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第03讲 二项式定理
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 二项式定理 (2) 二项式展开式的系数 2024年北京卷5分2022年北京卷5分2020年北京卷5分2020年甲卷5分2019年甲卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是二项式定理和全称量词与二项式展开式的系数，主要考查由二项式的通项公式求某一项的系数，二项式系数的性质以及二项式系数的和.
(
考试要求
小
)
1、能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；
2、会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题。
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 二项式定理
1、二项式定理
（1）二项式定理：；
（2）二项展开式的通项：；
（3）二项式系数：
知识点2: 二项式系数的性质
2、二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等；
（2）增减性与最大值
1）当是偶数时，中间的一项为最大值；
2）当是奇数时，中间的两项与为最大值；
（3）各二项式系数的和：
展开式的各二项式系数的和为;
(
题型展示
小
)
题型一: 二项式的通项公式
【例1】（2024·北京）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
的二项展开式为，
令，；答案为A.
【变式1】（2015·全国）的展开式中，的系数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
【答案】C
【解析】
在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,
的系数为=30，答案为C.
题型二: 二项式系数与项的系数
【例2】若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【解析】
令，则，令，则，
，答案为B.
【变式2】已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，，
二项式中奇数项的二项式系数和为．
题型三: 应用二项式定理求参数
【例3】二项式的展开式中项的系数为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
二项式的展开式的通项是，令得的系数是，
的系数为，，即或，，；答案为C．
【变式3】已知的展开式中含的项的系数为，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，令，；答案为D.
(
考场演练
)
【真题1】（2024·北京）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
的二项展开式为，
令，；答案为A.
【真题2】（2022·北京）若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【解析】
令，则，令，则，
，答案为B.
【真题3】（2020·北京）在的展开式中，的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【解析】
展开式的通项公式为：，
令，则的系数为：；答案为C.
【真题4】（2020·全国）的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【解析】
展开式的通项公式为（且）
的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，该项中的系数为，
在中，令，该项中的系数为
的系数为；答案为C.
【真题5】（2019·全国）的展开式中x3的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【解析】
，答案为A．
【真题6】（2018·全国）的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【解析】
，令，；答案为C.
【真题7】（2017·全国）的展开式中33的系数为（ ）
A．-80 B．-40 C．40 D．80
【答案】C
【解析】
，
可得：
当时，展开式中的系数为，
当时，展开式中的系数为，
则的系数为；答案为C.
【真题8】（2017·全国）展开式中的系数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
，展开式中含的项为，
展开式中含的项为，的系数为；答案为C．
【真题9】（2016·四川）设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为（ ）
A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4
【答案】A
【解析】
二项式的展开式的通项为，令，则，
展开式中含的项为，答案为A.
【真题10】（2015·全国）的展开式中，的系数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
【答案】C
【解析】
在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,
的系数为=30，答案为C.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第03讲 二项式定理
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(1) 二项式定理 (2) 二项式展开式的系数 2024年北京卷5分2022年北京卷5分2020年北京卷5分2020年甲卷5分2019年甲卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是二项式定理和全称量词与二项式展开式的系数，主要考查由二项式的通项公式求某一项的系数，二项式系数的性质以及二项式系数的和.
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考试要求
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1、能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；
2、会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题。
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知识点1: 二项式定理
1、二项式定理
（1）二项式定理：；
（2）二项展开式的通项： ；
（3）二项式系数： ；
知识点2: 二项式系数的性质
2、二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ；
（2）增减性与最大值
1）当是偶数时，中间的一项 为最大值；
2）当是奇数时，中间的两项与为最大值；
（3）各二项式系数的和：
展开式的各二项式系数的和为;
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题型一: 二项式的通项公式
【例1】（2024·北京）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2015·全国）的展开式中，的系数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
题型二: 二项式系数与项的系数
【例2】若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
【变式2】已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A． B． C． D．
题型三: 应用二项式定理求参数
【例3】二项式的展开式中项的系数为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式3】已知的展开式中含的项的系数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
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考场演练
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【真题1】（2024·北京）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【真题2】（2022·北京）若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
【真题3】（2020·北京）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．5 C． D．10
【真题4】（2020·全国）的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【真题5】（2019·全国）的展开式中x3的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【真题6】（2018·全国）的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【真题7】（2017·全国）的展开式中33的系数为（ ）
A．-80 B．-40 C．40 D．80
【真题8】（2017·全国）展开式中的系数为（ ）
A． B．
C． D．
【真题9】（2016·四川）设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为（ ）
A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4
【真题10】（2015·全国）的展开式中，的系数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
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