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第03讲 导数与函数的极值
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 利用导数求函数极值、最值 (2) 根据极值、最值求参数 2024年上海卷5分2023年II卷5分2022年I卷5分2022年甲卷5 分2022年乙卷10分2021年I卷5分2021年I卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题、大题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，基本有一个固定的大题； （2）重点是会用导数求函数的极大值、极小值和掌握利用导数研究函数最值的方法；主要考查利用导数求函数极值、最值，根据函数的极值、最值来确定参数的值和范围； （3）导数求极值、最值的方法需要重点掌握和加强练习.
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考试要求
小
)
1、借助函数图像，了解在某处取得极值的必要条件和充分条件；
2、会用导数求函数的极大值、极小值；
3、掌握利用导数研究函数最值的方法；
4、会用导数研究生活中最优化问题.
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考点突破考纲解读
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考点梳理
小
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知识点1:函数的极值
1、函数的极值定义
（1）函数的极大值
函数在点的处的函数值比在其附近的点处的函数值都 ；且 ，在附近的左侧，右侧，则是 ，是函数的 ；
（2）函数的极小值
函数在点的处的函数值比在其附近的点处的函数值都 ；且，在附近的左侧 ，右侧 ，则是 ，是函数的 ；
（3）极值点：极大值点、极小值点统称为极值点；
极值：极大值和极小值统称为 .
知识点2:函数的最值
1、函数的最值
（1）连续函数在闭区间上必有最大值与最小值；
（2）连续函数在闭区间上的最值可能为 或者 ；
（3）求函数在闭区间上最值步骤：
1）求出函数在闭区间上的 ；
2）求出函数在闭区间上的端点值；
3）比较极值和端点值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值.
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题型展示
小
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题型一:利用导数求函数极值
【例1】若是函数的极值点，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．是的零点 B．1是的极值点
C．3是的极值 D．点在曲线上
题型二:利用导数求函数最值
【例2】已知函数，则的最小值是 ．
【变式2】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
题型三:根据极值、最值求参
【例3】（2023·全国新Ⅱ卷）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式3】（2016·四川）已知为函数的极小值点，则（ ）
A．–4 B．–2 C．4 D．2
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考场演练
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【真题1】（2024·上海）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值
【真题2】（2023·全国新Ⅱ卷）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【真题3】（2022·全国乙卷）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【真题4】（2022·全国甲卷）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【真题5】（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【真题6】（2022·全国乙卷）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
【真题7】（2021·全国乙卷）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【真题8】（2021·全国新Ⅰ卷）函数的最小值为 .
【真题9】（2018·全国）已知函数，则的最小值是 ．
【真题10】（2018·江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第03讲 导数与函数的极值
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 利用导数求函数极值、最值 (2) 根据极值、最值求参数 2024年上海卷5分2023年II卷5分2022年I卷5分2022年甲卷5 分2022年乙卷10分2021年I卷5分2021年I卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题、大题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，基本有一个固定的大题； （2）重点是会用导数求函数的极大值、极小值和掌握利用导数研究函数最值的方法；主要考查利用导数求函数极值、最值，根据函数的极值、最值来确定参数的值和范围； （3）导数求极值、最值的方法需要重点掌握和加强练习.
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考试要求
小
)
1、借助函数图像，了解在某处取得极值的必要条件和充分条件；
2、会用导数求函数的极大值、极小值；
3、掌握利用导数研究函数最值的方法；
4、会用导数研究生活中最优化问题.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:函数的极值
1、函数的极值定义
（1）函数的极大值
函数在点的处的函数值比在其附近的点处的函数值都大；且，在附近的左侧，右侧，则是极大值点，是函数的极大值；
（2）函数的极小值
函数在点的处的函数值比在其附近的点处的函数值都小；且，在附近的左侧，右侧，则是极小值点，是函数的极小值；
（3）极值点：极大值点、极小值点统称为极值点；
极值：极大值和极小值统称为极值.
知识点2:函数的最值
1、函数的最值
（1）连续函数在闭区间上必有最大值与最小值；
（2）连续函数在闭区间上的最值可能为极值或者端点值；
（3）求函数在闭区间上最值步骤：
1）求出函数在闭区间上的极值；
2）求出函数在闭区间上的端点值；
3）比较极值和端点值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值.
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题型展示
小
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题型一:利用导数求函数极值
【例1】若是函数的极值点，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题可得，
，，，故，
令，解得或，
在上单调递增，在上单调递减，
的极小值为，答案为A．
【变式1】对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．是的零点 B．1是的极值点
C．3是的极值 D．点在曲线上
【答案】A
【详解】
若选项A错误时，选项B、C、D正确，，
是的极值点，是的极值，
，即，解得：，
点在曲线上，
，即，，，
，，
不是的零点，A错，B、C、D正确；答案为A．
题型二:利用导数求函数最值
【例2】已知函数，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】
，
令，得，即在区间内单调递增；
令，得，即在区间内单调递减．
则；故答案为.
【变式2】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
【答案】
【详解】
求导得，
当时，函数在区间内单调递增，且，
函数在内无零点；
当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，
当时，；当时，，
要使函数在区间内有且仅有一个零点，只需，解得．
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，最大值与最小值之和为；故答案为．
题型三:根据极值、最值求参
【例3】（2023·全国新Ⅱ卷）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】
函数的定义域为，求导得，
函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，
而，方程有两个不等的正根，
，即有，，，
，即，A错误，BCD正确；答案为BCD
【变式3】（2016·四川）已知为函数的极小值点，则（ ）
A．–4 B．–2 C．4 D．2
【答案】D
【详解】
，令得或，
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值点为2，即；答案为D.
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考场演练
)
【真题1】（2024·上海）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值
【答案】B
【详解】
对A，若存在是偶函数, 取,对于任意,
而, 矛盾, A错；
对B，可构造函数满足集合，
当时，则，当时，，
当时，，则该函数的最大值是，则B正确；
对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，C错；
对D，假设存在，使得在处取极小值，
则在的左侧附近存在，使得，
这与已知集合的定义矛盾，故D错；答案为B.
【真题2】（2023·全国新Ⅱ卷）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】
函数的定义域为，求导得，
函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，
而，方程有两个不等的正根，
，即有，，，
，即，A错误，BCD正确.答案为BCD
【真题3】（2022·全国乙卷）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，
在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
在区间上的最小值为，最大值为；答案为D
【真题4】（2022·全国甲卷）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】
函数定义域为，
，，而，
，即，，
函数在上递增，在上递减，
时取最大值，满足题意，即有；答案为B.
【真题5】（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【详解】
由题，，令得或，
令得，
在，上单调递增，上单调递减，
是极值点，故A正确；
，，，
函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错.
答案为AC.
【真题6】（2022·全国乙卷）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
，方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
分别是函数的极小值点和极大值点，
函数在和上递减，在上递增，
当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
函数与函数的图象有两个不同的交点，
，解得，又，，
的取值范围为．
【真题7】（2021·全国乙卷）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的；
a为函数的极大值点，
在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如图所示：
由图可知,，故；综上所述，成立；答案为D.
【真题8】（2021·全国新Ⅰ卷）函数的最小值为 .
【答案】1
【详解】
定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
时，单调递减，时，单调递增；
，故答案为1.
【真题9】（2018·全国）已知函数，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】
，
令，得，即在区间内单调递增；
令，得，即在区间内单调递减．
则；故答案为.
【真题10】（2018·江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
【答案】
【详解】
求导得，
当时，函数在区间内单调递增，且，
函数在内无零点；
当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，
当时，；当时，，
要使函数在区间内有且仅有一个零点，只需，解得．
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，最大值与最小值之和为；故答案为．
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