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/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第03讲 圆的方程
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 圆的定义和几何性质 (2) 圆的标准方程和一般方程 2024年北京卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2018年北京卷5分2016年浙江卷5分2016年天津卷5分
（1）本讲为高考命题次热点，题型以选择题为主； （2）重点是圆的定义和几何性质和圆的标准方程和一般方程，主要考查通过圆的定义和几何性质求解圆的方程；
(
考试要求
小
)
1、理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程和一般方程；
2、能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1: 圆的定义和圆的方程
1、圆的定义和圆的方程
（1）定义：平面上到定点的距离等于定值的点的集合叫做 ，其中定点叫 ，定值叫半径；
（2）圆的标准方程：，圆心为 ，半径为 ；
（3）圆的一般方程：，圆心为，半径为 ;
（表示圆的充要条件）；
知识点2: 点与圆的位置关系
2、点与圆的位置关系
平面上一点与圆之间存在着下列关系：
（1）在 ，即在圆外；
（2）在 ，即在圆上；
（3）在 ，即在圆内；
(
题型展示
小
)
题型一: 圆的方程
【例1】设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【变式1】圆心为且过原点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型二: 圆心到直线距离
【例2】圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）
A． B． C． D．2
【变式2】圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为 (　 　)
A．1 B．2 C． D．2
题型三: 圆的几何性质
【例3】过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则（ ）
A． B．8 C． D．10
【变式3】直线与圆交于两点，则 ．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·北京）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【真题2】（2022·全国甲卷）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【真题3】（2022·全国乙卷）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【真题4】（2018·天津）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ．
【真题5】（2016·浙江）已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ．
【真题6】（2016·天津）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为 .
【真题7】（2016·全国）圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）
A． B． C． D．2
【真题8】（2016·北京）圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为（ ）
A．1 B．2
C． D．2
【真题9】（2015·全国）过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则（ ）
A． B．8 C． D．10
【真题10】（2015·北京）圆心为且过原点的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第03讲 圆的方程
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 圆的定义和几何性质 (2) 圆的标准方程和一般方程 2024年北京卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2018年北京卷5分2016年浙江卷5分2016年天津卷5分
（1）本讲为高考命题次热点，题型以选择题为主； （2）重点是圆的定义和几何性质和圆的标准方程和一般方程，主要考查通过圆的定义和几何性质求解圆的方程；
(
考试要求
小
)
1、理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程和一般方程；
2、能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 圆的定义和圆的方程
1、圆的定义和圆的方程
（1）定义：平面上到定点的距离等于定值的点的集合叫做圆，其中定点叫圆心，定值叫半径；
（2）圆的标准方程：，圆心为，半径为；
（3）圆的一般方程：，圆心为，半径为
（表示圆的充要条件）；
知识点2: 点与圆的位置关系
2、点与圆的位置关系
平面上一点与圆之间存在着下列关系：
（1）在圆外，即在圆外；
（2）在圆上，即在圆上；
（3）在圆内，即在圆内；
(
题型展示
小
)
题型一: 圆的方程
【例1】设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】
【解析】
∵点M在直线上，∴设点M为，
点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，，
∴，，的方程为；答案为.
【变式1】圆心为且过原点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
设圆的方程为，且圆过原点，即，圆的方程为;答案为D.
题型二: 圆心到直线距离
【例2】圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
圆心为，
圆心到直线的距离为1，所以，答案为A.
【变式2】圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为 (　 　)
A．1 B．2 C． D．2
【答案】C
【解析】
圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，答案为C.
题型三: 圆的几何性质
【例3】过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】C
【解析】
由已知得，， ， ，
即为直角三角形，其外接圆圆心为AC中点，半径为长为，
外接圆方程为，令，得，，答案为C．
【变式3】直线与圆交于两点，则 ．
【答案】
【解析】
圆的方程可化为，圆心为，且半径是，
弦心距，；故答案为.
(
考场演练
)
【真题1】（2024·北京）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，圆心坐标为，
圆心到直线的距离为；答案为D.
【真题2】（2022·全国甲卷）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】
【解析】
∵点M在直线上，∴设点M为，
点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，，
∴，，的方程为；答案为.
【真题3】（2022·全国乙卷）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】或
或或（写其中一个即可）．
【解析】
三点中的两条中垂线的交点为圆心，设点，
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，
圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程为，联立得 ， 圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，圆的方程为；
答案为或
或 或．
【真题4】（2018·天津）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ．
【答案】
【解析】
设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：
，则圆的方程为.
【真题5】（2016·浙江）已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ．
【答案】；5．
【解析】
由题意，知，，
当时，方程为，
即，圆心为，半径为5，
当时，方程为，不表示圆．
【真题6】（2016·天津）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为 .
【答案】
【解析】
设，则，圆C的方程为
【真题7】（2016·全国）圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
圆心为，
圆心到直线的距离为1，所以，答案为A.
【真题8】（2016·北京）圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为（ ）
A．1 B．2
C． D．2
【答案】C
【解析】
圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，答案为C.
【真题9】（2015·全国）过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】C
【解析】
由已知得，， ， ，
即为直角三角形，其外接圆圆心为AC中点，半径为长为，
外接圆方程为，令，得，，答案为C．
【真题10】（2015·北京）圆心为且过原点的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
设圆的方程为，且圆过原点，即，圆的方程为;答案为D.
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