接OB，OE(图略)，在直角三角形SOB中，OB＝BD＝＝，SO＝＝，
在直角三角形SOE中，OE＝AB＝1，SE＝＝.
点拨：利用高、斜高、底面半边长和高、侧棱、底面半对角线所构成的直角三角形中的边之间的关系．
已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为，求正四棱锥的高．
[解析]　如图，正四棱锥S-ABCD，SB＝，OB＝，则SO＝1.
例4　已知圆锥SO的母线长为5，底面直径为8，求圆锥SO的高．
[解析]　如图，∵圆锥的底面直径AB＝8，
∴圆锥的底面半径R＝OA＝4，又∵SA＝5，∴圆锥的高h＝SO＝＝3.
点拨：圆锥中过任意两条母线的截面是等腰三角形．
若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．
2　[设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝.
所以由题意可知
·(2r)·h＝r＝8，
∴r2＝8，∴h＝2.]
例5一个正方体的外接球与内切球的半径之比为________．
∶1　[设正方体的棱长为a，内切球的直径2r＝a，外接球的直径2R＝a，所以 R∶r＝∶1.
点拨：正方体外接球的直径等于正方体的体对角线，正方体内切球的直径等于正方体的边长．
若一个球的内接正方体的全面积等于24，则此球的大圆的面积为 ________．
3π　[设正方体的棱长为a，则6a2＝24，故a＝2，体对角线为a＝2，
外接球的直径2R＝2，R＝，球的大圆的半径即球的半径 r＝R＝，所以球的大圆的面积为πR2＝3π.]
一、选择题
1．在棱柱中(　　)
A．只有两个面平行
B．所有的棱都平行
C．所有的面都是平行四边形
D．两底面平行，且各侧棱也互相平行
D　[根据棱柱定义可知，两底面平行，侧棱平行，故选D.]
2．给出下列命题，其中正确的是(　　)
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
A．①② 　 B．②③
C．①③ 　 D．①
B　[由圆柱、圆锥的定义及母线的性质可知②③正确，①错误．]
3．下列说法错误的是(　　)
A．棱锥的侧面一定是三角形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
D　[A正确，棱锥的侧面一定是三角形．B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．D错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
]
4．下列对于圆柱的各判断中正确的是(　　)
A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱
B．经过圆柱的轴的截面仅有一个
C．将矩形ABCD(及其内部)绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱
D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线
C　[对于A，有两个互相平行的底面的旋转体可能是圆台，A错误；
对于B，圆柱的轴截面均经过圆柱的轴，有无数个，B错误；对于C，由圆柱的定义知C正确；对于D，圆柱有无数条母线，D错误．故选C.]
5．下列说法正确的是(　　)
A．半圆弧以其直径为轴旋转所形成的曲面叫球
B．空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面
C．球面和球是同一个概念
D．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
B　[半圆弧以其直径为轴旋转所形成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，A不正确；B正确；球面和球是两个不同的概念，C错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径端点，则过此两点的大圆有无数个，故D错误．]
6. 一个圆锥的母线长为4，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为(　　)
A．4 　 B．2
C．4 　 D．2
D　[h＝4cos 30°＝4×＝2.]
7. 已知正四棱锥的所有棱长都是2，则其高为(　　)
A． 　 B．
C．2 　 D．2
B　[ h＝＝.]
二、填空题
8．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．
2　[如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意易知其母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，
∴＝AB2，∴AB＝2.]
9．若球的半径为3，则过球面上任意两点的截面与球面相交所得的圆中，最大的面积为________．
9π　[球面上任意两点的截面与球面相交所得的圆中，最大的圆为半径为3的圆，所以面积为9π.]
10．平面α截球O的球面所得圆的半径为3，球心O到平面α的距离为，则此球的半径为________．
2　[如图，设平面α截球O所得圆的圆心为O1，则|OO1|＝，|O1A|＝3，
∴球的半径R＝|OA|＝＝2.
]
11．一个圆柱的母线长为5，圆柱的轴截面的面积是20，则底面半径为________．
2　[由题意得，圆柱的轴截面为矩形，长为5，宽为2r，
所以面积为5×2r＝20，r＝2.]
12．若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为________．
︰2　[设正三角形的边长为a，则高＝＝a，则高与底面边长之比为︰2．]
三、解答题
13．正四棱锥的底面边长为6 cm，侧面为等腰三角形，其面积为12 cm2，求正四棱锥侧棱的长．
[解析]　因为正四棱锥的底面ABCD为正方形，
正方形的边长为6 cm，侧面面积为12 cm2，所以斜高h′＝4 cm，
所以侧棱的长为＝5 (cm)．
14．若正三棱锥的底面边长是6 cm，侧棱长是5 cm，求该棱锥的高和斜高．
[解析]　在直角三角形SEC中SE＝＝4 (cm)，
OB＝＝2 (cm)，SO＝＝ (cm)，
所以棱锥的高为 cm，斜高为4 cm.
1．下列命题中，正确的是(　　)
①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形；
④圆柱的任意两条母线相互平行．
A．①② 　 B．②③
C．①③ 　 D．②④
D　[①所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．]
2．下列叙述中，错误的一项为(　　)
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的各个侧面都是平行四边形
C．棱柱的两底面是全等的多边形
D．棱柱的面中，至少有两个面相互平行
A　[棱柱中互相平行的不一定是底面，也可能是侧面．]
3．下列命题中的假命题是(　　)
A．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
B．以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆柱
D．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
D　[圆锥的形成必须以直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转，如果绕其斜边旋转，就会形成两个圆锥．]
4．若一个圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为4 cm，则这个圆锥的底面半径为________cm.
2　[r＝4sin 60°＝4×＝2.]
5．若圆柱的侧面展开图是周长为16的正方形，则该圆柱的轴截面面积为________．
　[由圆柱的侧面展开图是周长为16的正方形，可得圆柱的母线长为4，且底面圆的周长也是4，故底面圆的半径为r＝，所以轴截面面积为2××4＝.
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