资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第02讲 函数与导数的单调性
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 导数与函数单调性 (2) 判断函数单调区间 (3) 函数单调性的应用 2024年I卷，5分 2023年II卷，5分 2022年I卷，5分 2019年北京卷，5 分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是函数的单调性与导数的关系，求函数的单调区间，函数的单调性的应用，主要考查利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间，利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等；
(
考试要求
小
)
1、结合实例，借助几何直观了解函数的单调性和导数的关系；
2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）
3、会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用。
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:导数与函数单调性
1、函数的导数与单调性的关系
若函数在区间上可导，
（1）恒有，则在区间上单调递增；
（2）恒有，则在区间上单调递减；
（3）恒有，则在区间上是常数函数；
知识点2:判断函数单调区间
1、导数法判断函数单调性步骤
（1）求定义域：确定函数的定义域；
（2）求导数零点：求导，因式分解，求出导数的零点；
（3）划分区间：用的零点将定义域划分区间；
（4）判断导数正负：列表判断各区间的正负；
（5）求单调性：
，则在区间上单调递增；，则在区间上单调递减；
(
题型展示
小
)
题型一:判断函数的单调性
【例1】（2024·全国新Ⅰ卷）（多选）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【详解】
对A， 函数的定义域为R，而，
易知当时，，当 或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，B错；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
，即，正确；
对D，当时，，
，正确；答案为ACD.
【变式1】设，则（ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
【答案】B
【详解】
函数的定义域为，关于原点对称，
函数是奇函数，
不恒等于0，函数是增函数，故答案为B．
题型二:含参函数的单调性
【例2】（2023·全国新Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【详解】
依题可知，在上恒成立，显然，，
设，，在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为；答案为C．
【变式1】若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
对恒成立，
故，即恒成立，
即对恒成立，
构造新函数，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得；答案为C．
题型三:函数单调性的应用
【例3】（2022·全国甲卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
构造函数求单调性比较大小：
当
故，故，；
设，
，在单调递增，
故，，，所以，答案为A
【变式3】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设，，
当时，，当时，
函数在单调递减，在上单调递增，
，，故，即，
，，故，，；
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，当时，，
当时，，函数单调递增，
，即，；答案为C.
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅰ卷）（多选）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【详解】
对A， 函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，B错；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
，即，正确；
对D，当时，，
，正确；答案为ACD.
【真题2】（2023·Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【详解】
依题可知，在上恒成立，显然，，
设，，在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为；答案为C．
【真题3】（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【详解】
由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
，而，，
即，，
结合题意可得实数的取值范围是；故答案为：.
【真题4】（2022·全国新Ⅰ卷）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设，，
当时，，当时，
函数在单调递减，在上单调递增，
，，故，即，
，，故，，；
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，当时，，
当时，，函数单调递增，
，即，；答案为C.
【真题5】（2019·北京）设函数（a为常数）．若为奇函数，则a= ；若是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
【答案】-1;.
【详解】
若函数为奇函数,则，
对任意的恒成立；
若函数是上的增函数,则恒成立,；
即实数的取值范围是.
【真题6】（2017·山东）若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
对A,令,
,
则在R上单调递增,
故具有M性质,答案为A.
【真题7】（2016·全国）若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
对恒成立，
故，即恒成立，
即对恒成立，
构造新函数，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．答案为C．
【真题8】（2015·陕西）设，则（ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
【答案】B
【详解】
函数的定义域为，关于原点对称，
函数是奇函数，
不恒等于0，函数是增函数，故答案为B．
【真题9】（2015·福建）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
令，则，，所以选C.
【真题10】（2015·全国）设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
构造新函数,，当时.
在上单减，又，即.
可得,此时，
又为奇函数，在上的解集为：；答案为A.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第02讲 函数与导数的单调性
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 导数与函数单调性 (2) 判断函数单调区间 (3) 函数单调性的应用 2024年I卷，5分 2023年II卷，5分 2022年I卷，5分 2019年北京卷，5 分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是函数的单调性与导数的关系，求函数的单调区间，函数的单调性的应用，主要考查利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间，利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等；
(
考试要求
小
)
1、结合实例，借助几何直观了解函数的单调性和导数的关系；
2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）
3、会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:导数与函数单调性
1、函数的导数与单调性的关系
若函数在区间上可导，
（1）恒有 ，则在区间上单调递增；
（2）恒有，则在区间上 ；
（3）恒有，则在区间上是常数函数；
知识点2:判断函数单调区间
1、导数法判断函数单调性步骤
（1）求定义域：确定函数的 ；
（2）求导数零点：求导，因式分解，求出导数的 ；
（3）划分区间：用的零点将定义域划分区间；
（4）判断导数正负：列表判断各区间的 ；
（5）求单调性：
，则在区间上单调递增；，则在区间上单调递减；
(
题型展示
小
)
题型一:判断函数的单调性
【例1】（2024·全国新Ⅰ卷）（多选）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
【变式1】设，则（ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
题型二:含参函数的单调性
【例2】（2023·全国新Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【变式1】若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三:函数单调性的应用
【例3】（2022·全国甲卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】设，则（ ）
A． B． C． D．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅰ卷）（多选）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
【真题2】（2023·Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【真题3】（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【真题4】（2022·全国新Ⅰ卷）设，则（ ）
A． B． C． D．
【真题5】（2019·北京）设函数（a为常数）．若为奇函数，则a= ；若是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
【真题6】（2017·山东）若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是
A． B． C． D．
【真题7】（2016·全国）若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【真题8】（2015·陕西）设，则（ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
【真题9】（2015·福建）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【真题10】（2015·全国）设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑