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(共48张PPT)
第十章　概率与统计初步
10.8　随机变量及其分布
必备知识梳理
1．离散型随机变量
(1)我们把表示随机试验结果的变量称为随机变量．
(2)随机变量的表示：用小写希腊字母ξ，η等表示(或用大写英文字母表示，如X，Y，Z)．
(3)离散型随机变量
所有的可能取值能一一列举出来的随机变量，我们称之为离散型随机变量．
(4)离散型随机变量的概率分布
我们把离散型随机变量ξ的取值及其相对应的概率值的全体称为离散型随机变量ξ的概率分布，简称分布．每一个随机变量对应一个样本空间，随机变量可能取得的一个值对应一个基本事件．
(5)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥_，i＝1，2，…，n．
②p1＋p2＋…＋pn＝_．
0
1
(6)离散型随机变量的均值或数学期望
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X )＝________________________________为随机变量X的均值或数学期望．
D(X)＝[x1－E(X )]2p1＋[x2－E(X )]2p2＋…＋[xn－E(X )]2pn为离散型随机变量X的方差．
x1 p1＋x2 p2＋ … ＋xi pi＋…＋xn pn
2．二项分布
(1)n次独立重复试验：如果每一次试验结果出现的概率都不依赖其他各次试验的结果，那么就把这种试验称为独立试验．如果在n次独立试验的每一次试验中，我们只考察事件A发生或不发生这两个结果，并且在每次试验中事件A发生的概率不变，那么这样的n次独立试验，就称为n次独立重复试验．
一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝_______________(k＝0，1，2，…，n)．
pk(1－p)n－k
(2)二项分布
一般地，如果在一次试验中，某事件A发生的概率是p，随机变量X为n次独立试验中事件A发生的次数，那么随机变量X的概率分布为：
p0 p1 pk p0
(1－p)n
其中0＜p＜1，k＝0，1，2，…，n．
我们将这种形式的离散型随机变量X的概率分布叫做二项分布．并称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为X～B(n，p)．
3．正态分布
(1)概率密度曲线
样本容量增大，所分组数会相应增多，频率分布直方图中的小矩形就变窄．设想如果样本容量无限增大，且分组的组距无限缩小，那么连接频率分布直方图所有的小矩形的上端的折线会无限地接近于一条光滑曲线，我们把这条曲线叫做概率密度曲线．
(2)正态曲线的特点：
①曲线在x轴的上方，并且关于直线 x ＝μ对称．
②曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状．
③曲线的形状由正参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．
(3)标准正态分布
当μ＝_且σ＝_时的正态分布称为标准正态分布．
0
1
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
D　[由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的．]
2．已知随机变量X的分布列如下表所示：
X 1 2 3
P 0.25 a b
则a＋b等于(　　)
A．0.75 B．1.5
C．1 D．0.25
A　[因为P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，所以0.25＋a＋b＝1，所以a＋b＝0.75．故选A．]
√
3．以下关于离散型随机变量的说法正确的是(　　)
①随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个；
②离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出；
③离散型随机变量的分布列中pi>0(i＝1，2，…，n)；
④离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
√
C　[①根据随机试验的条件可知正确．
②离散型随机变量的所有取值可以一一列出，故②错．
③离散型随机变量的分布列中pi≥0(i＝1，2，3，…，n)，故③错．
④由离散型随机变量的分布列的性质可知④正确．故选C．]
4．某批零件正品率为，次品率为，现对该批零件进行测试，则第3次首次测到正品的概率为(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[第3次首次测到正品，则前两次都没有测到正品，故其概率是．故选C．]
5．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是(　　)
A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件
D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件
D　[∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈0.997，
∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈1－0.997＝0.003，∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．故选D．]
√
题型分类透析
题型1：离散型随机变量的分布列
例1　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列；
(3)求X的数学期望．
[解析]　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有＝10(种)情况．
(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，
P(A)＝＝，
即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为．
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0，1，2．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝．
故X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)E(X)＝0×＋1×＋2×＝．
点拨：求离散型随机变量的分布列
(1)随机变量的取值．
(2)每一个取值所对应的概率．
(3)用所有概率之和是否为1来检验．
(4)利用均值的定义求E(X)．
跟踪训练1
口袋中装有大小相同的红球、黑球各3个，现从中随机取出3个球，记ξ表示取出的红球个数，求ξ的分布列．
[解析]　随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
因此随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
题型2：二项分布
例2　某射击运动员每次命中目标的概率是0.6，该运动员射击10 次，求：
(1)10次射击中恰有4 次命中目标的概率；
(2)10次射击中恰有6次命中目标的概率；
(3)10次射击全部命中目标的概率．(结果保留4位小数)
[解析]　设该射击运动员命中目标的次数为 ξ，则服从二项分布．于是，
(1)P(ξ＝4)＝×0.64×0.46≈0.111 5;
(2)P(ξ＝6)＝×0.66×0.44≈0.250 8;
(3)P(ξ＝10)＝×0.610×0.40≈0.006 0．
点拨：如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用公式求其概率．
p0 p1 pk p0(1－p)n
跟踪训练2
已知随机变量X服从二项分布B，则P(X＝2)等于(　　)
A． B．
C． D．
D　[P(X＝2)＝＝．故选D．]
√
题型3：正态分布
例3　在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布N(120，100)．
(1)求考生成绩ξ位于区间(110，130)内的概率；
(2)若此次考试共有2 000名考生，试估计成绩在区间(100，140)内的考生人数．
[解析]　根据题意， ξ ～N(120，100)，μ＝120, σ＝10．
(1)P(110< ξ <130)＝P(μ－σ < ξ < μ＋σ)≈0.683，所以考生成绩位于区间(110, 130)内的概率是 0.683．
(2)P(100< ξ <140)＝P(μ－2σ < ξ < μ＋2σ)≈0.954，即考生成绩在区间(100，140)内的概率为0.954．所以成绩在区间(100，140)内的考生大约有2 000×0.954＝1 908(人)．
点拨：利用正态分布的对称性求概率
由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等
跟踪训练3
设ξ～N(1，22)，求P(－1＜ξ＜3)．
[解析]　∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，
P(－1＜ξ＜3)＝P(1－2＜ξ＜1＋2)
＝P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.683．
当堂达标训练
一、选择题
1．某10人组成专业技能小组，其中有5名女生．从这10人中任选4人参加市技能大赛，用ξ表示4人中的女生人数，则P(ξ＝3)等于(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[P(ξ＝3)＝＝，故选D．]
2．一台机床加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现次品的概率如下表：
次品数X 0 1 2 3
P 0.6 0.3 0.07 0.03
则其次品数的数学期望为(　　)
A．0.46 B．0.53
C．0.5 D．0.54
B　[E(X )＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.07＋3×0.03＝0.53．故选B．]
√
3．某射手射击所得环数ξ的分布列为
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则此射手“射击一次命中环数大于8”的概率为(　　)
A．0.28 B．0.88
C．0.79 D．0.51
D　[P(ξ＞8)＝0.29＋0.22＝0.51．故选D．]
√
4．若随机变量X的概率分布表如下表所示：
X 0 1
P 0.4 m
则E(X )等于(　　)
A．0.5 B．0.4
C．0.6 D．0.24
C　[根据概率的性质可得m＝1－0.4＝0.6，所以E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6．故选C．]
√
5．任意抛掷一枚硬币3次，恰有两次正面朝上的概率为(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[每枚硬币正面朝上的概率为，故所求概率为＝．]
6．某学生参加一次选拔考试，有5道题，已知他解题的正确率为，该生至少答对4道题的概率是(　　)
√
C　[该生至少答对4道题包括“该生答对4道题”和“该生答对5道题”两种情形．故所求概率为P＝．故选C．]
7．若X～B(10，0.8)，则P(X＝7)等于(　　)
A． B．×0.83×0.27
C．0.87×0.23 D．0.83×0.27
√
A　[因为X～B(10，0.8)，所以P(X＝k)＝0.8k(1－0.8)10-k，所以P(X＝7)＝×0.87×0.23．故选A．]
8．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，取到黑球的个数为X，则P(X＝2)＝(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0，1，2，3．又每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～B，P(X＝2)＝＝．故选C．]
二、填空题
9．设投掷一枚骰子的点数为随机变量X，则X的方差为________．
　[依题意X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P
故E(X )＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝，
D(X )＝＝．]
10．从装有除颜色外其余均相同的3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ 0 1 2
P a b c
则b的值为________．
0.6　[P(ξ＝1)＝＝0.6．]
0.6
11．若小明通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是________．
　[所求概率P＝＝．]
12．设随机变量X～N(0，1)，则P(X≤0)为________．
0.5　[对称轴为直线x＝0，故P(X≤0)＝0.5．]
0.5
三、解答题
13．从含有13个红球、2个白球的箱子中，不放回地任取3个球，求：
(1)取白球个数ξ的分布列．
(1)ξ的数学期望．
[解析]　(1)ξ可能的取值为0，1，2．相应的概率依次为
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝．
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
(2)E(X )＝0×＋1×＋2×＝．
14．甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏，若双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中甲胜乙的概率；
(2)若甲、乙双方共进行了3次游戏，其中甲胜乙的次数记作随机变量X，求X的分布列．
[解析]　(1)甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件．甲胜乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．
所以在1次游戏中甲胜乙的概率P＝．
(2)X的可能取值分别为0，1，2，3，X～B，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝．
X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
THANKS1．已知下表为离散型随机变量X的分布列，则P(X＞1)等于(　　)
X 0 1 2 3
P
A． B．
C． D．
2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为(　　)
A． B．
C． D．
3．如图所示是正态分布(σ1，σ2，σ3>0相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)
A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3
4．随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，如果P(ξ≤1)＝0.841 3，求P(－1<ξ≤0)．
1 / 1
「课后能力提升
y
x=u
03
0
2
1
0
X10.8　随机变量及其分布
1．离散型随机变量
(1)我们把表示随机试验结果的变量称为随机变量．
(2)随机变量的表示：用小写希腊字母ξ，η等表示(或用大写英文字母表示，如X，Y，Z)．
(3)离散型随机变量
所有的可能取值能一一列举出来的随机变量，我们称之为离散型随机变量．
(4)离散型随机变量的概率分布
我们把离散型随机变量ξ的取值及其相对应的概率值的全体称为离散型随机变量ξ的概率分布，简称分布．每一个随机变量对应一个样本空间，随机变量可能取得的一个值对应一个基本事件．
(5)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0，i＝1，2，…，n．
②p1＋p2＋…＋pn＝1．
(6)离散型随机变量的均值或数学期望
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn为离散型随机变量X的方差．
2．二项分布
(1)n次独立重复试验：如果每一次试验结果出现的概率都不依赖其他各次试验的结果，那么就把这种试验称为独立试验．如果在n次独立试验的每一次试验中，我们只考察事件A发生或不发生这两个结果，并且在每次试验中事件A发生的概率不变，那么这样的n次独立试验，就称为n次独立重复试验．
一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)．
(2)二项分布
一般地，如果在一次试验中，某事件A发生的概率是p，随机变量X为n次独立试验中事件A发生的次数，那么随机变量X的概率分布为：
p0 p1 pk p0(1－p)n
其中0＜p＜1，k＝0，1，2，…，n．
我们将这种形式的离散型随机变量X的概率分布叫做二项分布．并称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为X～B(n，p)．
3．正态分布
(1)概率密度曲线
样本容量增大，所分组数会相应增多，频率分布直方图中的小矩形就变窄．设想如果样本容量无限增大，且分组的组距无限缩小，那么连接频率分布直方图所有的小矩形的上端的折线会无限地接近于一条光滑曲线，我们把这条曲线叫做概率密度曲线．
(2)正态曲线的特点：
①曲线在x轴的上方，并且关于直线 x＝μ对称．
②曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状．
③曲线的形状由正参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．
(3)标准正态分布
当μ＝0且σ＝1时的正态分布称为标准正态分布．
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
D　[由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的．]
2．已知随机变量X的分布列如下表所示：
X 1 2 3
P 0.25 a b
则a＋b等于(　　)
A．0.75 B．1.5
C．1 D．0.25
A　[因为P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，所以0.25＋a＋b＝1，所以a＋b＝0.75．故选A．]
3．以下关于离散型随机变量的说法正确的是(　　)
①随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个；
②离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出；
③离散型随机变量的分布列中pi>0(i＝1，2，…，n)；
④离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
C　[①根据随机试验的条件可知正确．
②离散型随机变量的所有取值可以一一列出，故②错．
③离散型随机变量的分布列中pi≥0(i＝1，2，3，…，n)，故③错．
④由离散型随机变量的分布列的性质可知④正确．故选C．]
4．某批零件正品率为，次品率为，现对该批零件进行测试，则第3次首次测到正品的概率为(　　)
A． B．
C． D．
C　[第3次首次测到正品，则前两次都没有测到正品，故其概率是．故选C．]
5．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是(　　)
A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件
D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件
D　[∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈0.997，
∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈1－0.997＝0.003，∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．故选D．]
题型1：离散型随机变量的分布列
例1　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列；
(3)求X的数学期望．
[解析]　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有＝10(种)情况．
(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，
P(A)＝＝，
即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为．
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0，1，2．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝．
故X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)E(X)＝0×＋1×＋2×＝．
点拨：求离散型随机变量的分布列
(1)随机变量的取值．
(2)每一个取值所对应的概率．
(3)用所有概率之和是否为1来检验．
(4)利用均值的定义求E(X)．
口袋中装有大小相同的红球、黑球各3个，现从中随机取出3个球，记ξ表示取出的红球个数，求ξ的分布列．
[解析]　随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
因此随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
题型2：二项分布
例2　某射击运动员每次命中目标的概率是0.6，该运动员射击10 次，求：
(1)10次射击中恰有4 次命中目标的概率；
(2)10次射击中恰有6次命中目标的概率；
(3)10次射击全部命中目标的概率．(结果保留4位小数)
[解析]　设该射击运动员命中目标的次数为 ξ，则服从二项分布．于是，
(1)P(ξ＝4)＝×0.64×0.46≈0.111 5;
(2)P(ξ＝6)＝×0.66×0.44≈0.250 8;
(3)P(ξ＝10)＝×0.610×0.40≈0.006 0．
点拨：如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用公式求其概率．
p0 p1 pk p0(1－p)n
已知随机变量X服从二项分布B，则P(X＝2)等于(　　)
A． B．
C． D．
D　[P(X＝2)＝＝．故选D．]
题型3：正态分布
例3　在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布N(120，100)．
(1)求考生成绩ξ位于区间(110，130)内的概率；
(2)若此次考试共有2 000名考生，试估计成绩在区间(100，140)内的考生人数．
[解析]　根据题意， ξ～N(120，100)，μ＝120, σ＝10．
(1)P(110< ξ <130)＝P(μ－σ < ξ < μ＋σ)≈0.683，所以考生成绩位于区间(110, 130)内的概率是 0.683．
(2)P(100< ξ <140)＝P(μ－2σ < ξ < μ＋2σ)≈0.954，即考生成绩在区间(100，140)内的概率为0.954．所以成绩在区间(100，140)内的考生大约有2 000×0.954＝1 908(人)．
点拨：利用正态分布的对称性求概率
由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等
设ξ～N(1，22)，求P(－1＜ξ＜3)．
[解析]　∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，
P(－1＜ξ＜3)＝P(1－2＜ξ＜1＋2)
＝P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.683．
一、选择题
1．某10人组成专业技能小组，其中有5名女生．从这10人中任选4人参加市技能大赛，用ξ表示4人中的女生人数，则P(ξ＝3)等于(　　)
A． B．
C． D．
D　[P(ξ＝3)＝＝，故选D．]
2．一台机床加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现次品的概率如下表：
次品数X 0 1 2 3
P 0.6 0.3 0.07 0.03
则其次品数的数学期望为(　　)
A．0.46 B．0.53
C．0.5 D．0.54
B　[E(X)＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.07＋3×0.03＝0.53．故选B．]
3．某射手射击所得环数ξ的分布列为
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则此射手“射击一次命中环数大于8”的概率为(　　)
A．0.28 B．0.88
C．0.79 D．0.51
D　[P(ξ＞8)＝0.29＋0.22＝0.51．故选D．]
4．若随机变量X的概率分布表如下表所示：
X 0 1
P 0.4 m
则E(X)等于(　　)
A．0.5 B．0.4
C．0.6 D．0.24
C　[根据概率的性质可得m＝1－0.4＝0.6，所以E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6．故选C．]
5．任意抛掷一枚硬币3次，恰有两次正面朝上的概率为(　　)
A． B．
C． D．
B　[每枚硬币正面朝上的概率为，故所求概率为＝．]
6．某学生参加一次选拔考试，有5道题，已知他解题的正确率为，该生至少答对4道题的概率是(　　)
C　[该生至少答对4道题包括“该生答对4道题”和“该生答对5道题”两种情形．故所求概率为P＝．故选C．]
7．若X～B(10，0.8)，则P(X＝7)等于(　　)
A． B．×0.83×0.27
C．0.87×0.23 D．0.83×0.27
A　[因为X～B(10，0.8)，所以P(X＝k)＝0.8k(1－0.8)10-k，所以P(X＝7)＝×0.87×0.23．故选A．]
8．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，取到黑球的个数为X，则P(X＝2)＝(　　)
A． B．
C． D．
C　[有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0，1，2，3．又每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～B，P(X＝2)＝＝．故选C．]
二、填空题
9．设投掷一枚骰子的点数为随机变量X，则X的方差为________．
　[依题意X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P
故E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝，
D(X)＝＝．]
10．从装有除颜色外其余均相同的3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ 0 1 2
P a b c
则b的值为________．
0.6　[P(ξ＝1)＝＝0.6．]
11．若小明通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是________．
　[所求概率P＝＝．]
12．设随机变量X～N(0，1)，则P(X≤0)为________．
0.5　[对称轴为直线x＝0，故P(X≤0)＝0.5．]
三、解答题
13．从含有13个红球、2个白球的箱子中，不放回地任取3个球，求：
(1)取白球个数ξ的分布列．
(2)ξ的数学期望．
[解析]　(1)ξ可能的取值为0，1，2．相应的概率依次为
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝．
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＝．
14．甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏，若双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中甲胜乙的概率；
(2)若甲、乙双方共进行了3次游戏，其中甲胜乙的次数记作随机变量X，求X的分布列．
[解析]　(1)甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件．甲胜乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．
所以在1次游戏中甲胜乙的概率P＝．
(2)X的可能取值分别为0，1，2，3，X～B，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝．
X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
1．已知下表为离散型随机变量X的分布列，则P(X＞1)等于(　　)
X 0 1 2 3
P
A． B．
C． D．
C　[根据P(X＞1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝，故选C．]
2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为(　　)
A． B．
C． D．
B　[事件A在一次试验中发生的概率为p，
由题意得p0(1－p)4＝，所以1－p＝，p＝．故选B．]
3．如图所示是正态分布(σ1，σ2，σ3>0相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)
A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3
A　[由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3．故选A．]
4．随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，如果P(ξ≤1)＝0.841 3，求P(－1<ξ≤0)．
[解析]　因为P(ξ≤1)＝0.841 3，
所以P(ξ>1)＝1－0.841 3＝0.158 7，
所以P(ξ≤－1)＝0.158 7，
所以P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3．
1 / 110.8　随机变量及其分布
1．离散型随机变量
(1)我们把表示随机试验结果的变量称为随机变量．
(2)随机变量的表示：用小写希腊字母ξ，η等表示(或用大写英文字母表示，如X，Y，Z)．
(3)离散型随机变量
所有的可能取值能一一列举出来的随机变量，我们称之为离散型随机变量．
(4)离散型随机变量的概率分布
我们把离散型随机变量ξ的取值及其相对应的概率值的全体称为离散型随机变量ξ的概率分布，简称分布．每一个随机变量对应一个样本空间，随机变量可能取得的一个值对应一个基本事件．
(5)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥__，i＝1，2，…，n．
②p1＋p2＋…＋pn＝______．
(6)离散型随机变量的均值或数学期望
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝________________________________为随机变量X的均值或数学期望．
D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn为离散型随机变量X的方差．
2．二项分布
(1)n次独立重复试验：如果每一次试验结果出现的概率都不依赖其他各次试验的结果，那么就把这种试验称为独立试验．如果在n次独立试验的每一次试验中，我们只考察事件A发生或不发生这两个结果，并且在每次试验中事件A发生的概率不变，那么这样的n次独立试验，就称为n次独立重复试验．
一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝(k＝0，1，2，…，n)．
(2)二项分布
一般地，如果在一次试验中，某事件A发生的概率是p，随机变量X为n次独立试验中事件A发生的次数，那么随机变量X的概率分布为：
p0 p1 pk p0(1－p)n
其中0＜p＜1，k＝0，1，2，…，n．
我们将这种形式的离散型随机变量X的概率分布叫做二项分布．并称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为X～B(n，p)．
3．正态分布
(1)概率密度曲线
样本容量增大，所分组数会相应增多，频率分布直方图中的小矩形就变窄．设想如果样本容量无限增大，且分组的组距无限缩小，那么连接频率分布直方图所有的小矩形的上端的折线会无限地接近于一条光滑曲线，我们把这条曲线叫做概率密度曲线．
(2)正态曲线的特点：
①曲线在x轴的上方，并且关于直线 x＝μ对称．
②曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状．
③曲线的形状由正参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．
(3)标准正态分布
当μ＝__且σ＝__时的正态分布称为标准正态分布．
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
2．已知随机变量X的分布列如下表所示：
X 1 2 3
P 0.25 a b
则a＋b等于(　　)
A．0.75 B．1.5
C．1 D．0.25
3．以下关于离散型随机变量的说法正确的是(　　)
①随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个；
②离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出；
③离散型随机变量的分布列中pi>0(i＝1，2，…，n)；
④离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
4．某批零件正品率为，次品率为，现对该批零件进行测试，则第3次首次测到正品的概率为(　　)
A． B．
C． D．
5．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是(　　)
A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件
D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件
题型1：离散型随机变量的分布列
例1　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列；
(3)求X的数学期望．
[解析]　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有＝10(种)情况．
(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，
P(A)＝＝，
即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为．
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0，1，2．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝．
故X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)E(X)＝0×＋1×＋2×＝．
点拨：求离散型随机变量的分布列
(1)随机变量的取值．
(2)每一个取值所对应的概率．
(3)用所有概率之和是否为1来检验．
(4)利用均值的定义求E(X)．
口袋中装有大小相同的红球、黑球各3个，现从中随机取出3个球，记ξ表示取出的红球个数，求ξ的分布列．
题型2：二项分布
例2　某射击运动员每次命中目标的概率是0.6，该运动员射击10 次，求：
(1)10次射击中恰有4 次命中目标的概率；
(2)10次射击中恰有6次命中目标的概率；
(3)10次射击全部命中目标的概率．(结果保留4位小数)
[解析]　设该射击运动员命中目标的次数为 ξ，则服从二项分布．于是，
(1)P(ξ＝4)＝×0.64×0.46≈0.111 5;
(2)P(ξ＝6)＝×0.66×0.44≈0.250 8;
(3)P(ξ＝10)＝×0.610×0.40≈0.006 0．
点拨：如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用公式求其概率．
p0 p1 pk p0(1－p)n
已知随机变量X服从二项分布B，则P(X＝2)等于(　　)
A． B．
C． D．
题型3：正态分布
例3　在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布N(120，100)．
(1)求考生成绩ξ位于区间(110，130)内的概率；
(2)若此次考试共有2 000名考生，试估计成绩在区间(100，140)内的考生人数．
[解析]　根据题意， ξ～N(120，100)，μ＝120, σ＝10．
(1)P(110< ξ <130)＝P(μ－σ < ξ < μ＋σ)≈0.683，所以考生成绩位于区间(110, 130)内的概率是 0.683．
(2)P(100< ξ <140)＝P(μ－2σ < ξ < μ＋2σ)≈0.954，即考生成绩在区间(100，140)内的概率为0.954．所以成绩在区间(100，140)内的考生大约有2 000×0.954＝1 908(人)．
点拨：利用正态分布的对称性求概率
由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等
设ξ～N(1，22)，求P(－1＜ξ＜3)．
一、选择题
1．某10人组成专业技能小组，其中有5名女生．从这10人中任选4人参加市技能大赛，用ξ表示4人中的女生人数，则P(ξ＝3)等于(　　)
A． B．
C． D．
2．一台机床加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现次品的概率如下表：
次品数X 0 1 2 3
P 0.6 0.3 0.07 0.03
则其次品数的数学期望为(　　)
A．0.46 B．0.53
C．0.5 D．0.54
3．某射手射击所得环数ξ的分布列为
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则此射手“射击一次命中环数大于8”的概率为(　　)
A．0.28 B．0.88
C．0.79 D．0.51
4．若随机变量X的概率分布表如下表所示：
X 0 1
P 0.4 m
则E(X)等于(　　)
A．0.5 B．0.4
C．0.6 D．0.24
5．任意抛掷一枚硬币3次，恰有两次正面朝上的概率为(　　)
A． B．
C． D．
6．某学生参加一次选拔考试，有5道题，已知他解题的正确率为，该生至少答对4道题的概率是(　　)
7．若X～B(10，0.8)，则P(X＝7)等于(　　)
A． B．×0.83×0.27
C．0.87×0.23 D．0.83×0.27
8．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，取到黑球的个数为X，则P(X＝2)＝(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
9．设投掷一枚骰子的点数为随机变量X，则X的方差为________．
10．从装有除颜色外其余均相同的3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ 0 1 2
P a b c
则b的值为________．
11．若小明通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是________．
12．设随机变量X～N(0，1)，则P(X≤0)为________．
三、解答题
13．从含有13个红球、2个白球的箱子中，不放回地任取3个球，求：
(1)取白球个数ξ的分布列．
(2)ξ的数学期望．
14．甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏，若双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中甲胜乙的概率；
(2)若甲、乙双方共进行了3次游戏，其中甲胜乙的次数记作随机变量X，求X的分布列．
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