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/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第02讲 三角恒等变换
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (2) 二倍角的正弦、余弦、正切公式 2024年I卷5分2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷10分2024年上海卷5分2023年I卷5分2023年Ⅱ卷5分2022年Ⅱ卷5分2021年乙卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主，考查频率高； （2）重点是两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，主要考查运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简求值；
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考试要求
小
)
1、会推导两角差的余弦公式；
2、会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式；
3、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
4、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换；
5、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导出和差化积、积化和差、半角公式（这三组公式不要求记忆）.
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
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知识点1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和差公式
（1）正弦： ；
（2）余弦：；
（3）正切： ；
（4）配角技巧：将所求角表示为已知角和特殊角的和、差、倍的形式.
知识点2: 辅助角公式
1、辅助角公式
，
其中；
知识点2: 简单的三角恒等变换
1、二倍角公式
（1）正弦： ；
（2）余弦： ；
（3）正切：；
2、降幂公式
（1）正弦： ；
（2）余弦：；
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题型展示
小
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题型一: 两角和与差的三角函数公式
【例1】（2024·全国新Ⅰ卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型二: 二倍角公式的应用
【例2】（2023·全国新Ⅱ卷）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】若，则 ， ．
题型三: 辅助角公式的应用
【例3】（2024·全国甲卷）函数在上的最大值是 ．
(
考场演练
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【真题1】（2024·全国甲卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【真题2】（2024·全国新Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【真题3】（2024·全国新Ⅰ卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【真题4】（2024·全国甲卷）函数在上的最大值是 ．
【真题5】（2024·上海）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【真题6】（2023·全国新Ⅱ卷）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【真题7】（2023·全国新Ⅰ卷）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【真题8】（2022·全国新Ⅱ卷）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【真题9】（2022·北京）若函数的一个零点为，则 ； ．
【真题10】（2021·全国乙卷）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
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第02讲 三角恒等变换
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (2) 二倍角的正弦、余弦、正切公式 2024年I卷5分2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷10分2024年上海卷5分2023年I卷5分2023年Ⅱ卷5分2022年Ⅱ卷5分2021年乙卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主，考查频率高； （2）重点是两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，主要考查运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简求值；
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考试要求
小
)
1、会推导两角差的余弦公式；
2、会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式；
3、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
4、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换；
5、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导出和差化积、积化和差、半角公式（这三组公式不要求记忆）.
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
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知识点1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和差公式
（1）正弦：；
（2）余弦：；
（3）正切：；
（4）配角技巧：将所求角表示为已知角和特殊角的和、差、倍的形式.
知识点2: 辅助角公式
1、辅助角公式
，
其中；
知识点2: 简单的三角恒等变换
1、二倍角公式
（1）正弦：；
（2）余弦：；
（3）正切：；
2、降幂公式
（1）正弦：
（2）余弦：
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题型展示
小
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题型一: 两角和与差的三角函数公式
【例1】（2024·全国新Ⅰ卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，，
，，
即，
，故；答案为A.
【变式1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意可得：，
则：，，
，
即；答案为B.
题型二: 二倍角公式的应用
【例2】（2023·全国新Ⅱ卷）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，而为锐角，
解得：；答案为D．
【变式2】若，则 ， ．
【答案】 ， ；
【解析】
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则；故答案为；.
题型三: 辅助角公式的应用
【例3】（2024·全国甲卷）函数在上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】
，当时，，
当时，即时，；故答案为2.
【变式3】函数的最大值为 .
【答案】
【解析】
函数f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2，
可知函数的最大值为;故答案为．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
，，
，答案为B.
【真题2】（2024·全国新Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【解析】
为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则，
；
故答案为.
【真题3】（2024·全国新Ⅰ卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，，
，，
即，
，故；答案为A.
【真题4】（2024·全国甲卷）函数在上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】
，当时，，
当时，即时，；故答案为2.
【真题5】（2024·上海）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
对A，，周期，故A正确；
对B，，周期，故B错；
对C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错；
对D，，周期，故D错;答案为A．
【真题6】（2023·全国新Ⅱ卷）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，而为锐角，
解得：；答案为D．
【真题7】（2023·全国新Ⅰ卷）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，而，
，
则，
；答案为B
【真题8】（2022·全国新Ⅱ卷）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由已知得：,
即：，
即：，；答案为C
【真题9】（2022·北京）若函数的一个零点为，则 ； ．
【答案】 1，；
【解析】
∵，∴
∴
；故答案为：1，
【真题10】（2021·全国乙卷）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【解析】
由题，，
的最小正周期为，最大值为；答案为C．
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