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集合+不等式小测试
(分值：120分)
31
一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共47分)
1．[2024·福建厦门高一模拟]不等式(x－1)(x＋3)>0的解集为(　　)
A．{x|x>6，或x<－3} B．{x|－3C．{x|x>1，或x<－3} D．{x|－62．已知a≥3，设M＝2a(a＋1)，N＝(a＋1)(a＋3)，则有(　　)
A．M>N B．M≥N
C．M3．下列不等式解集为R的是(　　)
A．3x2－7x≤10 B．－x2＋x－≤0
C．(x＋2)(x－3)>0 D．－2x2＋x<－3
4．[2024·四川广安高一月考]已知一直角三角形的面积为200 cm2，则其两条直角边的和的最小值为(　　)
A．20 cm B．20 cm
C．30 cm D．40 cm
5．[2024·安徽亳州高一月考]一元二次不等式ax2－bx＋c>0的解集为{x|1A． B．
C． D．
6．关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为 ，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a<－2，或a>2} B．{a|－2C．{a|－27．[2024·湖南邵阳高一月考]若正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，则的最大值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
8．(多选)[2024·山东菏泽高一月考]英国数学家哈利奥特最先使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知aA．a＋cbd
C．> D．a2>ab>b2
9．(多选)[2024·广东深圳高一月考]对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x－2)<0的解集可能为(　　)
A．{x|x<2，或x>a} B．{x|x2}
C．{x|a二、填空题(每小题5分，共15分)
10．已知a>0，b>0，a＋b＝3，则ab的最大值为________．
11．[2024·河北承德高一月考]若不等式kx2＋2kx－2<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．
12．[2024·江西萍乡高一月考]已知关于x的一元二次不等式mx2－2x＋1<0的解集为{x|a答案： 2＋
三、解答题(共58分)
13．(13分)(1)设x>1，求y＝x＋的最小值；
(2)已知x>0，y>0，＋＝1，求x＋y的取值范围．
14．(15分)[2024·福建南平高一月考]设函数y＝ax2＋(b－1)x＋2.
(1)若a＝1，b＝－2，求不等式y>0的解集；
(2)若关于x的不等式y≥bx的解集为R，求实数a的取值范围．
15．(15分)[2024·湖南长沙高一月考]当a<1时，解关于x的不等式(ax－1)(x－1)<0.
16．(15分)某无人机企业原有200名科技人员，年人均工资a万元(a>0)，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x名(x∈N且50≤x≤100)，调整后研发人员的年人均工资增加(2x)%，技术人员的年人均工资调整为a(m－)万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资；②技术人员的年人均工资始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．集合+不等式小测试
(分值：120分)
31
一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共47分)
1．[2024·福建厦门高一模拟]不等式(x－1)(x＋3)>0的解集为(　　)
A．{x|x>6，或x<－3} B．{x|－3C．{x|x>1，或x<－3} D．{x|－6答案：C
解析：(x－1)(x＋3)＝0可得，x＝－3或x＝1，
所以不等式(x－1)(x＋3)>0的解集为{x|x>1，或x<－3}．
2．已知a≥3，设M＝2a(a＋1)，N＝(a＋1)(a＋3)，则有(　　)
A．M>N B．M≥N
C．M答案：B
解析：∵M－N＝2a(a＋1)－(a＋1)(a＋3)＝(a－1)2－4，
∵a≥3，∴(a－1)2－4≥(3－1)2－4＝0，∴M≥N.
3．下列不等式解集为R的是(　　)
A．3x2－7x≤10 B．－x2＋x－≤0
C．(x＋2)(x－3)>0 D．－2x2＋x<－3
答案：B
解析：对于A，3x2－7x≤10，(x＋1)(3x－10)≤0，解得－1≤x≤，A错；
对于B，－x2＋x－≤0，(x－1)2≥0，解集为R，B对；
对于C，(x＋2)(x－3)>0，解得x<－2或x>3，C错；
对于D，－2x2＋x<－3，(x＋1)(2x－3)>0，解得x<－1或x>，D错．
4．[2024·四川广安高一月考]已知一直角三角形的面积为200 cm2，则其两条直角边的和的最小值为(　　)
A．20 cm B．20 cm
C．30 cm D．40 cm
答案：D
解析：设两直角边分别为a cm，b cm，
则ab＝200，解得ab＝400，
由基本不等式得a＋b≥2＝40，当且仅当a＝b＝20时，等号成立，
故两条直角边的和的最小值为40 cm.
5．[2024·安徽亳州高一月考]一元二次不等式ax2－bx＋c>0的解集为{x|1A． B．
C． D．
答案：C
解析：根据题意可知a<0，＝3，＝2，则b＝3a，c＝2a，
所求的不等式可化为：2ax2－3ax＋a<0，即2x2－3x＋1>0，解得x>1或x<.
6．关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为 ，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a<－2，或a>2} B．{a|－2C．{a|－2答案：C
解析：因为关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为 ，所以关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R.
当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，解集为R成立；
当a－2<0，即a<2时，Δ＝[2(a－2)]2＋4×4×(a－2)<0，解得－2综上所述，实数a的取值范围是{a|－27．[2024·湖南邵阳高一月考]若正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，则的最大值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
答案：D
解析：依题意，正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，4x＋y＝xy，＝＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，y＝2x＝6时等号成立，即x＋y≥9，所以≤＝.
8．(多选)[2024·山东菏泽高一月考]英国数学家哈利奥特最先使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知aA．a＋cbd
C．> D．a2>ab>b2
答案：ABD
解析：因为a对于A选项，由不等式的基本性质可得a＋c对于B选项，－a>－b>0，－c>－d>0，由不等式的基本性质可得ac>bd，B对；
对于C选项，因为<0，由不等式的基本性质可得<，C错；
对于D选项，由不等式的基本性质可得a2>ab，ab>b2，即a2>ab>b2，D对．
9．(多选)[2024·广东深圳高一月考]对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x－2)<0的解集可能为(　　)
A．{x|x<2，或x>a} B．{x|x2}
C．{x|a答案：BCD
解析：由题意a≠0，对应的二次方程有两根x1＝a，x2＝2，
当a<0时，开口向下，a<2，解集为{x|x2}；
当0当a＝2时，开口向上，a＝2，解集为 ；
当a>2时，开口向上，a>2，解集为{x|2二、填空题(每小题5分，共15分)
10．已知a>0，b>0，a＋b＝3，则ab的最大值为________．
答案：
解析：a>0，b>0，a＋b＝3，
由基本不等式可知ab≤()2＝，
当且仅当a＝b＝时等号成立，即ab的最大值为.
11．[2024·河北承德高一月考]若不等式kx2＋2kx－2<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．
答案：－2解析：当k＝0时，－2<0，不等式成立．
当k>0时，二次函数y＝kx2＋2kx－2的图象开口向上，不等式kx2＋2kx－2<0不可能恒成立；
当k<0时，二次函数y＝kx2＋2kx－2的图象开口向下，若不等式kx2＋2kx－2<0对一切实数x都成立，则Δ＝4k2＋8k<0，解得－2综上，k的取值范围为－212．[2024·江西萍乡高一月考]已知关于x的一元二次不等式mx2－2x＋1<0的解集为{x|a答案： 2＋
解析：因为集合{x|a则a，b是关于x的一元二次方程mx2－2x＋1＝0的两个不同的实数根，
则有a＋b＝，ab＝，Δ＝4－4m>0，0所以＝＋＝2，＝1，且a，b是两个不同的正数，
则有3a＋b＝(3a＋b)·()＝2＋＋≥2＋2 ＝2＋，当且仅当＝时，即a＝＋，b＝＋时等号成立，
满足a＋b＝1＋>2，故3a＋b的最小值是2＋.
三、解答题(共58分)
13．(13分)(1)设x>1，求y＝x＋的最小值；
(2)已知x>0，y>0，＋＝1，求x＋y的取值范围．
解析：(1)∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝x＋＝x－1＋＋1≥2 ＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立，
∴y＝x＋的最小值为5.
(2)∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝(＋＋5)≥2 ＋5＝9，当且仅当＝时，即x＝3，y＝6时等号成立，
∴x＋y的取值范围为x＋y≥9.
14．(15分)[2024·福建南平高一月考]设函数y＝ax2＋(b－1)x＋2.
(1)若a＝1，b＝－2，求不等式y>0的解集；
(2)若关于x的不等式y≥bx的解集为R，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝1，b＝－2，不等式y>0即为x2－3x＋2>0，
解得x<1或x>2，
所以y>0的解集为{x|x<1或x>2}．
(2)因为y＝ax2＋(b－1)x＋2，
所以不等式y≥bx可化为ax2－x＋2≥0，
依题意对 x∈R，ax2－x＋2≥0恒成立，
所以当a＝0时，－x＋2≥0，不符合要求；
当a≠0时，由一元二次函数性质，可知即解得a≥，
因此实数a的取值范围是.
15．(15分)[2024·湖南长沙高一月考]当a<1时，解关于x的不等式(ax－1)(x－1)<0.
解析：当a＝0时，代入不等式可得－x＋1<0，解得x>1；
当0由>1得不等式的解为1当a<0时，化简不等式可得a(x－)(x－1)<0即(x－)(x－1)>0，
由<1得不等式的解为x>1或x<，
综上可知，当a＝0时，不等式(ax－1)(x－1)<0的解集为{x|x>1}；
当0当a<0时，不等式(ax－1)(x－1)<0的解集为.
16．(15分)某无人机企业原有200名科技人员，年人均工资a万元(a>0)，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x名(x∈N且50≤x≤100)，调整后研发人员的年人均工资增加(2x)%，技术人员的年人均工资调整为a(m－)万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资；②技术人员的年人均工资始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．解析：(1)依题意可得调整后研发人员的年人均工资为[1＋(2x)%]a万元，
则(200－x)[1＋(2x)%]a≥200a(a>0)，
整理得0.02x2－3x≤0，解得0≤x≤150，
因为x∈N且50≤x≤100，所以50≤x≤100，故100≤200－x≤150，
所以要使这(200－x)名研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，
调整后的研发人员的人数最少为100人．
(2)由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，
得(200－x)[1＋(2x)%]a≥x(m－)a，
整理得m≤＋＋3；
由条件②技术人员年人均工资不减少，得a(m－)≥a，解得m≥＋1；
假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，
即＋1≤m≤＋＋3(50≤x≤100)恒成立，
因为＋＋3≥2 ＋3＝11，
当且仅当＝，即x＝50时等号成立，所以m≤11，
又因为50≤x≤100，当x＝100时，＋1取得最大值11，所以m≥11，
所以11≤m≤11，即m＝11，
即存在这样的m满足条件，其范围为m∈{11}．

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