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/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第02讲 两条直线的位置关系
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 两条直线平行或垂直 (2) 点线间的距离公式 (3) 中心对称与轴对称 2024年北京卷5分2024年甲卷5分2024年乙卷5分2022年天津卷5分2022年II卷5分2021年甲卷5分2021年乙卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是两条直线平行或垂直，点线间的距离公式和中心对称与轴对称，主要考查根据斜率判定两条直线平行或垂直，求两条直线的交点坐标，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离，点关于直线对称，直线关于直线对称.
(
考试要求
小
)
1、能根据斜率判定两条直线平行或垂直；
2、能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；
3、掌握平面上两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
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知识点1: 两条直线的平行与垂直
1、两条直线的平行与垂直
（1）若，则：
1）；
2） ；
（2）若，则：
1） ；
2）；
（3）与直线平行的直线可设为 ；
（4）与直线垂直的直线可设为；
知识点2: 距离公式
1、三种距离公式
（1）两点间的距离公式
点： ；
（2）点到直线的距离公式
点到直线： ；
（3）两平行线之间的距离公式
： ；
知识点3: 中点与对称
1、中点与对称
（1）中点公式
点的中点为 ；
（2）中心对称
1）点关于的对称点满足；
2）直线关于点的对称可以转化为 的对称问题来解决；
（3）轴对称
1）点关于直线的对称点满足；
2）直线关于直线的对称可以转化为 的对称问题来解决；
(
题型展示
小
)
题型一: 直线的平行与垂直
【例1】已知直线的倾斜角为，直线经过点垂直，直线：等于（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D.2
【变式1】已知过点A和B的直线与直线平行，则的值为（ ）
A．0 B．-8 C．2 D.10
题型二: 两条直线的交点与距离问题
【例2】求过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程和平行的直线方程.
【变式2】已知平行直线，则的距离是 .
题型三: 对称问题
【例3】直线关于点对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022·全国新Ⅱ卷）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【真题2】（2024·北京）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【真题3】（2024·全国乙卷）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【真题4】（2022·天津）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【真题5】（2022·全国新Ⅱ卷）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【真题6】（2021·全国乙卷）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【真题7】（2021·全国甲卷）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【真题8】（2020·全国）点(0,-1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【真题9】（2016·上海）已知平行直线，则的距离是 .
【真题10】（2016·全国）圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）
A． B． C． D．2
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第02讲 两条直线的位置关系
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 两条直线平行或垂直 (2) 点线间的距离公式 (3) 中心对称与轴对称 2024年北京卷5分2024年甲卷5分2024年乙卷5分2022年天津卷5分2022年II卷5分2021年甲卷5分2021年乙卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是两条直线平行或垂直，点线间的距离公式和中心对称与轴对称，主要考查根据斜率判定两条直线平行或垂直，求两条直线的交点坐标，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离，点关于直线对称，直线关于直线对称.
(
考试要求
小
)
1、能根据斜率判定两条直线平行或垂直；
2、能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；
3、掌握平面上两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 两条直线的平行与垂直
1、两条直线的平行与垂直
（1）若，则：
1）；
2）；
（2）若，则：
1）；
2）；
（3）与直线平行的直线可设为；
（4）与直线垂直的直线可设为；
知识点2: 距离公式
1、三种距离公式
（1）两点间的距离公式
点：；
（2）点到直线的距离公式
点到直线：
（3）两平行线之间的距离公式
：
知识点3: 中点与对称
1、中点与对称
（1）中点公式
点的中点为；
（2）中心对称
1）点关于的对称点满足；
2）直线关于点的对称可以转化为点关于点的对称问题来解决；
（3）轴对称
1）点关于直线的对称点满足；
2）直线关于直线的对称可以转化为点关于直线的对称问题来解决；
(
题型展示
小
)
题型一: 直线的平行与垂直
【例1】已知直线的倾斜角为，直线经过点垂直，直线：等于（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D.2
【答案】B
【解析】
,又；
【变式1】已知过点A和B的直线与直线平行，则的值为（ ）
A．0 B．-8 C．2 D.10
【答案】B
【解析】
设所求的直线，，；答案为B.
题型二: 两条直线的交点与距离问题
【例2】求过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程和平行的直线方程.
【答案】和
【解析】
设与直线垂直的直线方程为，
设与直线平行的直线方程为，
联立方程得与的交点 代入得
答案为和
【变式2】已知平行直线，则的距离是 .
【答案】
【解析】
由两平行线间的距离公式得；答案为.
题型三: 对称问题
【例3】直线关于点对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，过点，点关于点的对称点为；
，答案为B.
【变式3】（2022·全国新Ⅱ卷）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
关于对称的点的坐标为，在直线上，
所在直线即为直线，直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；答案为.
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】
直线，即，令，
则， 直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
圆心，半径，，当时，的最小，
；答案为C.
【真题2】（2024·北京）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意得，则其圆心坐标为，
圆心到直线的距离为；答案为D.
【真题3】（2024·全国乙卷）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】
成等差数列，，，
代入方程得，令得，
直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时；答案为C.
【真题4】（2022·天津）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【答案】
【解析】
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，，解得；故答案为.
【真题5】（2022·全国新Ⅱ卷）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
关于对称的点的坐标为，在直线上，
所在直线即为直线，为；
圆，圆心，半径，
圆心到直线的距离，
即，解得，即；答案为.
【真题6】（2021·全国乙卷）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】
【解析】
，双曲线的右焦点为，
右焦点到直线的距离为；答案为.
【真题7】（2021·全国甲卷）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，考虑点到直线的距离：；答案为A.
【真题8】（2020·全国）点(0,-1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，；答案为B.
【真题9】（2016·上海）已知平行直线，则的距离是 .
【答案】
【解析】
由两平行线间的距离公式得；答案为.
【真题10】（2016·全国）圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
由，
圆心为，圆的圆心到直线的距离为1，
，解得，答案为A.
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