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11.3　复数的运算
1．复数加法的法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝a＋c＋(b＋d)i，显然，两个复数的和仍然是复数．
2．复数加法的运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
3．复数加法的几何意义
如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1Z Z2，则z1＋z2所对应的向量就是，如图所示．
4．复数的减法
(1)复数的相反数：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z＝－a－bi．
(2)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝z1＋(－z2)＝(a＋bi)－(c＋di)＝a－c＋(b－d)i．显然，两个复数的差仍然是复数．
5．复数减法的几何意义
如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，设点Z满足＝，则z1－z2所对应的向量就是_，如图所示．
6．复数的乘法
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i．这就是说，为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i2＝－1，再合并同类项即可．
显然，两个复数的积仍然是复数，其运算律满足交换律、结合律，且对加法满足分配律，即＝z2z1；(2)(z1z2)z3＝z1(z2z3)；＝z1z2＋z1z3．
7．复数的乘方
n个相同的复数z相乘时，称为z的n次方(或n次幂)，记作zn．当m，n均为正整数时，zmzn＝zm＋n；(zm)n＝zmn；(z1z2)n＝．
1．已知z1＝8－3i，z2＝－4＋2i，则z1＋z2等于(　　)
A．4＋i 　 B．4－i
C．－4＋i 　 D．－4－i
B　[∵z1＝8－3i，z2＝－4＋2i，∴z1＋z2＝(8－4)＋(－3＋2)i＝4－i，故选B．]
2．已知z1＝－7＋2i，z2＝3－4i，则z1－z2等于(　　)
A．10＋6i 　 B．10－6i
C．－10＋6i 　 D．－10－6i
C　[∵z1＝－7＋2i，z2＝3－4i，∴z1－z2＝(－7－3)＋[(2－(－4)]i＝－10＋6i，故选C．]
3．已知z1＝－1＋i，z2＝2－3i，则z1z2等于(　　)
A．1＋5i 　 B．1－5i
C．－1＋5i 　 D．－1－5i
A　[∵z1＝－1＋i，z2＝2－3i，∴z1z2＝(－1＋i)(2－3i)＝(－1)×2－1×(－3)＋[2×1＋(－1)×(－3)]i＝1＋5i，故选A．]
4．已知z＝3－mi(m∈Z)，若z＝25，则m等于(　　)
A．4 　 B．±4
C．5 　 D．±5
B　[∵z＝3－mi(m∈Z)，∴＝32＋m2＝25，解得m＝±4，故选B．]
5．已知z＝－1＋i，则z4等于(　　)
A．4 　 B．－4
C．4i 　 D．－4i
B　[∵z＝－1＋i，∴z2＝(－1＋i)2＝－2i，∴z4＝(－2i)2＝－4，故选B．]
题型1：复数的加法
例1　已知复数z1＝5－6i，z2＝－x＋yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝1＋i，则x，y的值分别为(　　)
A．x＝4，y＝5 　 B．x＝－4，y＝－5
C．x＝4，y＝7 　 D．x＝－4，y＝－7
C　[∵z1＝5－6i，z2＝－x＋yi，且z1＋z2＝1＋i，
∴(5－x)＋(－6＋y)i＝1＋i，∴5－x＝1，－6＋y＝1，解得x＝4，y＝7，故选C．]
点拨：牢记两个复数加法的法则是进行复数加法计算的关键，可用自然语言记忆：实部加实部为实部，虚部加虚部为虚部．
已知复数z1＝5－4i，z2＝－5－3i，则复数z1＋z2等于(　　)
A．10－7i 　 B．10＋7i
C．－7i 　 D．7i
C　[∵复数z1＝5－4i，z2＝－5－3i，∴z1＋z2＝(5－4i)＋(－5－3i)＝(5－5)＋(－4－3)i＝－7i，故选C．]
题型2：复数的减法
例2　已知复数z1＝9＋7i，z2＝5＋6i，则复数z1－z2等于(　　)
A．4－i 　 B．4＋i
C．－4－i 　 D．－4＋i
B　[∵z1＝9＋7i，z2＝5＋6i，∴z1－z2＝(9＋7i)－(5＋6i)＝(9－5)＋(7－6)i＝4＋i，故选B．]
点拨：复数的减法是复数加法的逆运算，牢记两个复数相减的法则是进行复数减法计算的关键，可用自然语言记忆：实部减实部为实部，虚部减虚部为虚部．
已知复数z1＝－2－3i，z2＝－8＋4i，则复数z1－z2等于(　　)
A．－6－7i 　 B．－6＋7i
C．6－7i 　 D．6＋7i
C　[∵z1＝－2－3i，z2＝－8＋4i，∴z1－z2＝(－2－3i)－(－8＋4i)＝(－2＋8)＋(－3－4)i＝6－7i，故选C．]
题型3：复数的乘法
例3　已知复数z1＝－1－3i，z2＝2－i，z3＝3＋i，求z1z2z3的值．
[解析]　∵z1z2＝(－1－3i)(2－i)＝(－1)×2＋(－1)×(－i)＋(－3i)×2＋(－3i)×(－i)
＝－2＋i－6i＋3i2＝－2＋i－6i－3＝－5－5i，
∴z1z2z3＝(－5－5i)(3＋i)＝(－5)×3＋(－5)×i＋(－5i)×3＋(－5i)×i
＝－15－5i－15i－5i2＝－15－5i－15i＋5＝－10－20i．
点拨：复数的乘法可以类比多项式的展开法则来进行，计算过程中要注意i2＝－1的应用，同时合并同类项．
已知复数z1＝1－i，z2＝－1－i，则复数z1z2等于(　　)
A．－2 　 B．2
C．－2i 　 D．2i
A　[∵复数z1＝1－i，z2＝－1－i，∴z1z2＝(1－i)×(－1－i)＝[1×(－1)－(－1)×(－1)]＋[－1×(－1)＋1×(－1)]i＝－2，故选A．]
题型4：复数的乘方
例4　已知复数z＝－1＋i，则复数z2＝________．
－2i　[∵复数z＝－1＋i，∴z2＝(－1＋i)2＝(－1)2＋2×(－1)×i＋i2＝1－2i－1＝－2i．]
点拨：复数的乘方运算看作是复数特殊的乘法，其运算法则可类比指数幂的运算法则进行．
已知复数z＝3＋4i，则复数z2＝________．
－7＋24i　[∵z＝3＋4i，∴z2＝(3＋4i)2＝9－16＋2×3×4i＝－7＋24i．]
一、选择题
1．已知复数z＝4－i，则z＋等于(　　)
A．－8 　 B．8
C．2i 　 D．－2i
B　[∵复数z＝4－i，∴＝(4－i)＋(4＋i)＝8，故选B．]
2．已知复数z1＝－1－3i，z2＝4＋5i，则复数z1－z2等于(　　)
A．－5－8i 　 B．5＋8i
C．3＋2i 　 D．－4＋i
A　[∵复数z1＝－1－3i，z2＝4＋5i，∴z1－z2＝(－1－3i)－(4＋5i)＝(－1－4)＋(－3－5)i＝－5－8i，故选A．]
3．已知复数z1＝2－4i，z2＝a－bi(a，b∈R)，若z1＋z2＝0，则复数z2等于(　　)
A．－2－4i 　 B．4－2i
C．－2＋4i 　 D．4＋2i
C　[∵复数z1＝2－4i，z2＝a－bi，z1＋z2＝2＋a－(4＋b)i＝0，∴a＝－2，b＝－4，∴z2＝－2＋4i，故选C．]
4．已知复数z1＝2－4i，z2＝a－bi(a，b∈R)，若z1－＝0，则复数z2等于(　　)
A．－2－4i 　 B．4－2i
C．2＋4i 　 D．4＋2i
C　[∵z2＝a－bi，∴，∴2－4i＝a＋bi，∴a＝2，b＝－4，∴z2＝2＋4i，故选C．]
5．已知复数z＝3－4i，则复数z等于(　　)
A．5 　 B．25
C．－5 　 D．－25
B　[∵复数z＝3－4i，∴＝|z|2＝32＋(－4)2＝25，故选B．]
6．已知z是任意一个复数，则z－是实数的充要条件是(　　)
A．Re(z)＝0 　 B．Im(z)＝0
C．Re(z)＝1 　 D．Im(z)＝1
B　[∵z是任意一个复数，∴设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴z－是实数的充要条件是b＝0，故选B．]
7．已知复数z1＝3－i，z2＝－3－i，则复数z1z2等于(　　)
A．－10 　 B．10
C．－6 　 D．6
A　[∵复数z1＝3－i，z2＝－3－i，∴z1z2＝(3－i)×(－3－i)＝(－i)2－32＝－1－9＝－10，故选A．]
8．已知复数z1＝1＋i，z2＝1－i，则复数4z1－3z2等于(　　)
A．1－7i 　 B．1＋7i
C．－1＋7i 　 D．－1－7i
B　[∵复数z1＝1＋i，z2＝1－i，∴4z1－3z2＝4(1＋i)－3(1－i)＝4＋4i－3＋3i＝1＋7i，故选B．]
二、填空题
9．已知复数z1＝2＋i，z2＝2－i，则z1＋z2＝________．
4　[∵复数z1＝2＋i，z2＝2－i，∴z1＋z2＝(2＋i)＋(2－i)＝4．]
10．已知复数z1＝－3－4i，z2＝3－2i，则z1－z2＝________．
－6－2i　[∵复数z1＝－3－4i，z2＝3－2i，则z1－z2＝(－3－4i)－(3－2i)＝(－3－3)＋(－4＋2)i＝－6－2i．]
11．已知复数z＝1－i，则复数z2＝________．
－2i　[∵复数z＝1－i，∴z2＝(1－i)2＝12－2i＋(－i)2＝－2i．]
12．已知复数z1＝－1－i，z2＝－1＋i，则z1z2＝________．
2　[∵复数z1＝－1－i，z2＝－1＋i，
∴z1z2＝(－1－i)×(－1＋i)＝(－1)2－i2＝1－(－1)＝2．]
13．计算(6－3i)＋(－3－2i)－(11－6i)＝________．
－8＋i　[(6－3i)＋(－3－2i)－(11－6i)＝(6－3－11)＋(－3－2＋6)i＝－8＋i．]
三、解答题
14．已知z＝2－3i，求z－z2的值．
[解析]　∵z＝2－3i，
∴z－z2＝(2－3i)－(2－3i)2＝(2－3i)－(4－9－12i)＝(2－3i)－(－5－12i)＝7＋9i．
15．计算(1＋i)4－(1－i)4的值．
[解析]　∵(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，∴(1＋i)4＝(2i)2＝－4，(1－i)4＝(－2i)2＝－4，
∴(1＋i)4－(1－i)4＝－4－(－4)＝0．
1．已知z是任意一个复数，则z＋＝0的充要条件是(　　)
A．Re(z)＝－1 　 B．Im(z)＝－1
C．Re(z)＝0 　 D．Im(z)＝0
C　[∵z是任意一个复数，∴设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴z＋＝0的充要条件是a＝0，故选C．]
2．已知复数z1＝1＋i，z2＝1－i，则复数5z1－3z2等于(　　)
A．2－8i 　 B．2＋8i
C．－2－8i 　 D．－2＋8i
B　[∵复数z1＝1＋i，z2＝1－i，∴5z1－3z2＝5(1＋i)－3(1－i)＝(5＋5i)－(3－3i)＝2＋8i，故选B．]
3．已知复数z＝－1－i，则z＋|z|2等于(　　)
A．2 　 B．4
C．6 　 D．8
B　[∵复数z＝－1－i，∴z＋|z|2＝2|z|2＝2×[(－1)2＋(－1)2]＝4，故选B．]
4．已知复数z＝－i，则z＋z2＝________．
－1　[∵复数z＝－i，∴z2＝＝＋2×i＝－i，∴z＋z2＝＝－1．]
5．已知复数z1＝x－2yi，z2＝－2y－3xi，若z1＋z2＝5＋i，则|x＋yi|＝________．
　[∵复数z1＝x－2yi，z2＝－2y－3xi，∴z1＋z2＝(x－2y)＋(－2y－3x)i，
∴(x－2y)＋(－2y－3x)i＝5＋i，则解得x＝1，y＝－2，∴|x＋yi|＝|1－2i|＝．]
6．已知复数z1＝1＋i，z2＝a－bi(a，b∈R)，根据下列条件求实数a，b的值．
(1)z1＋z2＝8＋i；(2)z1－z2＝2i；(3)z1z2＝1．
[解析]　(1)∵复数z1＝1＋i，z2＝a－bi(a，b∈R)，
∴z1＋z2＝(1＋i)＋(a－bi)＝(1＋a)＋(1－b)i，
∵z1＋z2＝8＋i，∴解得a＝7，b＝0．
(2)∵复数z1＝1＋i，z2＝a－bi(a，b∈R)，
∴z1－z2＝(1＋i)－(a－bi)＝(1－a)＋(1＋b)i，
∵z1－z2＝2i，∴解得a＝1，b＝1．
(3)∵复数z1＝1＋i，z2＝a－bi(a，b∈R)，
∴z1z2＝(1＋i)×(a－bi)＝[1×a－1×(－b)]＋[1×a＋1×(－b)]i＝(a＋b)＋(a－b)i，
∵z1z2＝1，∴(a＋b)＋(a－b)i＝1，∴
解得a＝，b＝．
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第十一章　复数
11.3　复数的运算
必备知识梳理
1．复数加法的法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______＋(______)i，显然，两个复数的和仍然是复数．
2．复数加法的运算律
(1)交换律：z1＋z2＝________；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(________)．
a＋c
b＋d
z2＋z1
z2＋z3
3．复数加法的几何意义
如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1Z Z2，则z1＋z2所对应的向量就是____，如图所示．
4．复数的减法
(1)复数的相反数：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z＝__________．
(2)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝z1＋(－z2)＝(a＋bi)－(c＋di)＝______＋(______)i．显然，两个复数的差仍然是复数．
－a－bi
a－c
b－d
5．复数减法的几何意义
如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，设点Z满足＝，则z1－z2所对应的向量就是______，如图所示．
6．复数的乘法
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________＋(__________)i．这就是说，为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i2＝－1，再合并同类项即可．
显然，两个复数的积仍然是复数，其运算律满足交换律、结合律，且对加法满足分配律，即＝z2z1；(2)(z1z2)z3＝z1(z2z3)；＝z1z2＋z1z3．
ac－bd
ad＋bc
7．复数的乘方
n个相同的复数z相乘时，称为z的n次方(或n次幂)，记作zn．当m，n均为正整数时，zmzn＝________；(zm)n＝______；(z1z2)n＝____．
zm＋n
zmn
1．已知z1＝8－3i，z2＝－4＋2i，则z1＋z2等于(　　)
A．4＋i 　 B．4－i
C．－4＋i 　 D．－4－i
√
B　[∵z1＝8－3i，z2＝－4＋2i，∴z1＋z2＝(8－4)＋(－3＋2)i＝4－i，故选B．]
2．已知z1＝－7＋2i，z2＝3－4i，则z1－z2等于(　　)
A．10＋6i 　 B．10－6i
C．－10＋6i 　 D．－10－6i
√
C　[∵z1＝－7＋2i，z2＝3－4i，∴z1－z2＝(－7－3)＋[(2－(－4)]i＝－10＋6i，故选C．]
3．已知z1＝－1＋i，z2＝2－3i，则z1z2等于(　　)
A．1＋5i 　 B．1－5i
C．－1＋5i 　 D．－1－5i
√
A　[∵z1＝－1＋i，z2＝2－3i，∴z1z2＝(－1＋i)(2－3i)＝(－1)×2－1×(－3)＋[2×1＋(－1)×(－3)]i＝1＋5i，故选A．]
4．已知z＝3－mi(m∈Z)，若z＝25，则m等于(　　)
A．4 　 B．±4
C．5 　 D．±5
√
B　[∵z＝3－mi(m∈Z)，∴＝32＋m2＝25，解得m＝±4，故选B．]
5．已知z＝－1＋i，则z4等于(　　)
A．4 　 B．－4
C．4i 　 D．－4i
√
B　[∵z＝－1＋i，∴z2＝(－1＋i)2＝－2i，∴z4＝(－2i)2＝－4，故选B．]
题型分类透析
题型1：复数的加法
例1　已知复数z1＝5－6i，z2＝－x＋yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝1＋i，则x，y的值分别为(　　)
A．x＝4，y＝5 　 B．x＝－4，y＝－5
C．x＝4，y＝7 　 D．x＝－4，y＝－7
√
C　[∵z1＝5－6i，z2＝－x＋yi，且z1＋z2＝1＋i，
∴(5－x)＋(－6＋y)i＝1＋i，∴5－x＝1，－6＋y＝1，解得x＝4，y＝7，故选C．]
点拨：牢记两个复数加法的法则是进行复数加法计算的关键，可用自然语言记忆：实部加实部为实部，虚部加虚部为虚部．
跟踪训练1
已知复数z1＝5－4i，z2＝－5－3i，则复数z1＋z2等于(　　)
A．10－7i 　 B．10＋7i
C．－7i 　 D．7i
C　[∵复数z1＝5－4i，z2＝－5－3i，∴z1＋z2＝(5－4i)＋(－5－3i)＝(5－5)＋(－4－3)i＝－7i，故选C．]
√
题型2：复数的减法
例2　已知复数z1＝9＋7i，z2＝5＋6i，则复数z1－z2等于(　　)
A．4－i 　 B．4＋i
C．－4－i 　 D．－4＋i
B　[∵z1＝9＋7i，z2＝5＋6i，∴z1－z2＝(9＋7i)－(5＋6i)＝(9－5)＋(7－6)i＝4＋i，故选B．]
√
点拨：复数的减法是复数加法的逆运算，牢记两个复数相减的法则是进行复数减法计算的关键，可用自然语言记忆：实部减实部为实部，虚部减虚部为虚部．
跟踪训练2
已知复数z1＝－2－3i，z2＝－8＋4i，则复数z1－z2等于(　　)
A．－6－7i 　 B．－6＋7i
C．6－7i 　 D．6＋7i
C　[∵z1＝－2－3i，z2＝－8＋4i，∴z1－z2＝(－2－3i)－(－8＋4i)＝(－2＋8)＋(－3－4)i＝6－7i，故选C．]
√
题型3：复数的乘法
例3　已知复数z1＝－1－3i，z2＝2－i，z3＝3＋i，求z1z2z3的值．
[解析]　∵z1z2＝(－1－3i)(2－i)＝(－1)×2＋(－1)×(－i)＋(－3i)×2＋(－3i)×(－i)
＝－2＋i－6i＋3i2＝－2＋i－6i－3＝－5－5i，
∴z1z2z3＝(－5－5i)(3＋i)＝(－5)×3＋(－5)×i＋(－5i)×3＋(－5i)×i
＝－15－5i－15i－5i2＝－15－5i－15i＋5＝－10－20i．
点拨：复数的乘法可以类比多项式的展开法则来进行，计算过程中要注意i2＝－1的应用，同时合并同类项．
跟踪训练3
已知复数z1＝1－i，z2＝－1－i，则复数z1z2等于(　　)
A．－2 　 B．2
C．－2i 　 D．2i
A　[∵复数z1＝1－i，z2＝－1－i，∴z1z2＝(1－i)×(－1－i)＝[1×(－1)－(－1)×(－1)]＋[－1×(－1)＋1×(－1)]i＝－2，故选A．]
√
题型4：复数的乘方
例4　已知复数z＝－1＋i，则复数z2＝________．
－2i　[∵复数z＝－1＋i，∴z2＝(－1＋i)2＝(－1)2＋2×(－1)×i＋i2＝1－2i－1＝－2i．]
点拨：复数的乘方运算看作是复数特殊的乘法，其运算法则可类比指数幂的运算法则进行．
－2i
跟踪训练4
已知复数z＝3＋4i，则复数z2＝________．
－7＋24i
－7＋24i　[∵z＝3＋4i，∴z2＝(3＋4i)2＝9－16＋2×3×4i＝－7＋24i．]
当堂达标训练
一、选择题
1．已知复数z＝4－i，则z＋等于(　　)
A．－8 　 B．8
C．2i 　 D．－2i
√
B　[∵复数z＝4－i，∴＝(4－i)＋(4＋i)＝8，故选B．]
2．已知复数z1＝－1－3i，z2＝4＋5i，则复数z1－z2等于(　　)
A．－5－8i 　 B．5＋8i
C．3＋2i 　 D．－4＋i
√
A　[∵复数z1＝－1－3i，z2＝4＋5i，∴z1－z2＝(－1－3i)－(4＋5i)＝(－1－4)＋(－3－5)i＝－5－8i，故选A．]
3．已知复数z1＝2－4i，z2＝a－bi(a，b∈R)，若z1＋z2＝0，则复数z2等于(　　)
A．－2－4i 　 B．4－2i
C．－2＋4i 　 D．4＋2i
√
C　[∵复数z1＝2－4i，z2＝a－bi，z1＋z2＝2＋a－(4＋b)i＝0，∴a＝－2，b＝－4，∴z2＝－2＋4i，故选C．]
4．已知复数z1＝2－4i，z2＝a－bi(a，b∈R)，若z1－＝0，则复数z2等于(　　)
A．－2－4i 　 B．4－2i
C．2＋4i 　 D．4＋2i
√
C　[∵z2＝a－bi，∴，∴2－4i＝a＋bi，∴a＝2，b＝－4，∴z2＝2＋4i，故选C．]
5．已知复数z＝3－4i，则复数z等于(　　)
A．5 　 B．25
C．－5 　 D．－25
√
B　[∵复数z＝3－4i，∴＝|z|2＝32＋(－4)2＝25，故选B．]
6．已知z是任意一个复数，则z－是实数的充要条件是(　　)
A．Re(z)＝0 　 B．Im(z)＝0
C．Re(z)＝1 　 D．Im(z)＝1
√
B　[∵z是任意一个复数，∴设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴z－是实数的充要条件是b＝0，故选B．]
7．已知复数z1＝3－i，z2＝－3－i，则复数z1z2等于(　　)
A．－10 　 B．10
C．－6 　 D．6
√
A　[∵复数z1＝3－i，z2＝－3－i，∴z1z2＝(3－i)×(－3－i)＝(－i)2－32＝－1－9＝－10，故选A．]
8．已知复数z1＝1＋i，z2＝1－i，则复数4z1－3z2等于(　　)
A．1－7i 　 B．1＋7i
C．－1＋7i 　 D．－1－7i
√
B　[∵复数z1＝1＋i，z2＝1－i，∴4z1－3z2＝4(1＋i)－3(1－i)＝4＋4i－3＋3i＝1＋7i，故选B．]
二、填空题
9．已知复数z1＝2＋i，z2＝2－i，则z1＋z2＝________．
4　[∵复数z1＝2＋i，z2＝2－i，∴z1＋z2＝(2＋i)＋(2－i)＝4．]
4
10．已知复数z1＝－3－4i，z2＝3－2i，则z1－z2＝________．
－6－2i　[∵复数z1＝－3－4i，z2＝3－2i，则z1－z2＝(－3－4i)－(3－2i)＝(－3－3)＋(－4＋2)i＝－6－2i．]
－6－2i
11．已知复数z＝1－i，则复数z2＝________．
－2i　[∵复数z＝1－i，∴z2＝(1－i)2＝12－2i＋(－i)2＝－2i．]
－2i
12．已知复数z1＝－1－i，z2＝－1＋i，则z1z2＝________．
2　[∵复数z1＝－1－i，z2＝－1＋i，
∴z1z2＝(－1－i)×(－1＋i)＝(－1)2－i2＝1－(－1)＝2．]
2
13．计算(6－3i)＋(－3－2i)－(11－6i)＝________．
－8＋i　[(6－3i)＋(－3－2i)－(11－6i)＝(6－3－11)＋(－3－2＋6)i＝－8＋i．]
－8＋ i
三、解答题
14．已知z＝2－3i，求z－z2的值．
[解析]　∵z＝2－3i，
∴z－z2＝(2－3i)－(2－3i)2＝(2－3i)－(4－9－12i)＝(2－3i)－(－5－12i)＝7＋9i．
15．计算(1＋i)4－(1－i)4的值．
[解析]　∵(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，∴(1＋i)4＝(2i)2＝－4，(1－i)4＝(－2i)2＝－4，
∴(1＋i)4－(1－i)4＝－4－(－4)＝0．
THANKS1．已知z是任意一个复数，则z＋＝0的充要条件是(　　)
A．Re(z)＝－1 　 B．Im(z)＝－1
C．Re(z)＝0 　 D．Im(z)＝0
2．已知复数z1＝1＋i，z2＝1－i，则复数5z1－3z2等于(　　)
A．2－8i 　 B．2＋8i
C．－2－8i 　 D．－2＋8i
3．已知复数z＝－1－i，则z＋|z|2等于(　　)
A．2 　 B．4
C．6 　 D．8
4．已知复数z＝－i，则z＋z2＝________．
5．已知复数z1＝x－2yi，z2＝－2y－3xi，若z1＋z2＝5＋i，则|x＋yi|＝________．
6．已知复数z1＝1＋i，z2＝a－bi(a，b∈R)，根据下列条件求实数a，b的值．
(1)z1＋z2＝8＋i；(2)z1－z2＝2i；(3)z1z2＝1．
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「课后能力提升11.3　复数的运算
1．复数加法的法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______＋(______)i，显然，两个复数的和仍然是复数．
2．复数加法的运算律
(1)交换律：z1＋z2＝__________；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(__________)．
3．复数加法的几何意义
如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1Z Z2，则z1＋z2所对应的向量就是__，如图所示．
4．复数的减法
(1)复数的相反数：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z＝__________．
(2)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝z1＋(－z2)＝(a＋bi)－(c＋di)＝______＋(______)i．显然，两个复数的差仍然是复数．
5．复数减法的几何意义
如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，设点Z满足＝，则z1－z2所对应的向量就是___，如图所示．
6．复数的乘法
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________＋(__________)i．这就是说，为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i2＝－1，再合并同类项即可．
显然，两个复数的积仍然是复数，其运算律满足交换律、结合律，且对加法满足分配律，即＝z2z1；(2)(z1z2)z3＝z1(z2z3)；＝z1z2＋z1z3．
7．复数的乘方
n个相同的复数z相乘时，称为z的n次方(或n次幂)，记作zn．当m，n均为正整数时，zmzn＝________；(zm)n＝______；(z1z2)n＝____．
1．已知z1＝8－3i，z2＝－4＋2i，则z1＋z2等于(　　)
A．4＋i 　 B．4－i
C．－4＋i 　 D．－4－i
2．已知z1＝－7＋2i，z2＝3－4i，则z1－z2等于(　　)
A．10＋6i 　 B．10－6i
C．－10＋6i 　 D．－10－6i
3．已知z1＝－1＋i，z2＝2－3i，则z1z2等于(　　)
A．1＋5i 　 B．1－5i
C．－1＋5i 　 D．－1－5i
4．已知z＝3－mi(m∈Z)，若z＝25，则m等于(　　)
A．4 　 B．±4
C．5 　 D．±5
5．已知z＝－1＋i，则z4等于(　　)
A．4 　 B．－4
C．4i 　 D．－4i
题型1：复数的加法
例1　已知复数z1＝5－6i，z2＝－x＋yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝1＋i，则x，y的值分别为(　　)
A．x＝4，y＝5 　 B．x＝－4，y＝－5
C．x＝4，y＝7 　 D．x＝－4，y＝－7
C　[∵z1＝5－6i，z2＝－x＋yi，且z1＋z2＝1＋i，
∴(5－x)＋(－6＋y)i＝1＋i，∴5－x＝1，－6＋y＝1，解得x＝4，y＝7，故选C．]
点拨：牢记两个复数加法的法则是进行复数加法计算的关键，可用自然语言记忆：实部加实部为实部，虚部加虚部为虚部．
已知复数z1＝5－4i，z2＝－5－3i，则复数z1＋z2等于(　　)
A．10－7i 　 B．10＋7i
C．－7i 　 D．7i
题型2：复数的减法
例2　已知复数z1＝9＋7i，z2＝5＋6i，则复数z1－z2等于(　　)
A．4－i 　 B．4＋i
C．－4－i 　 D．－4＋i
B　[∵z1＝9＋7i，z2＝5＋6i，∴z1－z2＝(9＋7i)－(5＋6i)＝(9－5)＋(7－6)i＝4＋i，故选B．]
点拨：复数的减法是复数加法的逆运算，牢记两个复数相减的法则是进行复数减法计算的关键，可用自然语言记忆：实部减实部为实部，虚部减虚部为虚部．
已知复数z1＝－2－3i，z2＝－8＋4i，则复数z1－z2等于(　　)
A．－6－7i 　 B．－6＋7i
C．6－7i 　 D．6＋7i
题型3：复数的乘法
例3　已知复数z1＝－1－3i，z2＝2－i，z3＝3＋i，求z1z2z3的值．
[解析]　∵z1z2＝(－1－3i)(2－i)＝(－1)×2＋(－1)×(－i)＋(－3i)×2＋(－3i)×(－i)
＝－2＋i－6i＋3i2＝－2＋i－6i－3＝－5－5i，
∴z1z2z3＝(－5－5i)(3＋i)＝(－5)×3＋(－5)×i＋(－5i)×3＋(－5i)×i
＝－15－5i－15i－5i2＝－15－5i－15i＋5＝－10－20i．
点拨：复数的乘法可以类比多项式的展开法则来进行，计算过程中要注意i2＝－1的应用，同时合并同类项．
已知复数z1＝1－i，z2＝－1－i，则复数z1z2等于(　　)
A．－2 　 B．2
C．－2i 　 D．2i
题型4：复数的乘方
例4　已知复数z＝－1＋i，则复数z2＝________．
－2i　[∵复数z＝－1＋i，∴z2＝(－1＋i)2＝(－1)2＋2×(－1)×i＋i2＝1－2i－1＝－2i．]
点拨：复数的乘方运算看作是复数特殊的乘法，其运算法则可类比指数幂的运算法则进行．
已知复数z＝3＋4i，则复数z2＝________．
一、选择题
1．已知复数z＝4－i，则z＋等于(　　)
A．－8 　 B．8
C．2i 　 D．－2i
2．已知复数z1＝－1－3i，z2＝4＋5i，则复数z1－z2等于(　　)
A．－5－8i 　 B．5＋8i
C．3＋2i 　 D．－4＋i
3．已知复数z1＝2－4i，z2＝a－bi(a，b∈R)，若z1＋z2＝0，则复数z2等于(　　)
A．－2－4i 　 B．4－2i
C．－2＋4i 　 D．4＋2i
4．已知复数z1＝2－4i，z2＝a－bi(a，b∈R)，若z1－＝0，则复数z2等于(　　)
A．－2－4i 　 B．4－2i
C．2＋4i 　 D．4＋2i
5．已知复数z＝3－4i，则复数z等于(　　)
A．5 　 B．25
C．－5 　 D．－25
6．已知z是任意一个复数，则z－是实数的充要条件是(　　)
A．Re(z)＝0 　 B．Im(z)＝0
C．Re(z)＝1 　 D．Im(z)＝1
7．已知复数z1＝3－i，z2＝－3－i，则复数z1z2等于(　　)
A．－10 　 B．10
C．－6 　 D．6
8．已知复数z1＝1＋i，z2＝1－i，则复数4z1－3z2等于(　　)
A．1－7i 　 B．1＋7i
C．－1＋7i 　 D．－1－7i
二、填空题
9．已知复数z1＝2＋i，z2＝2－i，则z1＋z2＝________．
10．已知复数z1＝－3－4i，z2＝3－2i，则z1－z2＝________．
11．已知复数z＝1－i，则复数z2＝________．
12．已知复数z1＝－1－i，z2＝－1＋i，则z1z2＝________．
13．计算(6－3i)＋(－3－2i)－(11－6i)＝________．
三、解答题
14．已知z＝2－3i，求z－z2的值．
15．计算(1＋i)4－(1－i)4的值．
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