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四川省眉山市仁寿县城北实验初级中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，无理数有（　　）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
2．（4分）的平方根是（　　）
A．6 B．±6 C． D．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．﹣（2a2）2＝4a2
C．a2 a3＝a6 D．a6÷a3＝a3
4．（4分）下列命题是真命题的有（　　）
A．若a2＝b2，则a＝b
B．若a，b是有理数，则|a+b|＝|a|+|b|
C．内错角相等，两直线平行
D．如果∠A＝∠B，那么∠A与∠B是对顶角
5．（4分）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y）
B．a3﹣2a2b+ab2＝a（a﹣b）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3
D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）
6．（4分）x2+2（k+1）x+64是一个整式的平方，那么k的值是（　　）
A．7 B．﹣15 C．17或﹣15 D．﹣9或7
7．（4分）若（x2+px）（x2﹣3x+q）乘积中不含x2项和x3项，则p、q的值为（　　）
A．p＝3，q＝9 B．p＝3，q＝﹣9 C．p＝﹣3，q＝9 D．p＝0，q＝0
8．（4分）如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）
A．EF＝BC B．EF∥BC C．∠B＝∠E D．AB＝DE
9．（4分）对于任意正整数n，2n+4﹣2n均能被（　　）
A．12整除 B．16整除 C．30整除 D．64整除
10．（4分）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6
11．（4分）如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为（　　）
A．（2﹣） B．（2﹣）2 C．2 D．2（2﹣）
12．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）已知3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n+1的值．
14．（4分）若﹣有意义，则化简：＝　 　．
15．（4分）已知a2﹣3a+1＝0，则＝　 　．
16．（4分）命题“对顶角相等”的条件是　 　，结论是　 　．
17．（4分）在△ABC中，高AD与BE所在直线相交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝　 　．
18．（4分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．
恒成立的结论有 　 　．（把你认为正确的序号都填上）
三、简答题（共78分）
19．（8分）计算：﹣．
20．（8分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣3y）（x﹣y）]÷y，其中x＝﹣，y＝﹣3．
21．（10分）把下列各题进行因式分解．
（1）2x2﹣8；
（2）m2﹣4m﹣n2+4．
22．（10分）已知x、y满足，求下列各式的值：①x2+y2；②x2﹣y2．
23．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，DB＝DC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若∠A＝135°，∠BDC＝30°，求∠BCE的度数．
24．（10分）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形华为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．例如：可将多项式x2+2x+3通过恒等变形化为x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2的形式，这个变形过程中应用了配方法．
（1）对于多项式x2﹣4x+5，当x＝　 　时，它的最小值为 　 　．
（2）若a2+2ab+2b2+4b+4＝0，求ba的值．
（3）a、b、c是△ABC的三边，且有a2+b2＝4a+10b﹣29，若c为整数，求c的值．
25．（10分）已知多项式x+3与另一个多项式A的乘积为多项式B．
（1）若A为关于x的一次多项式x+a，B中x的一次项系数为0，则a＝　 　．
（2）若B为x3+px2+qx+6，求3p﹣q的值．
（3）若A为关于x的二次三项式x2+bx+c，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由．
26．（12分）如图①，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并加以证明．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，无理数有（　　）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【解答】解：，，﹣π，是无理数，
故选：B．
2．（4分）的平方根是（　　）
A．6 B．±6 C． D．
【解答】解：∵＝6，
∴6的平方根为，
故选：D．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．﹣（2a2）2＝4a2
C．a2 a3＝a6 D．a6÷a3＝a3
【解答】解：
A选项，完全平方公式，（a+b）2＝a2+2ab+b2，错误；
B选项，积的乘方，﹣（2a2）2＝﹣4a4，错误；
C选项，同底数幂相乘，a2 a3＝a5，错误；
D选项，同底数幂相除，a6÷a3＝a3，正确．
故选：D．
4．（4分）下列命题是真命题的有（　　）
A．若a2＝b2，则a＝b
B．若a，b是有理数，则|a+b|＝|a|+|b|
C．内错角相等，两直线平行
D．如果∠A＝∠B，那么∠A与∠B是对顶角
【解答】解：A、若a2＝b2，则a＝b，是假命题，也有可能a＝﹣b；
B、若a，b是有理数，则|a+b|＝|a|+|b|，是假命题，当ab＜0时，显然不成立；
C、内错角相等，两直线平行，是真命题；
D、如果∠A＝∠B，那么∠A与∠B是对顶角，是假命题，相等的角不一定是对顶角；
故选：C．
5．（4分）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y）
B．a3﹣2a2b+ab2＝a（a﹣b）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3
D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）
【解答】解：A、x2﹣xy+x＝x（x﹣y+1），故此选项错误；
B、a3﹣2a2b+ab2＝a（a﹣b）2，故此选项正确；
C、x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；
D、ax2﹣9，无法因式分解，故此选项错误．
故选：B．
6．（4分）x2+2（k+1）x+64是一个整式的平方，那么k的值是（　　）
A．7 B．﹣15 C．17或﹣15 D．﹣9或7
【解答】解：∵x2+2（k+1）x+64是一个整式的平方，
∴2（k+1）＝±16，
解得k＝7或﹣9．
故选：D．
7．（4分）若（x2+px）（x2﹣3x+q）乘积中不含x2项和x3项，则p、q的值为（　　）
A．p＝3，q＝9 B．p＝3，q＝﹣9 C．p＝﹣3，q＝9 D．p＝0，q＝0
【解答】解：（x2+px）（x2﹣3x+q）
＝x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqx
＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p）x2+pqx，
∵展开式中不含x2项和x3项，
∴p﹣3＝0，q﹣3p＝0，
∴p＝3，q＝9，
故选：A．
8．（4分）如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）
A．EF＝BC B．EF∥BC C．∠B＝∠E D．AB＝DE
【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
A、EF＝BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故本选项正确；
B、∵EF∥BC，AB∥DE，
∴∠B＝∠E，则△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），故本选项错误；
C、∠B＝∠E，则△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），故本选项错误；
D、AB＝DE，则△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项错误；
故选：A．
9．（4分）对于任意正整数n，2n+4﹣2n均能被（　　）
A．12整除 B．16整除 C．30整除 D．64整除
【解答】解：2n+4﹣2n
＝2n 24﹣2n
＝2n×（24﹣1）
＝2n×（16﹣1）
＝15×2n
＝15×2×2n﹣1
＝30×2n﹣1，
∵n为正整数，则n﹣1≥0，
∴2n+4﹣2n一定能被30整除，
故选：C．
10．（4分）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6
【解答】解：A、不满足三边关系，本选项不符合题意．
B、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意．
C、两角夹边三角形唯一确定．本选项符合题意．
D、一边一角无法确定三角形．本选项不符合题意，
故选：C．
11．（4分）如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为（　　）
A．（2﹣） B．（2﹣）2 C．2 D．2（2﹣）
【解答】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，
∴两个正方形的边长分别是 2，，
∴阴影部分的面积＝（2﹣）×＝2﹣2．
故选：A．
12．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；
∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，故④正确．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）已知3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n+1的值．
【解答】解：由题意得，9n＝32n＝2，32m＝62＝36，
故32m﹣4n+1＝32m×3÷34n＝36×3÷4＝27．
14．（4分）若﹣有意义，则化简：＝　x﹣3　．
【解答】解：若﹣有意义，则x﹣3≥0，
∴＝，
故答案为：x﹣3．
15．（4分）已知a2﹣3a+1＝0，则＝　47　．
【解答】解：∵a2﹣3a+1＝0，
∴a﹣3+＝0，
即a+＝3，
两边平方得，a2+2+＝9，
∴a2+＝7，
再平方得，a4+2+＝49，
∴a4+＝47．
答案为：47．
16．（4分）命题“对顶角相等”的条件是　两个角是对顶角　，结论是　这两个角相等　．
【解答】解：此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对顶角”结论是“这两个角相等”
故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．
17．（4分）在△ABC中，高AD与BE所在直线相交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝　45°或135°　．
【解答】解：如图中，
∵∠BHD＝∠AHE（对顶角相等），又∠AEH＝∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠HAE+∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠C（同角的余角相等），
∴∠C＝∠BHD（等量代换），
∵BH＝AC，∠HBD＝∠DAC，∠C＝∠BHD
∴△HBD≌△CAD（AAS），
∴AD＝BD（全等三角形的对应边相等）．
∴∠ABC＝45°（等腰直角三角形的性质）；
如图，当∠ABC是钝角时，同法可得AD＝BD，
∴∠ABD＝45°，∠ABC＝135°
故答案为：45°或135°
18．（4分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．
恒成立的结论有 　①②③⑤　．（把你认为正确的序号都填上）
【解答】解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，（故①正确）；
②又∵CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ＝60°，∠ADC＝∠BEC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP＝CQ，
∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，
∴∠QPC＝∠BCA，
∴PQ∥AE，（故②正确）；
③∵△CDP≌△CEQ，
∴DP＝QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD＝BE，
∴AD﹣DP＝BE﹣QE，
∴AP＝BQ，（故③正确）；
④∵DE＞QE，且DP＝QE，
∴DE＞DP，（故④错误）；
⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，（故⑤正确）．
∴正确的有：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
三、简答题（共78分）
19．（8分）计算：﹣．
【解答】解：﹣
＝0.7+﹣﹣3+2﹣
＝0.2﹣．
20．（8分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣3y）（x﹣y）]÷y，其中x＝﹣，y＝﹣3．
【解答】解：原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣2x2+6xy+2xy﹣6y2）÷y
＝（4xy﹣6y2）÷y
＝4x﹣6y，
当x＝﹣，y＝﹣3时，
原式＝4×（﹣）﹣6×（﹣3）＝16．
21．（10分）把下列各题进行因式分解．
（1）2x2﹣8；
（2）m2﹣4m﹣n2+4．
【解答】解：（1）2x2﹣8
＝2（x2﹣4）
＝2（x﹣2）（x+2）；
（2）m2﹣4m﹣n2+4
＝m2﹣4m+4﹣n2
＝（m﹣2）2﹣n2
＝（m﹣2﹣n）（m﹣2+n）．
22．（10分）已知x、y满足，求下列各式的值：①x2+y2；②x2﹣y2．
【解答】解：∵，
∴
∴x+y﹣5＝0，xy﹣3＝0，
∴x+y＝5，xy＝3，
①∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝52﹣2×3
＝19；
②∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝52﹣4×3＝13，
∴，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
＝
＝．
23．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，DB＝DC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若∠A＝135°，∠BDC＝30°，求∠BCE的度数．
【解答】（1）证明：
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（ASA），
（2）解：∵∠ABD＝∠EDC＝30°，∠A＝135°，
∴∠1＝∠2＝15°，
∵DB＝DC，
∴∠DCB＝＝75°，
∴∠BCE＝75°﹣15°＝60°．
24．（10分）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形华为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．例如：可将多项式x2+2x+3通过恒等变形化为x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2的形式，这个变形过程中应用了配方法．
（1）对于多项式x2﹣4x+5，当x＝　2　时，它的最小值为 　1　．
（2）若a2+2ab+2b2+4b+4＝0，求ba的值．
（3）a、b、c是△ABC的三边，且有a2+b2＝4a+10b﹣29，若c为整数，求c的值．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
∴当x＝2时，x2﹣4x+5的值最小，最小值为1．
故答案为：2，1．
（2）∵a2+2ab+2b2+4b+4＝0，
∴a2+2ab+b2+b2+4b+4＝0，
∴（a+b）2+（b+2）2＝0，
∴a+b＝0，b+2＝0，
解得a＝2，b＝﹣2，
∴ba＝（﹣2）2＝4．
（3）∵a2+b2＝4 a+10 b﹣29，
∴a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，
∴a2﹣4 a+4+b2﹣10 b+25＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，
∵a、b、c是△ABC的三边，
∴5﹣2＜c＜5+2，
c为整数，
c＝4或5或6．
25．（10分）已知多项式x+3与另一个多项式A的乘积为多项式B．
（1）若A为关于x的一次多项式x+a，B中x的一次项系数为0，则a＝　﹣3　．
（2）若B为x3+px2+qx+6，求3p﹣q的值．
（3）若A为关于x的二次三项式x2+bx+c，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意可知：
B＝（x+3）（x+a）＝x2+（a+3）x+3a，
∵B中x的一次项系数为0，
∴a+3＝0，
解得a＝﹣3．
故答案为：﹣3；
（2）设A为x2+tx+2，
则（x+3）（x2+tx+2）＝x3+px2+qx+6，
∴，
∴3p﹣q＝3（t+3）﹣（3t+2）＝7；
（3）B可能为关于x的三次二项式，理由如下：
∵A为关于x的二次多项式x2+bx+c，
∴b，c不能同时为0，
∵B＝（x+3）（x2+bx+c）＝x3+（b+3）x2+（3b+c）x+3c．
当c＝0时，B＝x3+（b+3）x2+3bx，
∵b不能为0，
∴只能当b+3＝0，即b＝﹣3时，B为三次二项式，为x3﹣9x；
当c≠0时，B＝x3+（b+3）x2+（3b+c）x+3c．
只有当，即时，B为三次二项式，为x3+27．
综上所述：当或时，B为三次二项式．
26．（12分）如图①，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并加以证明．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，
∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；
（3）△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP＝BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB＝90°，
∴∠BCQ+∠PCB＝90°，
∴∠PCQ＝90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形．

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