资源简介

9.7　平面与平面的位置关系
1．两个平面之间的位置关系
(1)位置关系：平行和相交
(2)符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为α∩β＝l．
2．平面与平面平行
(1)平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
符号表示：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β．
(2)推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．
符号表示：若a α，b α，a∩b＝P，
a′ β，b′ β，a∥a′，b∥b′，则α∥β．
注意：如果两个平面平行，一个平面内的直线与另一个平面内的直线的位置关系：平行或异面．
(3)平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
符号表示为：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b a∥b．
注：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
(4)平行平面间的距离
平行平面的公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，称为这两个平行平面的公垂线．公垂线夹在这两个平行平面间的线段，称为这两个平行平面的公垂线段．两个平行平面的公垂线段的长度，称为两个平行平面间的距离．
注：夹在两个平行平面之间的平行线段相等．
如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它垂直于另一个平面．
(5)平面平行的传递性
若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
3．平面与平面相交
(1)二面角
①二面角的定义
平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．棱为l，半平面分别为α，β的二面角，记作二面角α-l-β．如图．
②二面角的平面角
如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB称为二面角的平面角．
规定：二面角的大小用它的平面角θ来度量，二面角的范围是[0，π]，平面角是直角的二面角称为直二面角．
(2)平面与平面垂直
①平面与平面垂直定义
两个平面相交，如果它们成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β．
②平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
符号表示为：l⊥α，l β β⊥α．
③平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
符号表示：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β．
注：过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直；
垂直于同一个平面的两个平面不一定平行；
平行于同一个平面的两个平面平行；
过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
1．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(　　)
A．平行
B．直线在平面内
C．相交或直线在平面内
D．平行或直线在平面内
D　[设这两个平面为α，β，直线l∥α，且α∥β，
如果l β，由l∥α，α∥β，可得l∥β，即直线平行于另一个平面；
如果l β，由α∥β可知，l∥α，满足题意，则直线可以在另一个平面内．故选D．]
2．如果直线a 平面α，直线b 平面β，且α∥β，则a与b(　　)
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
D　[α∥β，说明a与b无公共点，所以a与b可能平行也可能是异面直线．故选D．]
3．若平面α∥平面β，直线a α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
D　[因为直线a与点B可确定一个平面，该平面与平面β的交线即为在平面β内过点B，且与直线a平行的直线，所以只有唯一一条．故选D．]
4．下列命题中，错误的命题是 (　　)
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
A　[平行于同一直线的两个平面可能平行，也可能相交．]
题型1：平面与平面的位置关系
例1　 下列命题中，正确的命题的个数有(　　)
①如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③分别在两个平行平面内的两条直线平行；
④已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 　 B．2个
C． 3个 　 D．4个
A　[根据判定定理必须是一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，两平面才平行，反之，两平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，于是它平行于另一平面内无数条直线．故只有②正确．故选A．]
点拨：熟记面面平行的判定和性质．
若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则 (　　)
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
C　[α⊥β，a α，b β，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A、B、D都错误，故选C．]
题型2：平面与平面平行
例2　如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE．
[解析]　因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE．
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE．
由FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE．
点拨：证明平面与平面平行，需要证明在其中一个平面内两条相交直线与另一个平面分别平行，用直线与平面平行的判定定理和方法先证线面平行．
如图所示，在三棱锥P-ABC中．F，G，H分别是AC，PC，BC的中点，且PA＝PB，AC＝BC．
求证： 平面PAB∥平面FGH．
[解析]　∵F，G，H分别是AC，PC，BC的中点，
∴FG∥AP，FH∥AB，
又FG∩FH＝F，AP∩AB＝A，
∴平面PAB∥平面FGH．
题型3：平面与平面垂直
例3　如图所示，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1．
求证：平面C1BD⊥平面A1B1CD．
[解析]　证明：∵CD⊥平面
B1BCC1，且BC1 平面B1BCC1，
∴CD⊥BC1，又∵在正方形B1BCC1中，B1C⊥BC1，
且B1C∩CD＝C，B1C 平面A1B1CD，
CD 平面A1B1CD，∴BC1⊥平面A1B1CD，
又∵BC1 平面C1BD，∴平面C1BD⊥平面A1B1CD．
点拨：要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．
[解析]　∵AB是⊙O的直径，则BC⊥AC．
又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，
又BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．
题型4：二面角
例4如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和侧棱长都是1．求：二面角C1-AB-C的正切值．
[解析]　取AB中点D，连接CD，C1D，∵AC1＝BC1，AC＝BC，点D是AB 的中点，
∴C1D⊥AB，CD⊥AB，
∴∠CDC1就是二面角C1-AB-C的平面角，
∵△ABC是等边三角形，且边长为1，
∴CD＝．
在Rt△C1CD中，CC1＝1，CD＝，
∴tan ∠CDC1＝＝，
∴二面角C1-AB-C的正切值为．
点拨：求二面角的大小，关键是找到二面角的平面角．
在正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，AB＝PA，求二面角P-BD-A的余弦值．
[解析]　连接AC与BD交于O，连接PO．
∵四边形ABCD是正方形，
∴O为AC的中点且BD⊥AO，
∵AB＝AD，∴PB＝PD，又∵O为BD的中点，
∴PO⊥BD，
∴∠POA是二面角P-BD-A的平面角．
∵四边形ABCD是正方形，设AB＝PA＝2，
∴AO＝，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AO，
在Rt△PAO中，PO＝＝，
cos ∠POA＝＝＝，
∴二面角P-BD-A的余弦值是．
一、选择题
1．已知直线a，b，平面α，β，a α，b α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[因为直线a，b，平面α，β，a α，b α，由a∥β，b∥β得α，β平行或相交；
由α∥β得a∥β，b∥β，所以“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．]
2．下列说法正确的是(　　)
①如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；
③分别在两个平行平面内的两条直线互相平行；
④过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行．
A．①② 　 B．②③
C．①④ 　 D．②④
D　[对①：只有一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么有两个平面平行，故①错误；对②：根据平面平行的判定定理，显然成立，故②正确；对③：在两个平行平面内的两条直线，可以平行，也可以为异面直线，故③错误；对④：根据平面平行的判定定理，显然成立，故④正确．故选D．]
3．已知直线a与平面α，β，γ，能使α∥β的充分条件是(　　)
①α⊥γ，β⊥γ；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a⊥α，a⊥β．
A．①② 　 B．②③
C．①④ 　 D．②④
D　[对①，若α⊥γ，β⊥γ，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；对②，若α∥γ，β∥γ，则α∥β，平面的平行具有传递性，故②正确；对③，若a∥α，a∥β，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；对④，a⊥α，a⊥β，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确．故选D．]
4．已知α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，正确的是(　　)
① a∥b；　② a∥b；　③ α∥β；　④ αβ．
A．③④ 　 B．②③
C．①④ 　 D．①②
C　[只有线线平行，面面平行具有传递性．①④正确，故选C．]
5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AB-D的大小是(　　)
A．30° 　 B．45°
C．60° 　 D．90°
B　[由正方体可证得二面角D1-AB-D的平面角即∠D1AD，由正方形D1A1AD可知∠D1AD＝45°，故选B．]
6．设m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：
(1)若α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β；
(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．
其中正确的命题为(　　)
A．(1)(2) 　 B．(3)
C．(2)(3) 　 D．(1)(2)(3)
B　[对于(1)，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故(1)不正确；对于(2)，如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB，故(2)不正确；对于(3)，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α．若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β．故(3)正确．故选B．]
7．设有直线m，n和平面α，β，则下列命题中正确的是 (　　)
A．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
B．若m∥n，n⊥β，m α，则α⊥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
D．若m⊥n，α∩β＝m，n α，则α⊥β
B　[m∥n，n⊥β，可知m⊥β，又m α所以α⊥β，∴B正确．]
二、填空题
8．在一个二面角的一个平面内有一个点，它到棱的距离等于它到另一个面的距离的两倍，则这个二面角的度数是________．
30°　[设这个二面角的平面角为α，则sin α＝，由条件可知二面角是锐角，所以α＝30°．]
9．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，点Q是BC的中点，则平面PDQ与平面PAQ关系为________．
垂直　[由条件可以求得AQ＝DQ＝，又因为AD＝2，所以可得AQ⊥DQ，又因为PA⊥平面ABCD，DQ 平面ABCD，所以PA⊥DQ，所以DQ⊥平面PAQ．又因为DQ 平面PDQ，从而可得平面PAQ⊥平面PDQ．]
10．若将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角，则B，D两点间的距离等于________．
　[连接BD(图略)可得一个正三角形，边长等于正方形对角线长的一半．]
11．如图，四边形ABCD是矩形，且PD⊥平面ABCD，AD＝PD，则平面PAB与平面ABCD所成的二面角的平面角是________．
45°　[因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AB，又AD⊥AB，PD∩AD＝D，所以AB⊥平面PAD，则∠PAD为平面PAB与平面ABCD所成的二面角的平面角．又tan ∠PAD＝＝1，所以∠PAD＝45°．]
12．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝3，AB＝2，BC＝，则二面角P-BD-A的正切值为________．
　[过A作AH⊥BD于H，连接PH(图略)，∵PA⊥底面ABCD，∴∠PHA为二面角P-BD-A的平面角．在矩形ABCD中，AH＝，在Rt△PAH中，tan ∠PHA＝＝，∴二面角P-BD-A的正切值为．]
三、解答题
13．如图，在四棱锥P-ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O．
求证：平面EFO∥平面PCD．
[解析]　证明：因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．
又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.
又OF 平面PCD，CD 平面PCD，所以OF∥平面PCD，
因为点O，E分别是AC，PA的中点，所以OE∥PC，
又OE 平面PCD，PC 平面PCD，
所以OE∥平面PCD.又OE 平面EFO，OF 平面EFO，
且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD.
1．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：
①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；
②若a∥α，a∥β，则α∥β；
③若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β；
④若a，b是异面直线，且a α，b β，a∥β，b∥α，则α∥β；
⑤若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β．
其中真命题的个数是(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．0
B　[对于①，若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α，β相交或平行，故①错误；
对于②，若a∥α，a∥β，则α，β相交或平行，故②错误；
对于③，若a∥α，b∥β，且a∥b，则α，β相交或平行，故③错误；
对于④，若α，β相交，设α∩β＝c，则由a∥β可得a∥c，由b∥α可得b∥c，故a∥b，与a，b是异面直线矛盾，故α∥β，④正确；
对于⑤，由a∥α，b∥α可得a，b所在平面平行于α，同理可得a，b所在平面平行于β，故α∥β，⑤正确．故选B．]
2．如图，在四面体D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是 (　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
C　[∵AB＝CB，且E是AC的中点，∴BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．∵AC在平面ABC内，∴平面ABC⊥平面BDE．又AC 平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，故选C．]
3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为 (　　)
A．60° 　 B．30°
C．45° 　 D．15°
C　[由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．]
4．如图所示，三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则 (　　)
A．PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
B　[∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB．
又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD 平面PAB，∴PD⊥平面ABC．]
5．如图所示，已知菱形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD．
(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；
(2)若AB＝4，∠DAB＝120°，PA＝3，求二面角P-BD-A的正弦值．
[解析]　(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC．
又∵BD 平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD．
(2)连接PO，
∵BD⊥平面PAC，PO 平面PAC，AO 平面PAC，
∴ PO⊥BD，AO⊥BD，
∴∠POA就是二面角P-BD-A的平面角．
已知菱形ABCD，AB＝4，∠DAB＝120°，
∴AC＝AB＝4，∴AO＝AC＝2．
在Rt△PAO中，AO＝2，PA＝3，
PO＝＝＝，
∴sin ∠POA＝＝＝，
即二面角P-BD-A的正弦值是．
所以OE∥PC，
又OE 平面PCD，PC 平面PCD，
所以OE∥平面PCD．又OE 平面EFO，OF 平面EFO，
且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD．
1 / 11．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：
①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；
②若a∥α，a∥β，则α∥β；
③若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β；
④若a，b是异面直线，且a α，b β，a∥β，b∥α，则α∥β；
⑤若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β．
其中真命题的个数是(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．0
2．如图，在四面体D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是 (　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为 (　　)
A．60° 　 B．30°
C．45° 　 D．15°
4．如图所示，三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则 (　　)
A．PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
5．如图所示，已知菱形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD．
(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；
(2)若AB＝4，∠DAB＝120°，PA＝3，求二面角P-BD-A的正弦值．
1 / 1(共54张PPT)
第九章　立体几何
9.7　平面与平面的位置关系
必备知识梳理
1．两个平面之间的位置关系
(1)位置关系：平行和相交
(2)符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为__________．
α∩β＝l
2．平面与平面平行
(1)平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条____直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
符号表示：a β，b β，__________，a∥α，b∥α α∥β．
相交
a∩b＝P
(2)推论
如果一个平面内有________直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．
符号表示：若a α，b α，a∩b＝P，
a′ β，b′ β，a∥a′，b∥b′，则α∥β．
注意：如果两个平面平行，一个平面内的直线与另一个平面内的直线的位置关系：平行或异面．
两条相交
(3)平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的____平行．
符号表示为：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b ______．
注：如果两个平面平行，那么其中一个平
面内的直线平行于另一个平面．
交线
a∥b
(4)平行平面间的距离
平行平面的公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，称为这两个平行平面的公垂线．公垂线夹在这两个平行平面间的线段，称为这两个平行平面的________．两个平行平面的________的长度，称为两个平行平面间的距离．
注：夹在两个平行平面之间的平行线段相等．
如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它垂直于另一个平面．
公垂线段
公垂线段
(5)平面平行的传递性
若α∥β，β∥γ，则______．
α∥γ
3．平面与平面相交
(1)二面角
①二面角的定义
平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中
的每一部分都称为______．从一条直线出发的两个
半平面所组成的____称为二面角．这条直线称为二面角的__，这两个半平面称为二面角的__．棱为l，半平面分别为α，β的二面角，记作二面角α-l-β．如图．
半平面
图形
棱
面
②二面角的平面角
如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB称为二面角的平面角．
规定：二面角的大小用它的________来度量，二面角的范围是_______，平面角是直角的二面角称为________．
平面角θ
[0，π]
直二面角
(2)平面与平面垂直
①平面与平面垂直定义
两个平面相交，如果它们成的二面角是________，那么这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作______．
直二面角
α⊥β
②平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的________，那么这两个平面互相垂直．
符号表示为：l⊥α，______ β⊥α．
一条垂线
l β
③平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们____的直线垂直于另一个平面．
符号表示：α⊥β，α∩β＝l，______，______ a⊥β．
注：过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直；
垂直于同一个平面的两个平面不一定平行；
平行于同一个平面的两个平面平行；
过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
交线
a α
a⊥l
1．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(　　)
A．平行
B．直线在平面内
C．相交或直线在平面内
D．平行或直线在平面内
√
D　[设这两个平面为α，β，直线l∥α，且α∥β，
如果l β，由l∥α，α∥β，可得l∥β，即直线平行于另一个平面；
如果l β，由α∥β可知，l∥α，满足题意，则直线可以在另一个平面内．故选D．]
2．如果直线a 平面α，直线b 平面β，且α∥β，则a与b(　　)
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
D　[α∥β，说明a与b无公共点，所以a与b可能平行也可能是异面直线．故选D．]
√
3．若平面α∥平面β，直线a α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
D　[因为直线a与点B可确定一个平面，该平面与平面β的交线即为在平面β内过点B，且与直线a平行的直线，所以只有唯一一条．故选D．]
√
4．下列命题中，错误的命题是(　　)
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
A　[平行于同一直线的两个平面可能平行，也可能相交．]
√
题型分类透析
题型1：平面与平面的位置关系
例1　 下列命题中，正确的命题的个数有(　　)
①如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③分别在两个平行平面内的两条直线平行；
④已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 　 B．2个
C． 3个 　 D．4个
√
A　[根据判定定理必须是一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，两平面才平行，反之，两平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，于是它平行于另一平面内无数条直线．故只有②正确．故选A．]
点拨：熟记面面平行的判定和性质．
跟踪训练1
若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　)
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
√
C　[α⊥β，a α，b β，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A、B、D都错误，故选C．]
题型2：平面与平面平行
例2　如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE．
[解析]　因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE．
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE．
由FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE．
点拨：证明平面与平面平行，需要证明在其中一个平面内两条相交直线与另一个平面分别平行，用直线与平面平行的判定定理和方法先证线面平行．
跟踪训练2
如图所示，在三棱锥P-ABC中．F，G，H分别是AC，PC，BC的中点，且PA＝PB，AC＝BC．
求证： 平面PAB∥平面FGH．
[解析]　∵F，G，H分别是AC，PC，BC的中点，
∴FG∥AP，FH∥AB，
又FG∩FH＝F，AP∩AB＝A，
∴平面PAB∥平面FGH．
题型3：平面与平面垂直
例3　如图所示，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1．
求证：平面C1BD⊥平面A1B1CD．
[解析]　证明：∵CD⊥平面
B1BCC1，且BC1 平面B1BCC1，
∴CD⊥BC1，又∵在正方形B1BCC1中，B1C⊥BC1，
且B1C∩CD＝C，B1C 平面A1B1CD，
CD 平面A1B1CD，∴BC1⊥平面A1B1CD，
又∵BC1 平面C1BD，∴平面C1BD⊥平面A1B1CD．
点拨：要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．
跟踪训练3
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．
[解析]　∵AB是⊙O的直径，则BC⊥AC．
又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，
又BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．
题型4：二面角
例4如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和侧棱长都是1．求：二面角C1-AB-C的正切值．
[解析]　取AB中点D，连接CD，C1D，∵AC1＝BC1，AC＝BC，点D是AB 的中点，
∴C1D⊥AB，CD⊥AB，
∴∠CDC1就是二面角C1-AB-C的平面角，
∵△ABC是等边三角形，且边长为1，
∴CD＝．
在Rt△C1CD中，CC1＝1，CD＝，
∴tan ∠CDC1＝＝，
∴二面角C1-AB-C的正切值为．
点拨：求二面角的大小，关键是找到二面角的平面角．
跟踪训练4
在正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，AB＝PA，求二面角P-BD-A的余弦值．
[解析]　连接AC与BD交于O，连接PO．
∵四边形ABCD是正方形，
∴O为AC的中点且BD⊥AO，
∵AB＝AD，∴PB＝PD，又∵O为BD的中点，
∴PO⊥BD，
∴∠POA是二面角P-BD-A的平面角．
∵四边形ABCD是正方形，设AB＝PA＝2，
∴AO＝，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AO，
在Rt△PAO中，PO＝＝，
cos ∠POA＝＝＝，
∴二面角P-BD-A的余弦值是．
当堂达标训练
一、选择题
1．已知直线a，b，平面α，β，a α，b α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
√
B　[因为直线a，b，平面α，β，a α，b α，由a∥β，b∥β得α，β平行或相交；
由α∥β得a∥β，b∥β，所以“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．]
2．下列说法正确的是(　　)
①如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；
③分别在两个平行平面内的两条直线互相平行；
④过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行．
A．①② 　 B．②③
C．①④ 　 D．②④
√
D　[对①：只有一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么有两个平面平行，故①错误；对②：根据平面平行的判定定理，显然成立，故②正确；对③：在两个平行平面内的两条直线，可以平行，也可以为异面直线，故③错误；对④：根据平面平行的判定定理，显然成立，故④正确．故选D．]
3．已知直线a与平面α，β，γ，能使α∥β的充分条件是(　　)
①α⊥γ，β⊥γ；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a⊥α，a⊥β．
A．①② 　 B．②③
C．①④ 　 D．②④
D　[对①，若α⊥γ，β⊥γ，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；对②，若α∥γ，β∥γ，则α∥β，平面的平行具有传递性，故②正确；对③，若a∥α，a∥β，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；对④，a⊥α，a⊥β，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确．故选D．]
√
4．已知α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，正确的是(　　)
① a∥b；　② a∥b；　③ α∥β；　
④ α∥β．
A．③④ 　 B．②③
C．①④ 　 D．①②
C　[只有线线平行，面面平行具有传递性．①④正确，故选C．]
√
5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AB-D的大小是(　　)
A．30° 　 B．45°
C．60° 　 D．90°
B　[由正方体可证得二面角D1-AB-D的平面角即∠D1AD，由正方形D1A1AD可知∠D1AD＝45°，故选B．]
√
6．设m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：
(1)若α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β；
(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．
其中正确的命题为(　　)
A．(1)(2) 　 B．(3)
C．(2)(3) 　 D．(1)(2)(3)
√
B　[对于(1)，依据线面垂直的判定定理，一条直
线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到
该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线
m垂直，不能得到n⊥β，故(1)不正确；对于(2)，
如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB，故(2)不正确；对于(3)，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α．若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β．故(3)正确．故选B．]
7．设有直线m，n和平面α，β，则下列命题中正确的是(　　)
A．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
B．若m∥n，n⊥β，m α，则α⊥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
D．若m⊥n，α∩β＝m，n α，则α⊥β
B　[m∥n，n⊥β，可知m⊥β，又m α所以α⊥β，∴B正确．]
√
二、填空题
8．在一个二面角的一个平面内有一个点，它到棱的距离等于它到另一个面的距离的两倍，则这个二面角的度数是________．
30°　[设这个二面角的平面角为α，则sin α＝，由条件可知二面角是锐角，所以α＝30°．]
30°
9．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，点Q是BC的中点，则平面PDQ与平面PAQ关系为________．
垂直
垂直　[由条件可以求得AQ＝DQ＝，又因为AD＝2，所以可得AQ⊥DQ，又因为PA⊥平面ABCD，DQ 平面ABCD，所以PA⊥DQ，所以DQ⊥平面PAQ．又因为DQ 平面PDQ，从而可得平面PAQ⊥平面PDQ．]
10．若将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角，则B，D两点间的距离等于________．
　[连接BD(图略)可得一个正三角形，边长等于正方形对角线长的一半．]
11．如图，四边形ABCD是矩形，且PD⊥平面ABCD，AD＝PD，则平面PAB与平面ABCD所成的二面角的平面角是________．
45°　[因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AB，又AD⊥AB，PD∩AD＝D，所以AB⊥平面PAD，则∠PAD为平面PAB与平面ABCD所成的二面角的平面角．又tan ∠PAD＝＝1，所以∠PAD＝45°．]
45°
12．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝3，AB＝2，BC＝，则二面角P-BD-A的正切值为________．
　[过A作AH⊥BD于H，连接PH(图略)，∵PA⊥底面ABCD，∴∠PHA为二面角P-BD-A的平面角．在矩形ABCD中，AH＝，在Rt△PAH中，tan ∠PHA＝＝，∴二面角P-BD-A的正切值为．]
三、解答题
13．如图，在四棱锥P-ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O．
求证：平面EFO∥平面PCD．
[解析]　证明：因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．
又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD．
又OF 平面PCD，CD 平面PCD，所以OF∥平面PCD，
因为点O，E分别是AC，PA的中点，所以OE∥PC，
又OE 平面PCD，PC 平面PCD，
所以OE∥平面PCD．又OE 平面EFO，OF 平面EFO，
且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD．
THANKS9.7　平面与平面的位置关系
1．两个平面之间的位置关系
(1)位置关系：平行和相交
(2)符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为__________．
2．平面与平面平行
(1)平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条____直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
符号表示：a β，b β，__________，a∥α，b∥α α∥β．
(2)推论
如果一个平面内有________直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．
符号表示：若a α，b α，a∩b＝P，
a′ β，b′ β，a∥a′，b∥b′，则α∥β．
注意：如果两个平面平行，一个平面内的直线与另一个平面内的直线的位置关系：平行或异面．
(3)平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的____平行．
符号表示为：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b ______．
注：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
(4)平行平面间的距离
平行平面的公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，称为这两个平行平面的公垂线．公垂线夹在这两个平行平面间的线段，称为这两个平行平面的________．两个平行平面的________的长度，称为两个平行平面间的距离．
注：夹在两个平行平面之间的平行线段相等．
如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它垂直于另一个平面．
(5)平面平行的传递性
若α∥β，β∥γ，则______．
3．平面与平面相交
(1)二面角
①二面角的定义
平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都称为______．从一条直线出发的两个半平面所组成的____称为二面角．这条直线称为二面角的__，这两个半平面称为二面角的__．棱为l，半平面分别为α，β的二面角，记作二面角α-l-β．如图．
②二面角的平面角
如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB称为二面角的平面角．
规定：二面角的大小用它的________来度量，二面角的范围是__________，平面角是直角的二面角称为________．
(2)平面与平面垂直
①平面与平面垂直定义
两个平面相交，如果它们成的二面角是________，那么这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作______．
②平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的________，那么这两个平面互相垂直．
符号表示为：l⊥α，______ β⊥α．
③平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们____的直线垂直于另一个平面．
符号表示：α⊥β，α∩β＝l，______，______ a⊥β．
注：过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直；
垂直于同一个平面的两个平面不一定平行；
平行于同一个平面的两个平面平行；
过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
1．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(　　)
A．平行
B．直线在平面内
C．相交或直线在平面内
D．平行或直线在平面内
2．如果直线a 平面α，直线b 平面β，且α∥β，则a与b(　　)
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
3．若平面α∥平面β，直线a α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
4．下列命题中，错误的命题是 (　　)
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
题型1：平面与平面的位置关系
例1　 下列命题中，正确的命题的个数有(　　)
①如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③分别在两个平行平面内的两条直线平行；
④已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 　 B．2个
C．3个 　 D．4个
A　[根据判定定理必须是一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，两平面才平行，反之，两平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，于是它平行于另一平面内无数条直线．故只有②正确．故选A．]
点拨：熟记面面平行的判定和性质．
若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则 (　　)
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
题型2：平面与平面平行
例2　如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE．
[解析]　因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE．
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE．
由FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE．
点拨：证明平面与平面平行，需要证明在其中一个平面内两条相交直线与另一个平面分别平行，用直线与平面平行的判定定理和方法先证线面平行．
如图所示，在三棱锥P-ABC中．F，G，H分别是AC，PC，BC的中点，且PA＝PB，AC＝BC．
求证： 平面PAB∥平面FGH．
题型3：平面与平面垂直
例3　如图所示，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1．
求证：平面C1BD⊥平面A1B1CD．
[解析]　证明：∵CD⊥平面
B1BCC1，且BC1 平面B1BCC1，
∴CD⊥BC1，又∵在正方形B1BCC1中，B1C⊥BC1，
且B1C∩CD＝C，B1C 平面A1B1CD，
CD 平面A1B1CD，∴BC1⊥平面A1B1CD，
又∵BC1 平面C1BD，∴平面C1BD⊥平面A1B1CD．
点拨：要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．
题型4：二面角
例4如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和侧棱长都是1．求：二面角C1-AB-C的正切值．
[解析]　取AB中点D，连接CD，C1D，∵AC1＝BC1，AC＝BC，点D是AB 的中点，
∴C1D⊥AB，CD⊥AB，
∴∠CDC1就是二面角C1-AB-C的平面角，
∵△ABC是等边三角形，且边长为1，
∴CD＝．
在Rt△C1CD中，CC1＝1，CD＝，
∴tan ∠CDC1＝＝，
∴二面角C1-AB-C的正切值为．
点拨：求二面角的大小，关键是找到二面角的平面角．
在正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，AB＝PA，求二面角P-BD-A的余弦值．
一、选择题
1．已知直线a，b，平面α，β，a α，b α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．下列说法正确的是(　　)
①如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；
③分别在两个平行平面内的两条直线互相平行；
④过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行．
A．①② 　 B．②③
C．①④ 　 D．②④
3．已知直线a与平面α，β，γ，能使α∥β的充分条件是(　　)
①α⊥γ，β⊥γ；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a⊥α，a⊥β．
A．①② 　 B．②③
C．①④ 　 D．②④
4．已知α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，正确的是(　　)
① a∥b；　② a∥b；　③ α∥β；　④ α∥β．
A．③④ 　 B．②③
C．①④ 　 D．①②
5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AB-D的大小是(　　)
A．30° 　 B．45°
C．60° 　 D．90°
6．设m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：
(1)若α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β；
(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．
其中正确的命题为(　　)
A．(1)(2) 　 B．(3)
C．(2)(3) 　 D．(1)(2)(3)
7．设有直线m，n和平面α，β，则下列命题中正确的是 (　　)
A．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
B．若m∥n，n⊥β，m α，则α⊥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
D．若m⊥n，α∩β＝m，n α，则α⊥β
二、填空题
8．在一个二面角的一个平面内有一个点，它到棱的距离等于它到另一个面的距离的两倍，则这个二面角的度数是________．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，点Q是BC的中点，则平面PDQ与平面PAQ关系为________．
10．若将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角，则B，D两点间的距离等于________．
11．如图，四边形ABCD是矩形，且PD⊥平面ABCD，AD＝PD，则平面PAB与平面ABCD所成的二面角的平面角是________．
12．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝3，AB＝2，BC＝，则二面角P-BD-A的正切值为________．
三、解答题
13．如图，在四棱锥P-ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O．
求证：平面EFO∥平面PCD．
1 / 1

展开更多......

收起↑