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第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 空间点、直线、平面的位置关系 (2) 异面直线所成的角 2024年天津卷5分2024年甲卷5分2022年I卷5分2022年乙卷5分2021年乙卷5分2021年II卷5分2021年浙江卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是空间点、直线、平面的位置关系和异面直线所成的角，主要考查空间点、直线、平面的位置关系的判断，求异面直线所成的角；注意加强培养空间想象能力.
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考试要求
小
)
1、借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；
2、了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1: 四大公理
1、四大公理
（1）公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内；
【作用：证明点、直线在平面内】
（2）公理2：过不在一条直线的 ，有且只有一个平面；
【作用：确定平面；判断点、线共面】
1）推论1：经过直线和直线外一点，有且只有一个平面；
2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
3）推论3：经过平行直线，有且只有一个平面；
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 一条过该点的公共直线；
【作用：证明三线共点或三点共线】
（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线相互 ；
【作用：平行具有传递性，证明平行】
知识点2: 空间点线面的位置关系
1、点线面的位置关系
知识点3: 异面直线所成的角
1、等角定理
若空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 ；
2、异面直线所成的角
（1）定义：已知两条异面直线，作直线的平行线相交于点，把直线与所成的角叫做 ；
（2）范围：；
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题型展示
小
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题型一: 空间直线与直线的位置关系
【例1】若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．与，都相交 B．与，都不相交
C．至少与，中的一条相交 D．至多与，中的一条相交
【变式1】若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二: 空间直线与平面的位置关系
【例2】（多选）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型三: 异面直线所成角
【例3】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
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考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：
①若，则或 ②若，则或
③若且，则 ④若与,所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
【真题2】（2024·天津）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与相交
【真题3】（2022·全国乙卷）在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【真题4】（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为
【真题5】（2021·全国乙卷）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【真题6】（2021·浙江）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【真题7】（2021·全国新Ⅱ卷）（多选）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【真题8】（2019·全国）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ）
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
【真题9】（2019·全国）设，为两个平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线
D．，垂直于同一平面
【真题10】（2019·北京）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
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第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 空间点、直线、平面的位置关系 (2) 异面直线所成的角 2024年天津卷5分2024年甲卷5分2022年I卷5分2022年乙卷5分2021年乙卷5分2021年II卷5分2021年浙江卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是空间点、直线、平面的位置关系和异面直线所成的角，主要考查空间点、直线、平面的位置关系的判断，求异面直线所成的角；注意加强培养空间想象能力.
(
考试要求
小
)
1、借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；
2、了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 四大公理
1、四大公理
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；
【作用：证明点、直线在平面内】
（2）公理2：过不在一条直线的三点，有且只有一个平面；
【作用：确定平面；判断点、线共面】
1）推论1：经过直线和直线外一点，有且只有一个平面；
2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
3）推论3：经过平行直线，有且只有一个平面；
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；
【作用：证明三线共点或三点共线】
（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行；
【作用：平行具有传递性，证明平行】
知识点2: 空间点线面的位置关系
1、点线面的位置关系
知识点3: 异面直线所成的角
1、等角定理
若空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等；
2、异面直线所成的角
（1）定义：已知两条异面直线，作直线的平行线相交于点，把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角；
（2）范围：；
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题型展示
小
)
题型一: 空间直线与直线的位置关系
【例1】若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．与，都相交 B．与，都不相交
C．至少与，中的一条相交 D．至多与，中的一条相交
【答案】C
【解析】
l与l1，l2可以都相交，可能和其中一条平行，和其中一条相交，如图
至少与，中的一条相交，答案为C．
【变式1】若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
若，垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，
“ ”是“ 的必要不充分条件，答案为B．
题型二: 空间直线与平面的位置关系
【例2】（多选）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
对A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ相交，故AB和平面MNQ不平行，A错；
对B，AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，B正确；
对C，AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：C正确；
对D，AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：D正确；答案为BCD.
【变式2】已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；
当“平面α和平面β相交”，则 “直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立；答案为A.
题型三: 异面直线所成角
【例3】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图所示，补成直四棱柱，
则所求角为，
易得，因此，答案为C．
【变式3】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
在正方体中，，异面直线与所成角为，
设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，，
则；答案为C.
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考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：
①若，则或 ②若，则或
③若且，则 ④若与,所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【解析】
对①，当， ，，则，当， ，，则，
当既不在也不在内，，，则且，①正确；
对②，若，则与不一定垂直，②错；
对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，
，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，
同理可得，则， 平面，平面，则平面，
平面，，则，又，则，③正确；
对④，若与和所成的角相等，如果，则，④错；
综上只有①③正确，答案为A.
【真题2】（2024·天津）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与相交
【答案】C
【解析】
对A，若，，则平行或异面或相交，A错；
对B，若，则平行或异面或相交，B错；
对C，，过作平面，使得，
，故，而，故，故，C正确；
对D，若，则与相交或异面，D错；答案为C.
【真题3】（2022·全国乙卷）在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A
【解析】
在中，且平面，平面，，
分别为的中点，，，又，平面，
又平面，平面平面，A正确；
对B，如图设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，由勾股定理可得，
，，即，
平面平面不成立， B错；
对C，取的中点，则，
与平面相交，平面平面不成立，C错；
对D，取的中点，四边形为平行四边形，，
与平面相交，平面平面不成立，D错；
答案为A.
【真题4】（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【解析】
如图，连接、，，直线与所成的角即为直线与所成的角，
四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；
连接，平面，平面，则，
，，平面，
又平面，，B正确；
连接，设，连接，
平面，平面，则，
，，平面， 为直线与面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
直线与平面所成的角为，C错；
平面，为直线与平面所成的角，，D正确；
答案为ABD
【真题5】（2021·全国乙卷）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，连接，∥，或其补角为直线与所成的角，
平面，，又，，
平面，，设正方体棱长为2，则，
，；答案为D
【真题6】（2021·浙江）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【答案】A
【解析】
连，在正方体中，M是的中点，为中点，
又N是的中点， ，平面平面， 平面.
不垂直， 不垂直，则不垂直平面， B,D不正确；
在正方体中，，平面， ，
， 平面，平面， ，
且直线是异面直线， C错，A正确；答案为A.
【真题7】（2021·全国新Ⅱ卷）（多选）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
设正方体的棱长为，
对A，如图（1），连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，
在直角三角形，，，故，
不成立，A错；
对于B，如图（2），取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
平面，而平面，故，B正确.
对C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，，C正确.
对D，如图（4），取的中点，的中点，连接，则，
，，，或其补角为异面直线所成的角，
正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D错误；答案为BC.
【真题8】（2019·全国）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ）
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
【答案】B
【解析】
如图， 作于，连接，过作于，连，
平面平面，平面，平面，平面，
与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，
．；答案为B．
【真题9】（2019·全国）设，为两个平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线
D．，垂直于同一平面
【答案】B
【解析】
由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，
由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，
内两条相交直线都与平行是的必要条件，答案为B．
【真题10】（2019·北京）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.
【解析】
将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；
（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；
（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.
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