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第04讲 随机事件、频率与概率
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 样本空间和随机事件 (2) 两个随机事件的关系和运算 (3) 概率与频率 2024年Ⅱ卷5分2022年甲卷5分2022年北京卷5分2020年乙卷5分2020年甲卷5分2018年北京卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题填空题为主； （2）重点是两个随机事件的关系和运算和概率与频率，主要考查随机事件的概率计算，互斥、对立事件的概率计算，频率和概率的区别和联系等.
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考试要求
小
)
1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；
2、了解概率的意义以及频率和概率的区别；
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
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知识点1: 样本空间和随机事件
1、样本空间和随机事件
（1）样本点和有限样本空间
1）样本点：随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，常用表示；
2）样本空间：全体样本点的集合称为试验的样本空间，常用表示；
3）有限样本空间：如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间
为有限样本空间；
（2）随机事件
1）定义：将样本空间的子集称为随机事件，简称事件；
2）表示：一般用大写字母表示；
知识点2: 两个随机事件的关系和运算
2、两个随机事件的关系和运算
1）包含关系：若发生，则一定发生；
2）相等关系：且；
3）并事件：与至少有一个发生；
4）交事件：与同时发生或；
5）互斥关系：与不能同时发生；
6）对立关系：与有且仅有一个发生且；
知识点3: 频率与概率
3、频率与概率
（1）频率的稳定性
随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件的发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率；
（2）频率稳定性的作用：可以用频率估计概率；
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题型展示
小
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题型一: 随机事件
【例1】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .
【答案】
【解析】
根据题意得基本事件数总为个,点数和为5的基本事件有,,,共4个;
∴出现向上的点数和为5的概率为;答案为.
【变式1】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．
【答案】
【解析】
甲同学从四种水果中选两种共种方法，
乙同学从四种水果中选两种共种方法，则甲、乙两位同学选法种数共，
两同学相同的选法种数为，.
题型二: 互斥、对立事件的概率计算
【例2】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【解析】
设事件A为不用现金支付，；答案为B.
【变式2】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
甲不输概率为；答案为A.
题型三: 频率与概率
【例3】在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
【答案】(1)0.4
【解析】
（1）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，
丙获得优秀的概率为0.5；答案为0.4
【变式3】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
【答案】(I) 概率为0.025；
【详解】
（I）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50；所求概率为．
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考场演练
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【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】(1)；(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【解析】
（1）甲、乙所在队比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛；
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，，
，，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
，，，，
应该由甲参加第一阶段比赛.
【真题2】（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，.
【解析】
（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，甲学校获得冠军的概率为：
．
（2）依题可知，的可能取值为，
,，
，.
即的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
.
【真题3】（2022·北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4；(2)；(3)丙
【解析】
（1）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，
丙获得优秀的概率为0.5，答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩，比赛一次，丙获得9.85的概率为，
甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为；
并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
【真题4】（2020·全国甲）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .
【答案】
【解析】
根据题意得基本事件数总为个,点数和为5的基本事件有,,,共4个;
∴出现向上的点数和为5的概率为;答案为.
【真题5】（2020·全国）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为，
，
需要进行第五场比赛的概率为；
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，记事件甲赢，记事件丙赢，
则甲赢的基本事件包括：、、、、
、、、，甲赢的概率为.
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，丙赢的概率为.
【真题6】（2018·北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．
【答案】(1) 概率为0.025；(2) 概率估计为0.35；(3) >>=>>
【解析】
（Ⅰ）样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，所求概率为．
（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”，
所求概率为P()=P()+P=P(A)(1–P(B))+ P(B)(1–P(A))．
P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2,所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ）>>=>>．
【真题7】（2018·全国）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【解析】
设事件A为不用现金支付，则；答案为B.
【真题8】（2016·山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析，
【解析】
（Ⅰ）记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，
记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，由事件的独立性与互斥性，
，
“星队”至少猜对3个成语的概率为.
（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得 ,
,
,
,
,.
可得随机变量的分布列为
0 1 2 3 4 6
P
.
【真题9】（2016·天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
甲不输概率为；答案为A.
【真题10】（2016·上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．
【答案】
【解析】
甲同学从四种水果中选两种共种方法，乙同学从四种水果中选两种共种方法，
则甲、乙两位同学选法种数共，两同学相同的选法种数为，.
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第04讲 随机事件、频率与概率
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 样本空间和随机事件 (2) 两个随机事件的关系和运算 (3) 概率与频率 2024年Ⅱ卷5分2022年甲卷5分2022年北京卷5分2020年乙卷5分2020年甲卷5分2018年北京卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题填空题为主； （2）重点是两个随机事件的关系和运算和概率与频率，主要考查随机事件的概率计算，互斥、对立事件的概率计算，频率和概率的区别和联系等.
(
考试要求
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1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；
2、了解概率的意义以及频率和概率的区别；
(
考点突破考纲解读
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考点梳理
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知识点1: 样本空间和随机事件
1、样本空间和随机事件
（1）样本点和有限样本空间
1）样本点：随机试验的每个可能的基本结果称为 ，常用表示；
2）样本空间：全体样本点的集合称为试验的 ，常用表示；
3）有限样本空间：如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间
为有限样本空间；
（2）随机事件
1）定义：将样本空间的子集称为 ，简称事件；
2）表示：一般用大写字母表示；
知识点2: 两个随机事件的关系和运算
2、两个随机事件的关系和运算
1）包含关系：若发生，则一定发生；
2）相等关系：且；
3）并事件：与至少有一个发生；
4）交事件：与同时发生 或 ；
5）互斥关系：与不能同时发生 ；
6）对立关系：与有且仅有一个发生且 ；
知识点3: 频率与概率
3、频率与概率
（1）频率的稳定性
随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会 ，即事件的发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率；
（2）频率稳定性的作用：可以用频率 概率；
(
题型展示
小
)
题型一: 随机事件
【例1】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .
【变式1】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．
题型二: 互斥、对立事件的概率计算
【例2】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【变式2】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型三: 频率与概率
【例3】在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
【变式3】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【真题2】（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【真题3】（2022·北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【真题4】（2020·全国甲）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .
【真题5】（2020·全国）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【真题6】（2018·北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．
【真题7】（2018·全国）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【真题8】（2016·山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
【真题9】（2016·天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
【真题10】（2016·上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．
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