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第十章　概率与统计初步
10.6　总体、样本和抽样方法
必备知识梳理
1．总体、个体、样本、样本容量
(1)把所考察对象的某一数值指标的全体作为____．
(2)构成总体的每一个元素作为____．
(3)从总体中抽出若干个体所组成的集合称为____．
(4)样本中包含的个体数目称为________．
总体
个体
样本
样本容量
2．简单随机抽样
(1)要使抽取的样本能准确地反映总体信息，能充分地代表总体，在抽样时就要保证每一个个体都可能被抽到，且每一个个体被抽到的机会是______，满足这个条件的抽样是________．
均等的
随机抽样
(2)设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n≤N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率______，我们把这样的抽取方法称为________________；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率______，我们把这样的抽取方法称为__________________．通过简单随机抽样获得的样本称为____________．
都相等
放回简单随机抽样
都相等
不放回简单随机抽样
简单随机样本
(3)最常用的简单随机抽样方法有两种：______和__________．
(4)将总体中的N个个体编号，并把号码分别写在号签上，再将号签放在一个容器中，__________，每次从中抽取一个号签，从中随机抽出n个，就可得到一个容量为n的样本，这种抽样方法就是抽签法．
(5)随机数表是由0，1，2，…，9这10个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数字的可能性____．通过随机数表抽取样本的方法称为随机数表法．
抽签法
随机数表法
搅拌均匀后
相同
3．系统抽样
(1)当总体包含的____________时，可将其______分成若干部分，然后按预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法称为系统抽样．
个体数目很大
均衡地
(2)系统抽样的步骤：
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
①编号：将总体中的N个个体按1～N进行____．
②确定分段间隔：将总体平均分成n段，设分段间隔为k，若总体中包含的个体数目N能被样本容量n整除，则k＝__．
编号
③确定样本：在第一段用简单随机抽样从编号1～k中抽取一个数s(1≤s≤k)作为起始编号，然后顺次抽取编号为______，_______，…，____________的个体，这样就得到了容量为n的样本．
需要注意的是，当总体中包含的个体数目N不能被样本容量n整除，取分段间隔为k＝的整数部分，并随机从总体中剔除N－kn个个体，然后对余下的个体重新编号，并接着按上述步骤进行抽样．
s＋k
s＋2k
s＋(n－1)k
4．分层抽样
(1)总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每部分可称为__，在各层中按层在总体中所占____进行随机抽样的方法称为____________(简称________)．
(2)分层抽样的基本步骤：
①确定样本容量与总体个数的__；
②计算出各层需抽取______；
③采用______________________在各层中抽取个体；
④将各层中抽取的个体________，就是所要抽取的样本．
层
比例
分层随机抽样
分层抽样
比
个体数
简单随机抽样或系统抽样
合在一起
1．为了了解高一年级300名学生的身高情况，从中抽取50名学生进行测量，下列说法正确的是(　　)
A．总体是300 B．个体是每一名学生
C．样本是50名学生 D．样本容量是50
D　[因为要了解的是学生身高情况，所以A，B，C错，样本容量是50，故选D．]
√
2．下列抽样试验中，适合用抽签法的是(　　)
A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
√
B　[A、D中个体的总数较大，不适于用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品性质可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适于用抽签法；B中个体数和样本容量较小，且同厂生产的两箱产品，性质差别不大，可以看作是搅拌均了．]
3．某报告厅有50排座位，每排有60个座位，一次报告会坐满了听众，会后留下每排座位号16的50名听众进行座谈，这是运用了(　　)
A．抽签法 B．随机数表法
C．系统抽样法 D．不确定
C　[50排座位相当于分50段，分段间隔k＝60，从每一段中取座位号为16的听众，相当于初始值s＝16，相邻两排的间隔相同，故为系统抽样．]
√
4．用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行问卷调查，某男生被抽到的概率是(　　)
A． B．
C． D．
C　[从容量N＝100的总体中抽取一个容量为n＝20的样本，每个个体被抽到的概率都是＝．]
√
5．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)
A．①用简单随机抽样法；②用系统抽样法
B．①用分层抽样法；②用简单随机抽样法
C．①用系统抽样法；②用分层抽样法
D．①②都用分层抽样法
√
B　[由于甲、乙、丙、丁四个地区有明显差异，所以在完成①时，需用分层抽样法．在丙地区中20个特大型销售点，从中抽取7个调查，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随机抽样法．]
题型分类透析
题型1：简单随机抽样
例1　现要从30名学生中抽取6名进行问卷调查，以下抽取样本的先后顺序为(　　)
①先将30名学生进行编号，从1号编到30号；
②把号码写在形状、大小均相同的号签上；
③将号签放在某个箱子中进行充分搅拌，力求均匀；
④依次从箱子中抽取6个号签，按这6个号签上的号码确定样本．
A．①②④③ B．②①④③
C．①②③④ D．②①③④
√
C　[从30名学生中抽取6名，总体容量和样本容量都较小，可用简单随机抽样中的抽签法．抽签法抽取样本的步骤：编号、制签、搅匀、抽签、成样．]
点拨：简单随机抽样有以下特点：
(1)总体的个体数有限；
(2)从总体中逐个地进行抽取，不放回抽样；
(3)抽样过程中，样本被搅拌均匀，确保每个个体被抽到的可能性相等．
跟踪训练1
下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．从无数个个体中抽取10个个体作为样本
B．从含有50个个体的总体里一次性抽取5个个体作为样本
C．某班有45名同学，指定个子最高的5名同学参加篮球比赛
D．一彩民从装有20个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽取5个号签
√
D　[A错，简单随机抽样中，总体中的个体数不能是无限的；B错，简单随机抽样的定义的要求是“逐个抽取”，不能“一次性”抽取；C错，指定5人参赛，每个个体被抽到的机会不均等，不是简单随机抽样；D对，符合简单随机抽样的定义和特征．]
题型2：系统抽样
例2　某学校高一年级共有500名学生，为了调查高一学生的数学成绩，计划用系统抽样的方法抽取30名学生作为调查对象：将500名学生随机从1～500编号，按编号顺序平均分成25组(1～20号，21～40号，…，481～500号)，若从第1组中用抽签法确定的号码为5，则第10组中被抽中学生的号码是(　　)
A．205 B．165
C．225 D．185
√
D　[由系统抽样样本编号的确定方法进行求解．因为第1组抽出的号码为5，所以第10组应抽出的号码是(10－1)×20＋5＝185，故选D．]
点拨：系统抽样的分段间隔是总体容量除以样本容量的整数倍．系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列，首项为第一组的编号a0，公差为分段间隔k，第n个数为a0＋(n－1)k．
跟踪训练2
某学校为了解高一年级学生每周阅读的平均时间，决定利用系统抽样的方法从该校高一1 011名学生中抽出50名学生进行调查，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别是(　　)
A．20，1 B．30，1
C．30，11 D．20，11
D　[从1 011名学生中随机剔除11名学生，剩余1 000名学生，系统抽样的间隔为＝20．]
√
题型3：分层抽样
例3　一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　　)
A．12，24，15，9 B．9，12，12，7
C．8，15，12，5 D．8，16，10，6
√
D　[由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×＝8，40×＝16，40×＝10，40×＝6．
点拨：抽样比＝＝．
跟踪训练3
某学校共有职工300人，其中，青年、中年、老年职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个样本容量为40的样本，则青年、中年、老年职工应分别抽取的人数为(　　)
A．15，15，10 B．20，12，8
C．12，20，8 D．150，90，60
√
B　[因为总体由三类差异明显的个体构成，所以应采用分层抽样的方法进行抽取．青年、中年、老年职工所占比例为5∶3∶2，所以应抽取青年职工为40×＝20(人)；应抽取中年职工为40×＝12(人)；应抽取老年职工为40×＝8(人)．]
当堂达标训练
一、选择题
1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，用随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验
√
2．要从2 004名观众中抽取50名幸运观众．先用简单随机抽样从
2 004人中剔除4人，剩下的2 000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2 004人中，每个人被抽取的可能性(　　)
A．均不相等
B．不全相等
C．都相等，且为
D．都相等，且为
√
C　[因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则应先剔除几个个体，本题先剔除4人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等．所以，每个个体被抽到的机会都相等，均为＝．]
3．下列问题中，最适合用系统抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名学生中，随机抽2名学生参加义务劳动
B．从全校3 000名学生中，随机抽100名学生参加义务劳动
C．从某市30 000名学生中，其中小学生有14 000人，初中生有
10 000人，高中生有6 000人，抽取300名学生了解该市学生的近视情况
D．从某班周二值日小组6人中，随机抽取1人擦黑板
√
B　[A错，总体中个体无差异，但个数较少，宜用简单随机抽样；B对，总体中个体无差异，个数较多，且样本容量较大，宜用系统抽样；C错，总体中个体有差异，不适合用系统抽样；D错，总体容量较小，样本容量也较小，宜用简单随机抽样．]
4．要从已确定编号的10 000名观众中抽出10名幸运观众．现采用系统抽样法抽样，其分段间隔为(　　)
A．10 B．100
C．1 000 D．10 000
√
C　[依题意，要抽10名幸运观众，所以要分成十个组，每个组容量为10 000÷10＝1 000，即分段间隔．]
5．某班有52名学生，学生随机编号1～52，用系统抽样的方法抽一个容量为4的样本．已知7号、33号、46号同学在样本中，那样本中另一位同学的编号应该是(　　)
A．13 B．19
C．20 D．51
√
C　[由题意可知，抽样间隔为13，故另一位同学的编号应为20号．]
6．某校对一年级、二年级、三年级学生的视力进行抽样分析，其中一年级、二年级、三年级学生的人数比为2∶3∶5，若采用分层抽样的方法抽取一个样本，且二年级学生中被抽到的人数为150，则抽取的样本容量n等于(　　)
A．1 500 B．1 000
C．500 D．150
√
C　[设抽到的一年级、二年级、三年级学生的人数分别为2x，3x，5x，由3x＝150，得x＝50，所以n＝100＋150＋250＝500．]
7．某全日制大学有专科生1 500人，本科生3 000人，研究生900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用网络查找学习资料的情况，抽取的样本容量为180，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取(　　)
A．55人，80人，45人
B．40人，100人，40人
C．60人，60人，60人
D．50人，100人，30人
√
D　[该大学共有学生5 400人，其中抽取比例为＝，故应在专科生、本科生、研究生中分别抽取1 500×＝50(人)，3 000×＝100(人)，900×＝30(人)．]
8．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表所示：
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，则应在三年级抽取的学生人数为(　　)
A．22 B．18
C．16 D．12
√
一年级 二年级 三年级
女生 400 360 y
男生 350 390 z
D　[一年级的学生人数为400＋350＝750，二年级的学生人数为360＋390＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×＝12．]
二、填空题
9．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为126，则第1组中用抽签方法确定的号码是________．
6　[设第1组抽取的号码为a，则a＋15×8＝126，所以a＝6．]
6
10．计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1～500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是3，则从第7个号码段中抽出的号码应是________．
63　[从500名学生中抽取50名进行问卷调查，说明分为50组，每组间隔为＝10，则从第7个号码段中抽出的号码应是3＋10×(7－1)＝63．]
63
11．防疫站对学生进行身体健康调查．某校共有学生1 600名，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是________．
760　[设该校的女生人数是x，则男生人数是1 600－x，抽样比是＝，则x＝(1 600－x)－10，解得x＝760．]
760
12．某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是_____________．
分层抽样法　[由于被抽取的个体的属性具有明显差异，所以宜采用分层抽样法．]
分层抽样法
三、解答题
13．某校高中二年级有853名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶10的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
[解析]　(1)先把这853名学生编号001，002，…，853；
(2)用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这3个号对应的学生；
(3)把余下的850名学生重新编号1，2，3，…，850；
(4)分段：取分段间隔k＝10，将总体均分成85段，每段含10名学生；
(5)从第一段即1～10号中随机抽取一个号作为起始号，如s；
(6)以后各段中依次取出s＋10，s＋20，…，s＋840这85个号．这样就按1∶10的比例抽取了一个容量为85的样本．
14．某网站调查网民对当地网页的满意程度，在登录的所有网民中，收回有效帖子共50 000份，其中持各种态度的份数如下表所示：
很满意 满意 一般 不满意
10 800 12 400 15 600 11 200
为了了解网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完善，打算从中抽选500份．为使样本更具有代表性，每类中各应抽选出多少份？
[解析]　由于网民的态度有明显的差别，所以宜采用分层抽样法抽样，各类所抽取的人数可以根据抽取比例进行计算．根据题意知抽取的比例为500∶50 000＝1∶100，所以“很满意”“满意”“一般”“不满意”的应分别抽取的份数为10 800×＝108(份)，
12 400×＝124(份)，15 600×＝156(份)，11 200×＝112(份)．
THANKS1．下列问题中，最适合用简单随机抽样的是(　　)
A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40．有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C．某学校有在编人员160人．其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本
D．某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
2．某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10 min抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是(　　)
A．抽签法 B．随机数表法
C．系统抽样法 D．其他抽样法
3．如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽到的可能性为(　　)
A． B．
C． D．
4．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．
5．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
1 / 110.6　总体、样本和抽样方法
1．总体、个体、样本、样本容量
(1)把所考察对象的某一数值指标的全体作为____．
(2)构成总体的每一个元素作为____．
(3)从总体中抽出若干个体所组成的集合称为____．
(4)样本中包含的个体数目称为________．
2．简单随机抽样
(1)要使抽取的样本能准确地反映总体信息，能充分地代表总体，在抽样时就要保证每一个个体都可能被抽到，且每一个个体被抽到的机会是______，满足这个条件的抽样是________．
(2)设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n≤N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率______，我们把这样的抽取方法称为________________；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率______，我们把这样的抽取方法称为__________________．通过简单随机抽样获得的样本称为____________．
(3)最常用的简单随机抽样方法有两种：______和__________．
(4)将总体中的N个个体编号，并把号码分别写在号签上，再将号签放在一个容器中，__________，每次从中抽取一个号签，从中随机抽出n个，就可得到一个容量为n的样本，这种抽样方法就是抽签法．
(5)随机数表是由0，1，2，…，9这10个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数字的可能性____．通过随机数表抽取样本的方法称为随机数表法．
3．系统抽样
(1)当总体包含的____________时，可将其______分成若干部分，然后按预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法称为系统抽样．
(2)系统抽样的步骤：
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
①编号：将总体中的N个个体按1～N进行____．
②确定分段间隔：将总体平均分成n段，设分段间隔为k，若总体中包含的个体数目N能被样本容量n整除，则k＝．
③确定样本：在第一段用简单随机抽样从编号1～k中抽取一个数s(1≤s≤k)作为起始编号，然后顺次抽取编号为_______，_________，…，______________的个体，这样就得到了容量为n的样本．
需要注意的是，当总体中包含的个体数目N不能被样本容量n整除，取分段间隔为k＝的整数部分，并随机从总体中剔除N－kn个个体，然后对余下的个体重新编号，并接着按上述步骤进行抽样．
4．分层抽样
(1)总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每部分可称为__，在各层中按层在总体中所占____进行随机抽样的方法称为____________(简称________)．
(2)分层抽样的基本步骤：
①确定样本容量与总体个数的__；
②计算出各层需抽取______；
③采用______________________在各层中抽取个体；
④将各层中抽取的个体________，就是所要抽取的样本．
1．为了了解高一年级300名学生的身高情况，从中抽取50名学生进行测量，下列说法正确的是(　　)
A．总体是300
B．个体是每一名学生
C．样本是50名学生
D．样本容量是50
2．下列抽样试验中，适合用抽签法的是(　　)
A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
3．某报告厅有50排座位，每排有60个座位，一次报告会坐满了听众，会后留下每排座位号16的50名听众进行座谈，这是运用了(　　)
A．抽签法 B．随机数表法
C．系统抽样法 D．不确定
4．用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行问卷调查，某男生被抽到的概率是(　　)
A． B．
C． D．
5．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)
A．①用简单随机抽样法；②用系统抽样法
B．①用分层抽样法；②用简单随机抽样法
C．①用系统抽样法；②用分层抽样法
D．①②都用分层抽样法
题型1：简单随机抽样
例1　现要从30名学生中抽取6名进行问卷调查，以下抽取样本的先后顺序为(　　)
①先将30名学生进行编号，从1号编到30号；
②把号码写在形状、大小均相同的号签上；
③将号签放在某个箱子中进行充分搅拌，力求均匀；
④依次从箱子中抽取6个号签，按这6个号签上的号码确定样本．
A．①②④③ B．②①④③
C．①②③④ D．②①③④
C　[从30名学生中抽取6名，总体容量和样本容量都较小，可用简单随机抽样中的抽签法．抽签法抽取样本的步骤：编号、制签、搅匀、抽签、成样．]
点拨：简单随机抽样有以下特点：
(1)总体的个体数有限；
(2)从总体中逐个地进行抽取，不放回抽样；
(3)抽样过程中，样本被搅拌均匀，确保每个个体被抽到的可能性相等．
下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．从无数个个体中抽取10个个体作为样本
B．从含有50个个体的总体里一次性抽取5个个体作为样本
C．某班有45名同学，指定个子最高的5名同学参加篮球比赛
D．一彩民从装有20个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽取5个号签
题型2：系统抽样
例2　某学校高一年级共有500名学生，为了调查高一学生的数学成绩，计划用系统抽样的方法抽取30名学生作为调查对象：将500名学生随机从1～500编号，按编号顺序平均分成25组(1～20号，21～40号，…，481～500号)，若从第1组中用抽签法确定的号码为5，则第10组中被抽中学生的号码是(　　)
A．205 B．165
C．225 D．185
D　[由系统抽样样本编号的确定方法进行求解．因为第1组抽出的号码为5，所以第10组应抽出的号码是(10－1)×20＋5＝185，故选D．]
点拨：系统抽样的分段间隔是总体容量除以样本容量的整数倍．系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列，首项为第一组的编号a0，公差为分段间隔k，第n个数为a0＋(n－1)k．
某学校为了解高一年级学生每周阅读的平均时间，决定利用系统抽样的方法从该校高一1 011名学生中抽出50名学生进行调查，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别是(　　)
A．20，1 B．30，1
C．30，11 D．20，11
题型3：分层抽样
例3　一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　　)
A．12，24，15，9 B．9，12，12，7
C．8，15，12，5 D．8，16，10，6
D　[由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×＝8，40×＝16，40×＝10，40×＝6．
点拨：抽样比＝＝．
某学校共有职工300人，其中，青年、中年、老年职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个样本容量为40的样本，则青年、中年、老年职工应分别抽取的人数为(　　)
A．15，15，10 B．20，12，8
C．12，20，8 D．150，90，60
一、选择题
1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，用随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验
2．要从2 004名观众中抽取50名幸运观众．先用简单随机抽样从2 004人中剔除4人，剩下的2 000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2 004人中，每个人被抽取的可能性(　　)
A．均不相等
B．不全相等
C．都相等，且为
D．都相等，且为
3．下列问题中，最适合用系统抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名学生中，随机抽2名学生参加义务劳动
B．从全校3 000名学生中，随机抽100名学生参加义务劳动
C．从某市30 000名学生中，其中小学生有14 000人，初中生有10 000人，高中生有6 000人，抽取300名学生了解该市学生的近视情况
D．从某班周二值日小组6人中，随机抽取1人擦黑板
4．要从已确定编号的10 000名观众中抽出10名幸运观众．现采用系统抽样法抽样，其分段间隔为(　　)
A．10 B．100
C．1 000 D．10 000
5．某班有52名学生，学生随机编号1～52，用系统抽样的方法抽一个容量为4的样本．已知7号、33号、46号同学在样本中，那样本中另一位同学的编号应该是(　　)
A．13 B．19
C．20 D．51
6．某校对一年级、二年级、三年级学生的视力进行抽样分析，其中一年级、二年级、三年级学生的人数比为2∶3∶5，若采用分层抽样的方法抽取一个样本，且二年级学生中被抽到的人数为150，则抽取的样本容量n等于(　　)
A．1 500 B．1 000
C．500 D．150
7．某全日制大学有专科生1 500人，本科生3 000人，研究生900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用网络查找学习资料的情况，抽取的样本容量为180，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取(　　)
A．55人，80人，45人
B．40人，100人，40人
C．60人，60人，60人
D．50人，100人，30人
8．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表所示：
一年级 二年级 三年级
女生 400 360 y
男生 350 390 z
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，则应在三年级抽取的学生人数为(　　)
A．22 B．18
C．16 D．12
二、填空题
9．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为126，则第1组中用抽签方法确定的号码是________．
10．计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1～500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是3，则从第7个号码段中抽出的号码应是________．
11．防疫站对学生进行身体健康调查．某校共有学生1 600名，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是________．
12．某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________．
三、解答题
13．某校高中二年级有853名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶10的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
14．某网站调查网民对当地网页的满意程度，在登录的所有网民中，收回有效帖子共50 000份，其中持各种态度的份数如下表所示：
很满意 满意 一般 不满意
10 800 12 400 15 600 11 200
为了了解网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完善，打算从中抽选500份．为使样本更具有代表性，每类中各应抽选出多少份？
1 / 11．(2022年)某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是700，210，140．为了解该企业不同岗位员工的健康状况，采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取300人进行体检，则抽取操作岗位的人数是________．
2．(2020年)某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…，480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…，则样本中的最后一个个体编号是________．
3．(2019年)某公司A，B，C三种不同型号产品的库存数量之比为2∶3∶1，为检验产品的质量，现采用分层抽样的方法从库存产品中抽取一个样本，若在抽取的产品中，恰有A型号产品18件，则该样本容量是________．
1 / 1
「春芳其题回放10.6　总体、样本和抽样方法
1．总体、个体、样本、样本容量
(1)把所考察对象的某一数值指标的全体作为总体．
(2)构成总体的每一个元素作为个体．
(3)从总体中抽出若干个体所组成的集合称为样本．
(4)样本中包含的个体数目称为样本容量．
2．简单随机抽样
(1)要使抽取的样本能准确地反映总体信息，能充分地代表总体，在抽样时就要保证每一个个体都可能被抽到，且每一个个体被抽到的机会是均等的，满足这个条件的抽样是随机抽样．
(2)设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n≤N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽取方法称为放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽取方法称为不放回简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．
(3)最常用的简单随机抽样方法有两种：抽签法和随机数表法．
(4)将总体中的N个个体编号，并把号码分别写在号签上，再将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，从中随机抽出n个，就可得到一个容量为n的样本，这种抽样方法就是抽签法．
(5)随机数表是由0，1，2，…，9这10个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相同．通过随机数表抽取样本的方法称为随机数表法．
3．系统抽样
(1)当总体包含的个体数目很大时，可将其均衡地分成若干部分，然后按预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法称为系统抽样．
(2)系统抽样的步骤：
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
①编号：将总体中的N个个体按1～N进行编号．
②确定分段间隔：将总体平均分成n段，设分段间隔为k，若总体中包含的个体数目N能被样本容量n整除，则k＝．
③确定样本：在第一段用简单随机抽样从编号1～k中抽取一个数s(1≤s≤k)作为起始编号，然后顺次抽取编号为s＋k，s＋2k，…，s＋(n－1)k的个体，这样就得到了容量为n的样本．
需要注意的是，当总体中包含的个体数目N不能被样本容量n整除，取分段间隔为k＝的整数部分，并随机从总体中剔除N－kn个个体，然后对余下的个体重新编号，并接着按上述步骤进行抽样．
4．分层抽样
(1)总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称分层抽样)．
(2)分层抽样的基本步骤：
①确定样本容量与总体个数的比；
②计算出各层需抽取个体数；
③采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；
④将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．
1．为了了解高一年级300名学生的身高情况，从中抽取50名学生进行测量，下列说法正确的是(　　)
A．总体是300
B．个体是每一名学生
C．样本是50名学生
D．样本容量是50
D　[因为要了解的是学生身高情况，所以A，B，C错，样本容量是50，故选D．]
2．下列抽样试验中，适合用抽签法的是(　　)
A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
B　[A、D中个体的总数较大，不适于用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品性质可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适于用抽签法；B中个体数和样本容量较小，且同厂生产的两箱产品，性质差别不大，可以看作是搅拌均了．]
3． 某报告厅有50排座位，每排有60个座位，一次报告会坐满了听众，会后留下每排座位号16的50名听众进行座谈，这是运用了(　　)
A．抽签法 B．随机数表法
C．系统抽样法 D．不确定
C　[50排座位相当于分50段，分段间隔k＝60，从每一段中取座位号为16的听众，相当于初始值s＝16，相邻两排的间隔相同，故为系统抽样．]
4．用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行问卷调查，某男生被抽到的概率是(　　)
A． B．
C． D．
C　[从容量N＝100的总体中抽取一个容量为n＝20的样本，每个个体被抽到的概率都是＝．]
5．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)
A．①用简单随机抽样法；②用系统抽样法
B．①用分层抽样法；②用简单随机抽样法
C．①用系统抽样法；②用分层抽样法
D．①②都用分层抽样法
B　[由于甲、乙、丙、丁四个地区有明显差异，所以在完成①时，需用分层抽样法．在丙地区中20个特大型销售点，从中抽取7个调查，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随机抽样法．]
题型1：简单随机抽样
例1　现要从30名学生中抽取6名进行问卷调查，以下抽取样本的先后顺序为(　　)
①先将30名学生进行编号，从1号编到30号；
②把号码写在形状、大小均相同的号签上；
③将号签放在某个箱子中进行充分搅拌，力求均匀；
④依次从箱子中抽取6个号签，按这6个号签上的号码确定样本．
A．①②④③ B．②①④③
C．①②③④ D．②①③④
C　[从30名学生中抽取6名，总体容量和样本容量都较小，可用简单随机抽样中的抽签法．抽签法抽取样本的步骤：编号、制签、搅匀、抽签、成样．]
点拨：简单随机抽样有以下特点：
(1)总体的个体数有限；
(2)从总体中逐个地进行抽取，不放回抽样；
(3)抽样过程中，样本被搅拌均匀，确保每个个体被抽到的可能性相等．
下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．从无数个个体中抽取10个个体作为样本
B．从含有50个个体的总体里一次性抽取5个个体作为样本
C．某班有45名同学，指定个子最高的5名同学参加篮球比赛
D．一彩民从装有20个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽取5个号签
D　[A错，简单随机抽样中，总体中的个体数不能是无限的；B错，简单随机抽样的定义的要求是“逐个抽取”，不能“一次性”抽取；C错，指定5人参赛，每个个体被抽到的机会不均等，不是简单随机抽样；D对，符合简单随机抽样的定义和特征．]
题型2：系统抽样
例2　某学校高一年级共有500名学生，为了调查高一学生的数学成绩，计划用系统抽样的方法抽取30名学生作为调查对象：将500名学生随机从1～500编号，按编号顺序平均分成25组(1～20号，21～40号，…，481～500号)，若从第1组中用抽签法确定的号码为5，则第10组中被抽中学生的号码是(　　)
A．205 B．165
C．225 D．185
D　[由系统抽样样本编号的确定方法进行求解．因为第1组抽出的号码为5，所以第10组应抽出的号码是(10－1)×20＋5＝185，故选D．]
点拨：系统抽样的分段间隔是总体容量除以样本容量的整数倍．系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列，首项为第一组的编号a0，公差为分段间隔k，第n个数为a0＋(n－1)k．
某学校为了解高一年级学生每周阅读的平均时间，决定利用系统抽样的方法从该校高一1 011名学生中抽出50名学生进行调查，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别是(　　)
A．20，1 B．30，1
C．30，11 D．20，11
D　[从1 011名学生中随机剔除11名学生，剩余1 000名学生，系统抽样的间隔为＝20．]
题型3：分层抽样
例3　一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　　)
A．12，24，15，9 B．9，12，12，7
C．8，15，12，5 D．8，16，10，6
D　[由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×＝8，40×＝16，40×＝10，40×＝6．
点拨：抽样比＝＝．
某学校共有职工300人，其中，青年、中年、老年职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个样本容量为40的样本，则青年、中年、老年职工应分别抽取的人数为(　　)
A．15，15，10 B．20，12，8
C．12，20，8 D．150，90，60
B　[因为总体由三类差异明显的个体构成，所以应采用分层抽样的方法进行抽取．青年、中年、老年职工所占比例为5∶3∶2，所以应抽取青年职工为40×＝20(人)；应抽取中年职工为40×＝12(人)；应抽取老年职工为40×＝8(人)．]
一、选择题
1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，用随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验
[答案]　D
2．要从2 004名观众中抽取50名幸运观众．先用简单随机抽样从2 004人中剔除4人，剩下的2 000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2 004人中，每个人被抽取的可能性(　　)
A．均不相等
B．不全相等
C．都相等，且为
D．都相等，且为
C　[因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则应先剔除几个个体，本题先剔除4人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等．所以，每个个体被抽到的机会都相等，均为＝．]
3．下列问题中，最适合用系统抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名学生中，随机抽2名学生参加义务劳动
B．从全校3 000名学生中，随机抽100名学生参加义务劳动
C．从某市30 000名学生中，其中小学生有14 000人，初中生有10 000人，高中生有6 000人，抽取300名学生了解该市学生的近视情况
D．从某班周二值日小组6人中，随机抽取1人擦黑板
B　[A错，总体中个体无差异，但个数较少，宜用简单随机抽样；B对，总体中个体无差异，个数较多，且样本容量较大，宜用系统抽样；C错，总体中个体有差异，不适合用系统抽样；D错，总体容量较小，样本容量也较小，宜用简单随机抽样．]
4．要从已确定编号的10 000名观众中抽出10名幸运观众．现采用系统抽样法抽样，其分段间隔为(　　)
A．10 B．100
C．1 000 D．10 000
C　[依题意，要抽10名幸运观众，所以要分成十个组，每个组容量为10 000÷10＝1 000，即分段间隔．]
5．某班有52名学生，学生随机编号1～52，用系统抽样的方法抽一个容量为4的样本．已知7号、33号、46号同学在样本中，那样本中另一位同学的编号应该是(　　)
A．13 B．19
C．20 D．51
C　[由题意可知，抽样间隔为13，故另一位同学的编号应为20号．]
6．某校对一年级、二年级、三年级学生的视力进行抽样分析，其中一年级、二年级、三年级学生的人数比为2∶3∶5，若采用分层抽样的方法抽取一个样本，且二年级学生中被抽到的人数为150，则抽取的样本容量n等于(　　)
A．1 500 B．1 000
C．500 D．150
C　[设抽到的一年级、二年级、三年级学生的人数分别为2x，3x，5x，由3x＝150，得x＝50，所以n＝100＋150＋250＝500．]
7．某全日制大学有专科生1 500人，本科生3 000人，研究生900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用网络查找学习资料的情况，抽取的样本容量为180，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取(　　)
A．55人，80人，45人
B．40人，100人，40人
C．60人，60人，60人
D．50人，100人，30人
D　[该大学共有学生5 400人，其中抽取比例为＝，故应在专科生、本科生、研究生中分别抽取1 500×＝50(人)，3 000×＝100(人)，900×＝30(人)．]
8．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表所示：
一年级 二年级 三年级
女生 400 360 y
男生 350 390 z
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，则应在三年级抽取的学生人数为(　　)
A．22 B．18
C．16 D．12
D　[一年级的学生人数为400＋350＝750，二年级的学生人数为360＋390＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×＝12．]
二、填空题
9．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为126，则第1组中用抽签方法确定的号码是________．
6　[设第1组抽取的号码为a，则a＋15×8＝126，所以a＝6．]
10．计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1～500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是3，则从第7个号码段中抽出的号码应是________．
63　[从500名学生中抽取50名进行问卷调查，说明分为50组，每组间隔为＝10，则从第7个号码段中抽出的号码应是3＋10×(7－1)＝63．]
11．防疫站对学生进行身体健康调查．某校共有学生1 600名，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是________．
760　[设该校的女生人数是x，则男生人数是1 600－x，抽样比是＝，则x＝(1 600－x)－10，解得x＝760．]
12．某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________．
分层抽样法　[由于被抽取的个体的属性具有明显差异，所以宜采用分层抽样法．]
三、解答题
13．某校高中二年级有853名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶10的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
[解析]　(1)先把这853名学生编号001，002，…，853；
(2)用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这3个号对应的学生；
(3)把余下的850名学生重新编号1，2，3，…，850；
(4)分段：取分段间隔k＝10，将总体均分成85段，每段含10名学生；
(5)从第一段即1～10号中随机抽取一个号作为起始号，如s；
(6)以后各段中依次取出s＋10，s＋20，…，s＋840这85个号．这样就按1∶10的比例抽取了一个容量为85的样本．
14．某网站调查网民对当地网页的满意程度，在登录的所有网民中，收回有效帖子共50 000份，其中持各种态度的份数如下表所示：
很满意 满意 一般 不满意
10 800 12 400 15 600 11 200
为了了解网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完善，打算从中抽选500份．为使样本更具有代表性，每类中各应抽选出多少份？
[解析]　由于网民的态度有明显的差别，所以宜采用分层抽样法抽样，各类所抽取的人数可以根据抽取比例进行计算．根据题意知抽取的比例为500∶50 000＝1∶100，所以“很满意”“满意”“一般”“不满意”的应分别抽取的份数为10 800×＝108(份)，12 400×＝124(份)，15 600×＝156(份)，11 200×＝112(份)．
1．下列问题中，最适合用简单随机抽样的是(　　)
A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40．有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C．某学校有在编人员160人．其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本
D．某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
B　[根据简单随机抽样的特点进行判断．A的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C中，由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法；D中，总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不宜采用简单随机抽样法．]
2．某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10 min抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是(　　)
A．抽签法 B．随机数表法
C．系统抽样法 D．其他抽样法
C　[由题意知，这个抽样是在传送带上每隔10 min抽取一产品，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，故是系统抽样法．]
3．如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽到的可能性为(　　)
A． B．
C． D．
C　[根据每个个体都等可能入样，所以其可能性为样本容量与总体容量比，即为．]
4．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．
76　[由系统抽样知，抽样间隔k＝＝16，因为样本中含编号为28的产品，则与之相邻的产品编号为12和44．故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，76，即最大编号为76．]
5．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
120　[设总体中的个体数为x，则＝，所以x＝120．]
1．(2022年)某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是700，210，140．为了解该企业不同岗位员工的健康状况，采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取300人进行体检，则抽取操作岗位的人数是________．
200　[700＋210＋140＝1 050．抽取比例为＝，抽取操作岗位的人数为700×＝200．]
2．(2020年)某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…，480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…，则样本中的最后一个个体编号是________．
469　[若样本中的个体编号依次为005，021，…，说明每组间隔为16，一共分为＝30组，所以最后一个个体编号是5＋16×(30－1)＝469．]
3．(2019年)某公司A，B，C三种不同型号产品的库存数量之比为2∶3∶1，为检验产品的质量，现采用分层抽样的方法从库存产品中抽取一个样本，若在抽取的产品中，恰有A型号产品18件，则该样本容量是________．
54　[根据分层抽样方法，＝，可知样本容量为18÷＝54．]
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