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11.2　复数的几何意义
1．复数与平面内点的对应关系：在平面上建立一个直角坐标系，我们将一个复数z＝x＋yi的实部x与虚部y分别看成直角坐标系中点的横坐标和纵坐标，这样我们就建立了复数和直角坐标平面内的点之间的一一对应关系，于是我们就可以借助点Z(a，b)来表示复数____________，如图所示．这个对应关系给了复数一个直观的几何解释，它沟通了“复数”与平面上“点”之间的联系．
2．复数与向量的对应关系：由于点Z(a，b)与以O为始点，Z为终点的向量是一一对应的，所以复数z＝a＋bi可以用向量__来表示，这样我们又建立了复数与向量之间的一一对应．
3．建立了直角坐标系来表示____的平面称为复平面．在复平面内，x轴通常称为____，y轴称为____．任一个实数a与x轴上的点__________一一对应，任一个纯虚数bi(b≠0)与y轴上的点(0，b)一一对应．
4．设z＝a＋bi，则它对应的向量的长度称为复数a＋bi的模，记作|a＋bi|，则|a＋bi|＝__．特别地，当b＝0时，|a＋bi|＝|a|，这表明复数的模是实数绝对值概念的推广．
5．如果两个复数的实部相等，虚部互为____数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用 表示．当z＝a＋bi时，＝________．表示两个互为共轭复数的点关于____对称，并且它们的模____．
1．下列说法正确的是(　　)
A．在复平面内，虚轴上的点表示的都是纯虚数
B．任意的两个复数都不能比较大小
C．任意的两个共轭复数对应的向量都关于y轴对称
D．任意的两个共轭复数对应的向量都关于x轴对称
2．已知z1＝1＋i，z2＝－1＋i，则下列结论正确的是(　　)
A．因为z1－z2＝2，所以z1＞z2
B．因为z2－z1＝－2，所以z1＜z2
C．z1和z2互为共轭虚数
D．|z1|＝|z2|
3．已知z1，z2∈C，则“z1＋z2∈R”是“z1和z2互为共轭复数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知复数z＝3＋4i，则＝(　　)
A．－3＋4i 　 B．－3－4i
C．3－4i 　 D．3＋4i
5．已知z∈C，则|z|≥2在复平面内表示的图形是(　　)
A．以原点为圆心，半径为2的圆
B．以原点为圆心，半径为2的圆及圆内区域
C．以原点为圆心，半径为2的圆及圆外区域
D．以原点为圆心，半径为2的圆外区域
题型1：复平面的概念理解
例1　已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第一象限，则结论正确的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
A　[在复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)与点Z(a，b)是一一对应的，所以复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第一象限，等价于a＞0，b＞0，故选A．]
点拨：复平面就是用来直观表示复数对应点的平面直角坐标系，在复平面内，坐标轴以外的点都表示一个虚数．
已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第二象限，则结论正确的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
例2　已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴上，则结论正确的是(　　)
A．a∈R，b＞0 　 B．a∈R，b＜0
C．a＝0，b≠0 　 D．a＝0，b∈R
D　[∵复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴上，∴a＝0，b∈R，故选D．]
点拨：在复平面内，实轴上的点对应实数，而虚轴上的点除原点以外都表示纯虚数。
已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在实轴的正半轴上，则结论正确的是(　　)
A．a＞0，b＝0 　 B．a＝0，b＞0
C．a＜0，b＝0 　 D．a＝0，b＜0
题型2：复数模的计算
例3　已知复数z＝3－4i，则|z|等于(　　)
A．3 　 B．4
C．5 　 D．6
C　[|z|＝＝5，故选C．]
点拨：关于复数的模，一种题型是正向应用公式，即根据一个复数的实部和虚部求该复数的模，另一种题型是逆向应用公式，即已知一个复数的模应用模的计算公式求复数的实部或虚部．
已知复数z＝m－4i(m∈R)，若|z|＝5，则m等于(　　)
A．3 　 B．5
C．±3 　 D．±5
题型3：共轭复数的概念理解
例4　已知复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3＋2i，则实数m的值是(　　)
A．3 　 B．±3
C．7 　 D．±7
C　[∵复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3＋2i，∴5－m＝－2，解得m＝7，故选C．]
点拨：共轭复数是指实部相等而虚部互为相反数的两个复数，它们反映出的几何意义是相应的点或向量关于x轴对称，且模相等．特别地，一个实数的共轭复数是自身．
已知复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3，则实数m的值是(　　)
A．4 　 B．5
C．6 　 D．7
一、选择题
1．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第三象限，则结论正确的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
2．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第四象限，则共轭复数对应的点在(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
3．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴的正半轴上，则结论正确的是(　　)
A．a＝0，b＝0 　 B．a＝0，b≠0
C．a＝0，b＞0 　 D．a＝0，b＜0
4．已知复数z＝3－4mi(m∈R)，若|z|＝5，则 m 等于(　　)
A．4 　 B．±4
C．1 　 D．±1
5．已知复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3－2i，则实数m的值是(　　)
A．3 　 B．±3
C．7 　 D．±7
6．已知复数z＝6－8i，则等于(　　)
A．6－8i 　 B．6＋8i
C．－8＋6i 　 D．－8－6i
7．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则“b＝0”是“z＝”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知x，y∈R，若复数z＝(2x－6)＋(3y－9)i对应的点在第二象限，则(　　)
A．x＞3，y＜3 　 B．x＞3，y＞3
C．x＜3，y＞3 　 D．x＜3，y＜3
二、填空题
9．在复平面内，已知点Z(－3，6)对应复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则复数z＝________．
10．已知复数z＝－3＋3i，则|z|＝________．
11．已知复数z＝－1＋(a－3)i对应的点在复平面的实轴上，则实数a＝________．
12．已知复数z＝－a＋(a＋2)i对应的点在直线y＝2x上，则实数a＝________．
13．已知复数z＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，则|z|＝________．
三、解答题
14．求下列复数的模：
(1)z＝－5＋12i；(2)z＝6＋8i；
(3)z＝－1－i．
15．已知复数z＝＋mi(m∈R)，根据下列条件求实数m的值．
(1)|z|＝2；(2)＝；(3)||＝3．
1 / 11．已知复数z＝－8＋mi(m∈R)的模为10，则m等于(　　)
A．8 　 B．6
C．±8 　 D．±6
2．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝1的充要条件是(　　)
A．ab＝1 　 B．a＋b＝1
C．a－b＝1 　 D．a2＋b2＝1
3．已知z∈C，则2≤|z|≤3在复平面内表示图形的面积等于(　　)
A．2π 　 B．3π
C．4π 　 D．5π
4．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若|a|≤1，|b|≤2，则|z|在复平面内表示图形的面积等于________．
5．已知x∈R，则方程2x2－5x＋2＋(x2－x－2)i＝0的根是________．
6．已知复数z＝a2－a－6＋i(a∈R)在复平面内对应的点为Z．
(1)若点Z落在复平面的虚轴上，求实数a的值；
(2)若点Z落在复平面的实轴上，求实数a的值．
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第十一章　复数
11.2　复数的几何意义
必备知识梳理
1．复数与平面内点的对应关系：在平面上建立一个直角坐标系，我们将一个复数z＝x＋yi的实部x与虚部y分别看成直角坐标系中点的横坐标和纵坐标，这样我们就建立了复数和直角坐标平面内的点之间的一一对应关系，于是我们就可以借助点Z(a，b)来表示复数____________，如图所示．这个对应关系给了
复数一个直观的几何解释，它沟通了“复数”
与平面上“点”之间的联系．
z＝a＋bi
2．复数与向量的对应关系：由于点Z(a，b)与以O为始点，Z为终点的向量是一一对应的，所以复数z＝a＋bi可以用向量____来表示，这样我们又建立了复数与向量之间的一一对应．
3．建立了直角坐标系来表示____的平面称为复平面．在复平面内，x轴通常称为____，y轴称为____．任一个实数a与x轴上的点__________一一对应，任一个纯虚数bi(b≠0)与y轴上的点(0，b)一一对应．
复数
实轴
虚轴
(a，0)
4．设z＝a＋bi，则它对应的向量的长度称为复数a＋bi的模，记作|a＋bi|，则|a＋bi|＝________．特别地，当b＝0时，|a＋bi|＝|a|，这表明复数的模是实数绝对值概念的推广．
5．如果两个复数的实部相等，虚部互为____数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用 表示．当z＝a＋bi时，＝______．表示两个互为共轭复数的点关于____对称，并且它们的模____．
相反
a－bi
实轴
相等
1．下列说法正确的是(　　)
A．在复平面内，虚轴上的点表示的都是纯虚数
B．任意的两个复数都不能比较大小
C．任意的两个共轭复数对应的向量都关于y轴对称
D．任意的两个共轭复数对应的向量都关于x轴对称
√
D　[在选项A中，原点在虚轴上，表示实数0；在选项B中，如果两个复数都是实数，那么这两个实数可以比较大小；在选项C，D中，根据共轭复数的定义，任意的两个共轭复数对应的向量都关于x轴对称，故选D．]
2．已知z1＝1＋i，z2＝－1＋i，则下列结论正确的是(　　)
A．因为z1－z2＝2，所以z1＞z2
B．因为z2－z1＝－2，所以z1＜z2
C．z1和z2互为共轭虚数
D．|z1|＝|z2|
√
D　[∵|z1|＝＝，|z2|＝＝，∴|z1|＝|z2|，故选D．]
3．已知z1，z2∈C，则“z1＋z2∈R”是“z1和z2互为共轭复数”的
(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
B　[∵“z1和z2互为共轭复数” “z1＋z2∈R”，故选B．]
4．已知复数z＝3＋4i，则＝(　　)
A．－3＋4i 　 B．－3－4i
C．3－4i 　 D．3＋4i
√
5．已知z∈C，则|z|≥2在复平面内表示的图形是(　　)
A．以原点为圆心，半径为2的圆
B．以原点为圆心，半径为2的圆及圆内区域
C．以原点为圆心，半径为2的圆及圆外区域
D．以原点为圆心，半径为2的圆外区域
√
题型分类透析
题型1：复平面的概念理解
例1　已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第一象限，则结论正确的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
√
A　[在复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)与点Z(a，b)是一一对应的，所以复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第一象限，等价于a＞0，b＞0，故选A．]
点拨：复平面就是用来直观表示复数对应点的平面直角坐标系，在复平面内，坐标轴以外的点都表示一个虚数．
跟踪训练1
已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第二象限，则结论正确的是
(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
C　[∵复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第二象限，∴a＜0，b＞0，故选C．]
√
例2　已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴上，则结论正确的是(　　)
A．a∈R，b＞0 　 B．a∈R，b＜0
C．a＝0，b≠0 　 D．a＝0，b∈R
D　[∵复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴上，∴a＝0，b∈R，故选D．]
点拨：在复平面内，实轴上的点对应实数，而虚轴上的点除原点以外都表示纯虚数。
√
跟踪训练2
已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在实轴的正半轴上，则结论正确的是(　　)
A．a＞0，b＝0 　 B．a＝0，b＞0
C．a＜0，b＝0 　 D．a＝0，b＜0
A　[∵复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在实轴的正半轴上，∴a＞0，b＝0，故选A．]
√
题型2：复数模的计算
例3　已知复数z＝3－4i，则|z|等于(　　)
A．3 　 B．4
C．5 　 D．6
C　[|z|＝＝5，故选C．]
√
点拨：关于复数的模，一种题型是正向应用公式，即根据一个复数的实部和虚部求该复数的模，另一种题型是逆向应用公式，即已知一个复数的模应用模的计算公式求复数的实部或虚部．
跟踪训练3
已知复数z＝m－4i(m∈R)，若|z|＝5，则m等于(　　)
A．3 　 B．5
C．±3 　 D．±5
C　[∵|z|＝5，∴＝5，解得m＝±3，故选C．]
√
题型3：共轭复数的概念理解
例4　已知复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3＋2i，则实数m的值是(　　)
A．3 　 B．±3
C．7 　 D．±7
C　[∵复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3＋2i，∴5－m＝－2，解得m＝7，故选C．]
√
点拨：共轭复数是指实部相等而虚部互为相反数的两个复数，它们反映出的几何意义是相应的点或向量关于x轴对称，且模相等．特别地，一个实数的共轭复数是自身．
跟踪训练4
已知复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3，则实数m的值是(　　)
A．4 　 B．5
C．6 　 D．7
B　[∵复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3，
∴5－m＝0，解得m＝5，故选B．]
√
当堂达标训练
一、选择题
1．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第三象限，则结论正确的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
√
D　[∵复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第三象限，∴a＜0，b＜0，故选D．]
2．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第四象限，则共轭复数对应的点在(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
√
A　[∵复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第四象限，∴＝a－bi对应的点在第一象限，故选A．]
3．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴的正半轴上，则结论正确的是(　　)
A．a＝0，b＝0 　 B．a＝0，b≠0
C．a＝0，b＞0 　 D．a＝0，b＜0
√
C　[∵复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴的正半轴上，∴a＝0，b＞0，故选C．]
4．已知复数z＝3－4mi(m∈R)，若|z|＝5，则 等于(　　)
A．4 　 B．±4
C．1 　 D．±1
√
D　[∵|z|＝5，∴＝5，解得m＝±1，故选D．]
5．已知复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3－2i，则实数m的值是
(　　)
A．3 　 B．±3
C．7 　 D．±7
√
A　[∵复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3－2i，∴5－m＝2，解得m＝3，故选A．]
6．已知复数z＝6－8i，则等于(　　)
A．6－8i 　 B．6＋8i
C．－8＋6i 　 D．－8－6i
√
7．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则“b＝0”是“z＝”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
8．已知x，y∈R，若复数z＝(2x－6)＋(3y－9)i对应的点在第二象限，则(　　)
A．x＞3，y＜3 　 B．x＞3，y＞3
C．x＜3，y＞3 　 D．x＜3，y＜3
√
C　[∵复数z＝(2x－6)＋(3y－9)i对应的点在第二象限，∴2x－6＜0且3y－9＞0，解得x＜3，y＞3，故选C．]
二、填空题
9．在复平面内，已知点Z(－3，6)对应复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则复数z＝________．
－3＋6i　[∵点Z(－3，6)对应复数z＝a＋bi(a，b∈R)，∴a＝－3，b＝6，∴z＝－3＋6i．]
－3＋6i
10．已知复数z＝－3＋3i，则|z|＝________．
3
3　[ ∵复数z＝－3＋3i，∴|z|＝＝3．]
11．已知复数z＝－1＋(a－3)i对应的点在复平面的实轴上，则实数a＝________．
3　[∵复数z＝－1＋(a－3)i对应的点在复平面的实轴上，∴a－3＝0，解得a＝3．]
3
12．已知复数z＝－a＋(a＋2)i对应的点在直线y＝2x上，则实数a＝________．
－　[∵复数z＝－a＋(a＋2)i对应的点在直线y＝2x上，∴a＋2＝2(－a)，解得a＝－．]
－
13．已知复数z＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，则|z|＝________．
1
1　[∵复数z＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，∴|z|＝＝1．]
三、解答题
14．求下列复数的模：
(1)z＝－5＋12i；(2)z＝6＋8i；
(3)z＝－1－i．
[解析]　(1)|z|＝＝13．
(2)|z|＝＝10．
(3)|z|＝＝2．
15．已知复数z＝＋mi(m∈R)，根据下列条件求实数m的值．
(1)|z|＝2；(2)＝；(3)||＝3．
[解析]　(1)∵z＝＋mi，|z|＝2，
∴＝2，解得m＝±1．
(2)∵z＝＋mi，∴＝，
∴－mi＝，可得m＝0．
(3)∵z＝＋mi，∴|＝＝3，解得m＝±．
THANKS11.2　复数的几何意义
1．复数与平面内点的对应关系：在平面上建立一个直角坐标系，我们将一个复数z＝x＋yi的实部x与虚部y分别看成直角坐标系中点的横坐标和纵坐标，这样我们就建立了复数和直角坐标平面内的点之间的一一对应关系，于是我们就可以借助点Z(a，b)来表示复数z＝a＋bi，如图所示．这个对应关系给了复数一个直观的几何解释，它沟通了“复数”与平面上“点”之间的联系．
2．复数与向量的对应关系：由于点Z(a，b)与以O为始点，Z为终点的向量是一一对应的，所以复数z＝a＋bi可以用向量来表示，这样我们又建立了复数与向量之间的一一对应．
3．建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面．在复平面内，x轴通常称为实轴，y轴称为虚轴．任一个实数a与x轴上的点(a，0)一一对应，任一个纯虚数bi(b≠0)与y轴上的点(0，b)一一对应．
4．设z＝a＋bi，则它对应的向量的长度称为复数a＋bi的模，记作|a＋bi|，则|a＋bi|＝．特别地，当b＝0时，|a＋bi|＝|a|，这表明复数的模是实数绝对值概念的推广．
5．如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用 表示．当z＝a＋bi时，＝a－bi．表示两个互为共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．
1．下列说法正确的是(　　)
A．在复平面内，虚轴上的点表示的都是纯虚数
B．任意的两个复数都不能比较大小
C．任意的两个共轭复数对应的向量都关于y轴对称
D．任意的两个共轭复数对应的向量都关于x轴对称
D　[在选项A中，原点在虚轴上，表示实数0；在选项B中，如果两个复数都是实数，那么这两个实数可以比较大小；在选项C，D中，根据共轭复数的定义，任意的两个共轭复数对应的向量都关于x轴对称，故选D．]
2．已知z1＝1＋i，z2＝－1＋i，则下列结论正确的是(　　)
A．因为z1－z2＝2，所以z1＞z2
B．因为z2－z1＝－2，所以z1＜z2
C．z1和z2互为共轭虚数
D．|z1|＝|z2|
D　[∵|z1|＝＝，|z2|＝＝，∴|z1|＝|z2|，故选D．]
3．已知z1，z2∈C，则“z1＋z2∈R”是“z1和z2互为共轭复数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[∵“z1和z2互为共轭复数” “z1＋z2∈R”，故选B．]
4．已知复数z＝3＋4i，则＝(　　)
A．－3＋4i 　 B．－3－4i
C．3－4i 　 D．3＋4i
[答案]　C
5．已知z∈C，则|z|≥2在复平面内表示的图形是(　　)
A．以原点为圆心，半径为2的圆
B．以原点为圆心，半径为2的圆及圆内区域
C．以原点为圆心，半径为2的圆及圆外区域
D．以原点为圆心，半径为2的圆外区域
[答案]　C
题型1：复平面的概念理解
例1　已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第一象限，则结论正确的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
A　[在复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)与点Z(a，b)是一一对应的，所以复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第一象限，等价于a＞0，b＞0，故选A．]
点拨：复平面就是用来直观表示复数对应点的平面直角坐标系，在复平面内，坐标轴以外的点都表示一个虚数．
已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第二象限，则结论正确的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
C　[∵复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第二象限，∴a＜0，b＞0，故选C．]
例2　已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴上，则结论正确的是(　　)
A．a∈R，b＞0 　 B．a∈R，b＜0
C．a＝0，b≠0 　 D．a＝0，b∈R
D　[∵复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴上，∴a＝0，b∈R，故选D．]
点拨：在复平面内，实轴上的点对应实数，而虚轴上的点除原点以外都表示纯虚数。
已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在实轴的正半轴上，则结论正确的是(　　)
A．a＞0，b＝0 　 B．a＝0，b＞0
C．a＜0，b＝0 　 D．a＝0，b＜0
A　[∵复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在实轴的正半轴上，∴a＞0，b＝0，故选A．]
题型2：复数模的计算
例3　已知复数z＝3－4i，则|z|等于(　　)
A．3 　 B．4
C．5 　 D．6
C　[|z|＝＝5，故选C．]
点拨：关于复数的模，一种题型是正向应用公式，即根据一个复数的实部和虚部求该复数的模，另一种题型是逆向应用公式，即已知一个复数的模应用模的计算公式求复数的实部或虚部．
已知复数z＝m－4i(m∈R)，若|z|＝5，则m等于(　　)
A．3 　 B．5
C．±3 　 D．±5
C　[∵|z|＝5，∴＝5，解得m＝±3，故选C．]
题型3：共轭复数的概念理解
例4　已知复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3＋2i，则实数m的值是(　　)
A．3 　 B．±3
C．7 　 D．±7
C　[∵复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3＋2i，∴5－m＝－2，解得m＝7，故选C．]
点拨：共轭复数是指实部相等而虚部互为相反数的两个复数，它们反映出的几何意义是相应的点或向量关于x轴对称，且模相等．特别地，一个实数的共轭复数是自身．
已知复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3，则实数m的值是(　　)
A．4 　 B．5
C．6 　 D．7
B　[∵复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3，
∴5－m＝0，解得m＝5，故选B．]
一、选择题
1．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第三象限，则结论正确的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
D　[∵复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第三象限，∴a＜0，b＜0，故选D．]
2．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第四象限，则共轭复数对应的点在(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
A　[∵复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第四象限，∴＝a－bi对应的点在第一象限，故选A．]
3．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴的正半轴上，则结论正确的是(　　)
A．a＝0，b＝0 　 B．a＝0，b≠0
C．a＝0，b＞0 　 D．a＝0，b＜0
C　[∵复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴的正半轴上，∴a＝0，b＞0，故选C．]
4．已知复数z＝3－4mi(m∈R)，若|z|＝5，则 m 等于(　　)
A．4 　 B．±4
C．1 　 D．±1
D　[∵|z|＝5，∴＝5，解得m＝±1，故选D．]
5．已知复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3－2i，则实数m的值是(　　)
A．3 　 B．±3
C．7 　 D．±7
A　[∵复数z＝3＋(5－m)i的共轭复数是＝3－2i，∴5－m＝2，解得m＝3，故选A．]
6．已知复数z＝6－8i，则等于(　　)
A．6－8i 　 B．6＋8i
C．－8＋6i 　 D．－8－6i
[答案]　B
7．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则“b＝0”是“z＝”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
8．已知x，y∈R，若复数z＝(2x－6)＋(3y－9)i对应的点在第二象限，则(　　)
A．x＞3，y＜3 　 B．x＞3，y＞3
C．x＜3，y＞3 　 D．x＜3，y＜3
C　[∵复数z＝(2x－6)＋(3y－9)i对应的点在第二象限，∴2x－6＜0且3y－9＞0，解得x＜3，y＞3，故选C．]
二、填空题
9．在复平面内，已知点Z(－3，6)对应复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则复数z＝________．
－3＋6i　[∵点Z(－3，6)对应复数z＝a＋bi(a，b∈R)，∴a＝－3，b＝6，∴z＝－3＋6i．]
10．已知复数z＝－3＋3i，则|z|＝________．
3　[ ∵复数z＝－3＋3i，∴|z|＝＝3．]
11．已知复数z＝－1＋(a－3)i对应的点在复平面的实轴上，则实数a＝________．
3　[∵复数z＝－1＋(a－3)i对应的点在复平面的实轴上，∴a－3＝0，解得a＝3．]
12．已知复数z＝－a＋(a＋2)i对应的点在直线y＝2x上，则实数a＝________．
－　[∵复数z＝－a＋(a＋2)i对应的点在直线y＝2x上，∴a＋2＝2(－a)，解得a＝－．]
13．已知复数z＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，则|z|＝________．
1　[∵复数z＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，∴|z|＝＝1．]
三、解答题
14．求下列复数的模：
(1)z＝－5＋12i；(2)z＝6＋8i；
(3)z＝－1－i．
[解析]　(1)|z|＝＝13．
(2)|z|＝＝10．
(3)|z|＝＝2．
15．已知复数z＝＋mi(m∈R)，根据下列条件求实数m的值．
(1)|z|＝2；(2)＝；(3)||＝3．
[解析]　(1)∵z＝＋mi，|z|＝2，
∴＝2，解得m＝±1．
(2)∵z＝＋mi，∴＝，
∴－mi＝，可得m＝0．
(3)∵z＝＋mi，∴|＝＝3，解得m＝±．
1．已知复数z＝－8＋mi(m∈R)的模为10，则m等于(　　)
A．8 　 B．6
C．±8 　 D．±6
D　[∵复数z＝－8＋mi(m∈R)的模为10，
∴＝10，解得m＝±6，故选D．]
2．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝1的充要条件是(　　)
A．ab＝1 　 B．a＋b＝1
C．a－b＝1 　 D．a2＋b2＝1
D　[∵|z|＝1，∴＝1，即a2＋b2＝1，故选D．]
3．已知z∈C，则2≤|z|≤3在复平面内表示图形的面积等于(　　)
A．2π 　 B．3π
C．4π 　 D．5π
D　[∵2≤|z|≤3在复平面内表示图形是两个圆构成的一个圆环，较大圆的半径是3，较小圆的半径是2，∴圆环的面积是π×32－π×22＝5π，故选D．]
4．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若|a|≤1，|b|≤2，则|z|在复平面内表示图形的面积等于________．
8　[∵|a|≤1，|b|≤2，∴复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点的集合是一个矩形及其内部，∵该矩形的边长分别为2，4，∴|z|在复平面内表示图形的面积等于2×4＝8．]
5．已知x∈R，则方程2x2－5x＋2＋(x2－x－2)i＝0的根是________．
x＝2　[∵x∈R，方程2x2－5x＋2＋(x2－x－2)i＝0，∴2x2－5x＋2＝0且x2－x－2＝0，
∵2x2－5x＋2＝0的根分别是x＝2或x＝，x2－x－2＝0的根分别是x＝－1或x＝2，
∴方程2x2－5x＋2＋(x2－x－2)i＝0的根是x＝2．]
6．已知复数z＝a2－a－6＋i(a∈R)在复平面内对应的点为Z．
(1)若点Z落在复平面的虚轴上，求实数a的值；
(2)若点Z落在复平面的实轴上，求实数a的值．
[解析]　(1)若点Z落在复平面的虚轴上，则a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3，
∵当a＝－2时，无意义，∴a＝－2舍去，
∴实数a的值为3．
(2)∵若点Z落在复平面的实轴上，∴＝0，
∴a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，
解得a＝3或a＝－5．
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