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辽宁省实验中学2024—2025学年度上学期第一次阶段测试
高二数学试卷
考试时间：120分钟 试题满分：150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，且，则（ ）
A. B. C.4 D.2
2.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4.在正四面体中，棱长为1，且为棱的中点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.若是空间的一个基底，且向量，，若不能构成空间的一个基底，则（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.设所在的平面为，点在内，点在外，若对任意的实数，有成立，则下列等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，一个晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都为1，且它们彼此的夹角都是60.设与平面所成的角为，二面角的平面角为的长度为，则（ ）
A.且 B.且
C.且 D.且
二 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.直线的倾斜角为
B.过点，斜率为2的直线的方程可写为
C.过两点的直线都可用方程表示
D.经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为
10.如图，在边长为4的正中，为边的中点，过点作，垂足为.把沿翻折至的位置，连接.在翻折过程中，以下结论正确的是（ ）
A.
B.是二面角的平面角
C.存在某个位置，使
D.直线与平面所成角正弦的最大值为
11.如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度相等，点是的中心，过点的直线交于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（ ）
A.存在点与直线，使
B.
C.若，
其中，则
D.是常数
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知平行四边形的三个顶点，则第四个顶点的坐标为__________.
13.长方体中，是棱上的动点，则的面积的最小值是__________.
14.已知空间向量，若在上的正投影数量分别为1和3，且，则与所成角余弦的最大值等于__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知直线过点，
（1）若直线过，求直线的方程.
（2）若直线与轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程.
16.（15分）如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，分别为的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在一点使得四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18.（17分）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）已知二面角的大小为，求点到平面的距离.
19.（17分）解析几何，又称为坐标几何或卡氏几何，早先被叫作笛卡几几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支.三维坐标下也有空间解析几何.在空间直角坐标系下可求解直线和平面的方程.例如，已知平面过点且一个法向量为，设是空间的一动点，则在平面内的充分必要条件是与垂直，即，由此可得，该式为平面的点法式方程.令，则点法式方程化为，该式为平面的一般式方程，其中
系数不同时为零.若直线过点且一个方向向量为，类似可推导直线的点向式方.
（1）求过点且过轴的平面的一般式方程；
（2）已知两平面与交于直线，求坐标原点到直线的距离.
（3）在空间直角坐标系中，有一个不透明的球与平面相切，球心的坐标为.在点处放置一个点光源，将球体投影到平面上，得到的阴影区域边界为曲线.求的所有可能值.
辽宁省实验中学2024—2025学年度上学期第一次阶段测试
高二数学参考答案
1-8CABDD CDD
9.AC 10.ABD 11.ACD
12. 13. 14.
15.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）直线的斜率
此时直线方程为，即；
所以在坐标轴上截距相等的直线的方程为和
（2）设直线的方程为，由题意可得，
令，则；令，则；即，
，
从而，
当且仅当，即时取到最小值12，
所以直线方程为，即.
16.（1）因为直三棱柱中，为侧棱，所以平面，
因为平面，所以，又为直角，所以
又平面，所以平面，
因为平面，所以，由，所以.
（2）建立空间直角坐标系，
则，
因此.
设平面的法向量为，
，即
令，则，于是，
设直线与平面所成角为.
所以
.
17.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】法一：（1），
分别为的中点，两式相加，得，
又，故，从而共面.
又平面，所以平面.
（2）存在点符合题目条件，且此时.
以为基底，则，
设，则，
四点共面，则，则，
故在线段上是否存在一点满足，使得四点共面.
法二（1）证明：如图，取的中点，连接，
分别为的中点，，
又四边形是平行四边形，，
为的中点，.
，则四边形为平行四边形，.
平面平面平面；
（2）存在点符合题目条件，且此时.
取的中点，连接交于，在上取点，使，
连接，则四点共面.
证明如下：在平行四边形中，分别为的中点，
，又是的中点，是的重心，且.
又，
与确定一个平面，而直线，
，则四点共面.
故在线段上存在一点，使得四点共面.
18.【答案】（1）见解析；（2）1
【解析】（1）取的中点的中点，
连结，
面面，
面面，
，
面面，
为的中点，，又
面面面面.
（2）以所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，设，
，
设为面的法向量，则
取，则，由（1）得面，
，取为面的法向量，
则，
19.【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）设平面的方程为，
由平面过轴得，过点和，故
将点代入得，取，则，于是的方程为.
（2）法一：
得，则，即
直线的方向向量，过点，
坐标原点到直线的距离.
法二：以代所给方程组，解出，可见点在直线上.
平面与的法向量分别为
与，这两个向量均与直线的方向向量垂直.
可求直线的一个方向向量，
坐标原点到直线的距离.
在曲线上任取一点，则球心到直线的距离是1.
设向量与的夹角是，则；又.
于是，将和代入，得
化简得
上式对任意的实数都成立.故
.若，由（2）式得，不符合要求.
所以，那么由（1）式得，代入到（2）式得，即.那么.

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