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第04讲 数列的通项公式
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 等差、等比数列的通项公式 (2) 求通项的几种常用方法 2024年甲卷5分2024年乙卷5分2023年甲卷5分2022年甲卷5分2022年I卷5分2021年天津卷5分2021年浙江卷5分2021年乙卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以解答题为主，常作为数列大题的第1小问出现； （2）重点是等差、等比数列的通项公式和非等差、非等比数列求通项的几种常用方法主要考查由前n项和法求通项，累加法、累乘法，待定系数法（构造法）求通项以及猜想验证法求通项；重点掌握以上求通项的方法.
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考试要求
小
)
1、熟练掌握等差、等比数列的通项公式；
2、掌握非等差、非等比数列求通项的几种常用方法；
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1: 求数列通项常用方法
1、由前n项和法求通项
（1）当时，；
（2）当时，.
2、作差累加法
（1）由可得；
（2）则有；
（3）累加后即可得到通项.
3、作商累乘法
（1）由可得；
（2）则有；
（3）累乘后即可得到通项.
知识点2: 待定系数法（构造法）求数列通项
1、待定系数法（构造法）
（1）形如（A、B为常数），可化为的形式；
（2）形如（A、B、C为常数），可化为的形式；
（3）形如（A、B、C为常数），可化为的形式；
（4）形如（A、B为常数），可化为的形式.
知识点3: 猜想验证法求数列通项
1、猜想验证法
（1）利用所给递推式求出；
（2）猜想出一个满足递推式的通项公式；
（3）用数学归纳法证明猜想是正确的：
1）当时，命题成立；
2）假设当时，命题成立；
那么当时，证明命题也成立（核心步骤）.
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题型展示
小
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题型一: 由前n项和法求通项
【例1】（2024·全国甲卷）已知等比数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
【答案】(1)；(2)
【解析】
（1）,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
【变式1】（2023·全国甲卷）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【解析】
（1），当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
题型二: 待定系数法求数列通项
【例2】设数列满足，．
（1）计算求的通项公式；
【答案】；
【解析】
，猜想；
由于，设，其中为常数；
整理得．故，解得，
，
又，是各项均为0的常数列，，即．
【变式2】（2019·全国）已知数列和满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2），．
【解析】
(1)由题意可知，，，，
，即，
数列是首项为、公比为的等比数列，，
，
，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
，．
题型三: 猜想验证法求数列通项
【例3】【例2】设数列满足，．
（1）计算猜想的通项公式并加以证明；
【答案】（1），，，证明见解析
【解析】
（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即．
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
【变式3】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1） 由已知，得，，，，
猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明：当时显然成立，假设当时成立，即，
那么当时，，
综上，猜想对任意的都成立；即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,,
当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
【解析】
（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，.
【真题2】（2024·全国乙卷）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
【解析】
（1）,故，
即故等比数列的公比为，
故，故，故.
【真题3】（2023·全国甲卷）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【解析】
（1），当时，，即；当时，，即，
当时，，，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，．
【真题4】（2022·全国甲卷）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
【答案】
【解析】
（1），即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
是以为公差的等差数列．
【真题5】（2022·全国新Ⅰ卷）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【解析】
（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,∴当时，，
∴,整理得：,
即,∴，
显然对于也成立，∴的通项公式；
【真题6】（2021·天津）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，证明是等比数列；
【答案】（I），；
【解析】
（I）是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
，，；
设等比数列的公比为，
，解得（负值舍去），；
（II）由题意，，，
，且，数列是等比数列；
【真题7】（2021·浙江）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
【答案】（1）；
【解析】
（1）当时，，，
当时，由①，得②，①②得
，又是首项为，公比为的等比数列，
；
【真题8】（2021·全国乙卷）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由已知条件知 ①
于是 ②由①②得 ③又， ④
由③④得．令，由，得．
数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,,
当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【真题9】（2021·全国）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【解析】
∵数列是等差数列，设公差为
∴，，∴，
∴当时，
当时，，满足，∴的通项公式为，
∴∴是等差数列.
【真题10】（2019·全国）已知数列和满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2），．
【解析】
(1)由题意可知，，，，
，即，
数列是首项为、公比为的等比数列，，
，
，数列是首项、公差为的等差数列，．
（2）由(1)可知，，，
，．
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第04讲 数列的通项公式
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 等差、等比数列的通项公式 (2) 求通项的几种常用方法 2024年甲卷5分2024年乙卷5分2023年甲卷5分2022年甲卷5分2022年I卷5分2021年天津卷5分2021年浙江卷5分2021年乙卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以解答题为主，常作为数列大题的第1小问出现； （2）重点是等差、等比数列的通项公式和非等差、非等比数列求通项的几种常用方法主要考查由前n项和法求通项，累加法、累乘法，待定系数法（构造法）求通项以及猜想验证法求通项；重点掌握以上求通项的方法.
(
考试要求
小
)
1、熟练掌握等差、等比数列的通项公式；
2、掌握非等差、非等比数列求通项的几种常用方法；
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
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知识点1: 求数列通项常用方法
1、由前n项和法求通项
（1）当时，；
（2）当时， .
2、作差累加法
（1）由可得 ；
（2）则有 ；
（3）累加后即可得到通项.
3、作商累乘法
（1）由可得；
（2）则有；
（3） 后即可得到通项.
知识点2: 待定系数法（构造法）求数列通项
1、待定系数法（构造法）
（1）形如（A、B为常数），可化为 的形式；
（2）形如（A、B、C为常数），可化为的形式；
（3）形如（A、B、C为常数），可化为的形式；
（4）形如（A、B为常数），可化为的形式.
知识点3: 猜想验证法求数列通项
1、猜想验证法
（1）利用所给递推式求出；
（2）猜想出一个满足递推式的通项公式；
（3）用数学归纳法证明猜想是正确的：
1）当时，命题成立；
2）假设当时，命题成立；
那么当 时，证明命题也成立（核心步骤）.
(
题型展示
小
)
题型一: 由前n项和法求通项
【例1】（2024·全国甲卷）已知等比数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
【变式1】（2023·全国甲卷）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
题型二: 待定系数法求数列通项
【例2】设数列满足，．
（1）计算求的通项公式；
【变式2】（2019·全国）已知数列和满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式.
题型三: 猜想验证法求数列通项
【例3】【例2】设数列满足，．
（1）计算猜想的通项公式并加以证明；
【变式3】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【真题2】（2024·全国乙卷）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
【真题3】（2023·全国甲卷）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
【真题4】（2022·全国甲卷）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
【真题5】（2022·全国新Ⅰ卷）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
【真题6】（2021·天津）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，证明是等比数列；
【真题7】（2021·浙江）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
【真题8】（2021·全国乙卷）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【真题9】（2021·全国）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【真题10】（2019·全国）已知数列和满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式.
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