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第03讲 等比数列及其前n项和
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 等比数列的概念和性质 (2) 等比数列的通项与前n项和及其性质 2023年Ⅱ卷5分2023年甲卷10分2023年乙卷5分2023年天津卷5分2022年乙卷5分2021年甲卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大； （2）重点是等比数列的概念和性质，等比数列的通项与前n项和及其性质；主要考查等比数列的基本量运算，求等比数列的通项与前n项和.
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考试要求
小
)
1、理解等比数列的概念；
2、掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；
3、了解等比数列与指数函数的关系。
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1:等比数列的概念
1、等比数列定义与基本量
（1）定义：；
（2）通项： ；
（3）前n项和：；
知识点2:等比数列通项的性质
1、等比数列通项性质
若是等比数列，则：
（1）若，则 ；
（2）等比中项：成等比数列 ；若三个数成等比数列，可设为
知识点3:等比数列前n项和的性质
1、等比数列前n项和性质
设等比数列的前项和为，则有以下性质：
（1）数列仍为等比数列，仍为 ，公比为 ；
(
题型展示
小
)
题型一: 等比数列的基本量运算
【例1】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5= ．
【变式1】等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知= ，=，则= ．
题型二: 等比数列的通项和前n项和
【例2】设等比数列{an}满足，．
（1）求的通项公式；
（2）记为数列的前n项和．若，求m．
【变式2】已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
题型三: 等比数列的性质
【例3】若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．
【变式3】（2023·全国新Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
(
考场演练
)
【真题1】（2023·全国甲卷）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【真题2】（2023·全国乙卷）已知为等比数列，，，则 .
【真题3】（2023·全国甲卷）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
【真题4】（2023·天津）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
【真题5】（2023·全国新Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【真题6】（2022·全国乙卷）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【真题7】（2021·全国甲卷）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【真题8】（2020·全国）设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【真题9】（2020·全国）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【真题10】（2020·全国）数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第03讲 等比数列及其前n项和
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 等比数列的概念和性质 (2) 等比数列的通项与前n项和及其性质 2023年Ⅱ卷5分2023年甲卷10分2023年乙卷5分2023年天津卷5分2022年乙卷5分2021年甲卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大； （2）重点是等比数列的概念和性质，等比数列的通项与前n项和及其性质；主要考查等比数列的基本量运算，求等比数列的通项与前n项和.
(
考试要求
小
)
1、理解等比数列的概念；
2、掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；
3、了解等比数列与指数函数的关系。
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:等比数列的概念
1、等比数列定义与基本量
（1）定义：；
（2）通项：；
（3）前n项和：；
知识点2:等比数列通项的性质
1、等比数列通项性质
若是等比数列，则：
（1）若，则；
（2）等比中项：成等比数列；若三个数成等比数列，可设为
知识点3:等比数列前n项和的性质
1、等比数列前n项和性质
设等比数列的前项和为，则有以下性质：
（1）数列仍为等比数列，仍为等比数列，公比为；
(
题型展示
小
)
题型一: 等比数列的基本量运算
【例1】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5= ．
【答案】
【解析】
设等比数列的公比为，由已知，又，
．
【变式1】等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知= ，=，则= ．
【答案】32
【解析】
由题意可得，所以；
两式相除得代入得；答案为32．
题型二: 等比数列的通项和前n项和
【例2】设等比数列{an}满足，．
（1）求的通项公式；
（2）记为数列的前n项和．若，求m．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，；
（2）令，，
根据，可得，
整理得，，，
【变式2】已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）数列是各项均为正数的等比数列，，，
令数列的公比为，，，
，解得(舍去)或，
数列是首项为、公比为的等比数列，．
（2），，，，
数列是首项为、公差为的等差数列，．
题型三: 等比数列的性质
【例3】若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．
【答案】
【解析】
由题意得，三个正数，，成等比数列，，解得．
【变式3】（2023·全国新Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【解析】
设等比数列的公比为，
，，所以，否则，
成等比数列，
，解得：或，
当时，，即为，
，即；
当时，，与矛盾，舍去．
答案为C．
(
考场演练
)
【真题1】（2023·全国甲卷）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【解析】
若，则由得，则，不合题意，.
当时，因为，，
即，即，即，解得.
故答案为.
【真题2】（2023·全国乙卷）已知为等比数列，，，则 .
【答案】
【解析】
设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，故答案为.
【真题3】（2023·全国甲卷）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【解析】
由题知,
即,即,即.
由题知,,；答案为C.
【真题4】（2023·天津）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
【答案】C
【解析】
当时，，所以，即，
当时，，数列是首项为2，公比为3的等比数列，
则；答案为C.
【真题5】（2023·全国新Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【解析】
设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，；
若，则，与题意不符，；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
．
答案为C．
【真题6】（2022·全国乙卷）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】
设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾， ，
则，解得，；答案为D.
【真题7】（2021·全国甲卷）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】
∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列，∴，
∴，∴；答案为A.
【真题8】（2020·全国）设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】D
【解析】
设等比数列的公比为，则，
，
；答案为D.
【真题9】（2020·全国）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【答案】B
【解析】
设等比数列的公比为，
由可得：，
，；答案为B.
【真题10】（2020·全国）数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
在等式中，令，可得，，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得；答案为C.
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