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第02讲 排列、组合
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 排列、组合的概念 (2) 排列数公式、组合数公式 2024年甲卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2023年II卷5分2022年I卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是排列、组合的概念和排列数公式、组合数公式，主要考查对排列、组合的概念的理解，排列数公式、组合数公式的运用，利用排列、组合解决简单的实际问题；常与计数原理、古典概型等结合考查.
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考试要求
小
)
1、理解排列、组合的概念；
2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；
3、能利用排列、组合解决简单的实际问题。
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
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知识点1: 排列
1、排列
（1）排列的定义：从个不同元素中取出个元素按照一定的顺序排成一列；
（2）排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，用符号表示；
（3）公式：；
知识点2: 组合
1、组合
（1）组合的定义：从个不同元素中取出个元素作为一组；
（2）组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，用符号表示；
（3）公式：；
（4）性质：；
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题型展示
小
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题型一: 排列问题
【例1】（2024·全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
画出树状图，如图，
由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，
其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，；答案为B
【变式1】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】
丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，
连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；
为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置选一个位置插入，有2种方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，
故安排这5名同学共有：种不同的排列方式；答案为B
题型二: 组合问题
【例2】（2023·全国甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
这2名学生来自不同年级的概率为；答案为D.
【变式2】（2023·全国新Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】D
【解析】
分层抽样：初中部抽人，高中部共抽，共有种；答案为D.
题型三: 排列组合综合问题
【例3】将5名校运会志愿者分配到铅球、跳远、3000m长跑和跳高4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】先组后排
第1步，先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种；
第2步，四个元素组成一个排列，有4！种，共有种；答案为C.
【变式3】要安排3名学生到2个路口做志愿者，每名学生只能选择去一个路口，每个路口里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【解析】
第一步，将3名学生分成两个组，有种分法，
第二步，将2组学生安排到2个路口，有种安排方法，共有种；答案为C.
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考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；
甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，共种排法符合题意；
基本事件总数是，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为；答案为B.
【真题2】（2023·全国甲卷）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【解析】
记五名志愿者为，
根据恰有1人在这两天都参加可以把这1人分类为分别是这5类，
在这两天都参加：从剩余的4人抽取2人，共有种，
同理：在这两天都参加也各有种，
恰有1人在这两天都参加的不同安排方式种；答案为B.
【真题3】（2023·全国I卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
这2名学生来自不同年级的概率为；答案为D.
【真题4】（2023·全国乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【解析】
第1步，确定相同得读物，共有种情况，
第2步，两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
则共有种；答案为C.
【真题5】（2023·全国新Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】D
【解析】
根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
不同的抽样结果共有种；答案为D.
【真题6】（2022·全国新Ⅱ卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】
丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，
连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；
为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置选一个位置插入，有2种方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，
故安排这5名同学共有：种不同的排列方式；答案为B
【真题7】（2022·全国新Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率；答案为D.
【真题8】（2021·全国乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】
第1步，先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种；
第2步，同其余三人，看成四个元素，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，
共有种不同的分配方案；答案为C.
【真题9】（2021·全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【解析】
将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：，共6种方法，
2个0不相邻的概率为；答案为C.
【真题10】（2021·全国II卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
2个0不相邻的概率为；答案为C.
【真题11】（2020·海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【解析】
第一步，将3名学生分成两个组，有种分法，
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法，
不同的安排方法共有种；答案为C.
【真题12】（2020·山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C
【解析】
第1步，从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
第2步，从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有，剩下的名同学去丙场馆，
共有种；答案为C.
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第02讲 排列、组合
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 排列、组合的概念 (2) 排列数公式、组合数公式 2024年甲卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2023年II卷5分2022年I卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是排列、组合的概念和排列数公式、组合数公式，主要考查对排列、组合的概念的理解，排列数公式、组合数公式的运用，利用排列、组合解决简单的实际问题；常与计数原理、古典概型等结合考查.
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考试要求
小
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1、理解排列、组合的概念；
2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；
3、能利用排列、组合解决简单的实际问题.
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考点突破考纲解读
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知识点1: 排列
1、排列
（1）排列的定义：从个不同元素中取出个元素按照 排成一列；
（2）排列数：从个不同元素中取出个元素的所有 的个数，用符号表示；
（3）公式：；
知识点2: 组合
1、组合
（1）组合的定义：从个不同元素中取出个元素作为 ；
（2）组合数：从个不同元素中取出个元素的所有 的个数，用符号表示；
（3）公式：；
（4）性质：；
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题型展示
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题型一: 排列问题
【例1】（2024·全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
题型二: 组合问题
【例2】（2023·全国甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·全国新Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
题型三: 排列组合综合问题
【例3】将5名校运会志愿者分配到铅球、跳远、3000m长跑和跳高4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【变式3】要安排3名学生到2个路口做志愿者，每名学生只能选择去一个路口，每个路口里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
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考场演练
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【真题1】（2024·全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【真题2】（2023·全国甲卷）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【真题3】（2023·全国I卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【真题4】（2023·全国乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【真题5】（2023·全国新Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
【真题6】（2022·全国新Ⅱ卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【真题7】（2022·全国新Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
【真题8】（2021·全国乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【真题9】（2021·全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【真题10】（2021·全国II卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【真题11】（2020·海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【真题12】（2020·山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
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