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第02讲 平面向量的数量积及其应用
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 平面向量数量积的含义和几何含义 (2) 平面向量数量积的基本运算 (2) 运用数量积表示向量的夹角 2024年Ⅱ卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2023年II卷5分2023年北京卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2022年II卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是理解平面向量数量积的含义及其几何含义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；主要考查平面向量数量积的基本运算，运用数量积求平面向量的模和夹角.
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考试要求
小
)
1、理解平面向量数量积的含义及其几何含义，了解平面向量的数量积与投影向量的关系，
2、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，会用向量的方法解决简单的平面几何问题.
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
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知识点1:平面向量数量积的定义和几何意义
1、向量的夹角
若，则就是向量与的夹角，夹角范围 ；
2、数量积定义
已知两个非零向量与，夹角为，则数 叫做与的数量积，
记作，即；
（1）夹角公式： ；
（2）为锐角，为钝角；
3、几何意义
（1）投影： 叫做向量在方向上的投影， 叫做向量在方向上的投影；
（2）的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积.
知识点2: 平面向量数量积的性质
1、数量积的性质
（1）垂直关系：与为非零向量，；
（2）模：；
（3）
（4）当与同向，；当与反向，.
知识点3: 平面向量数量积的运算
2、数量积的坐标运算
设向量，，夹角为，则
（1）数量积： ；
（2）向量垂直：；
（3）向量平行：；
（4）向量的模： ；
（5）向量夹角： ；
3、数量积运算常用公式
（1） （2）
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题型展示
小
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题型一: 平面向量数量积的基本运算
【例1】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（多选）（2021·全国新Ⅰ卷）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二: 求平面向量的模
【例2】若向量满足，则 .
【变式2】设为单位向量，且，则 .
题型三: 求平面向量的夹角
【例3】已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知为单位向量，且=0，若 ，则 .
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【真题2】（2023·全国甲卷）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【真题3】（2023·全国I卷）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【真题4】（2023·全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【真题5】（2023·北京）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【真题6】（2023·全国新Ⅱ卷）已知向量，满足，，则 ．
【真题7】（2022·全国乙卷）已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【真题8】（2022·全国甲卷）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【真题9】（2022·全国新Ⅱ卷）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
【真题10】（2022·北京）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第02讲 平面向量的数量积及其应用
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 平面向量数量积的含义和几何含义 (2) 平面向量数量积的基本运算 (2) 运用数量积表示向量的夹角 2024年Ⅱ卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2023年II卷5分2023年北京卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2022年II卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是理解平面向量数量积的含义及其几何含义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；主要考查平面向量数量积的基本运算，运用数量积求平面向量的模和夹角.
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考试要求
小
)
1、理解平面向量数量积的含义及其几何含义，了解平面向量的数量积与投影向量的关系，
2、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，会用向量的方法解决简单的平面几何问题.
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考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:平面向量数量积的定义和几何意义
1、向量的夹角
若，则就是向量与的夹角，夹角范围；
2、数量积定义
已知两个非零向量与，夹角为，则数叫做与的数量积，
记作，即；
（1）夹角公式：
（2）为锐角，为钝角；
3、几何意义
（1）投影：叫做向量在方向上的投影，叫做向量在方向上的投影；
（2）的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积.
知识点2: 平面向量数量积的性质
1、数量积的性质
（1）垂直关系：与为非零向量，；
（2）模：；
（3）
（4）当与同向，；当与反向，.
知识点3: 平面向量数量积的运算
2、数量积的坐标运算
设向量，，夹角为，则
（1）数量积：；
（2）向量垂直：
（3）向量平行：
（4）向量的模：
（5）向量夹角：
3、数量积运算常用公式
（1） （2）
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题型展示
小
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题型一: 平面向量数量积的基本运算
【例1】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
的取值范围是；答案为A.
【变式1】（多选）（2021·全国新Ⅰ卷）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
对A：，，所以，，故，A正确；
对B：，，所以，同理，故不一定相等，B错；
对C：由题意得：，，C正确；
对D：由题意得：，
，故一般来说，D错误；答案为AC.
题型二: 求平面向量的模
【例2】若向量满足，则 .
【答案】
【解析】
∵，∴
∴；故答案为.
【变式2】设为单位向量，且，则 .
【答案】
【解析】
为单位向量，
，解得：
；故答案为.
题型三: 求平面向量的夹角
【例3】已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，，，.
，
；答案为D.
【变式3】已知为单位向量，且=0，若 ，则 .
【答案】.
【解析】
，，
，
，
．
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考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】
，，即，
又，，；答案为B.
【真题2】（2023·全国甲卷）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，，
则，，
；答案为B.
【真题3】（2023·全国I卷）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
,,
即,即,.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
,,
；答案为:D.
【真题4】（2023·全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【解析】
如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，；
【真题5】（2023·北京）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】
向量满足，
；答案为：B
【真题6】（2023·全国新Ⅱ卷）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【解析】
设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即；故答案为.
【真题7】（2022·全国乙卷）已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
，；答案为D.
【真题8】（2022·全国甲卷）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
∵，
又∵
∴9，∴；答案为：C.
【真题9】（2022·全国新Ⅱ卷）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】
,,即,解得；答案为：C
【真题10】（2022·北京）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
，在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，
，，
，其中，，
，，即；答案为D.
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