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第04讲 解三角形
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 正弦定理、余弦定理 (2) 三角形中的最值和范围 (3) 三角形面积公式的应用 2024年I卷13分2024年II卷13分2024年天津卷13分2024年北京卷13分2023年II卷10分2023年甲卷10分2023年乙卷10分2023年I卷10分2022年I卷10分
（1）本讲为新高考命题必考点，题型以选解答题为主，常出现在前两道解答题的位置，考查内容、频率、题型、难度均变化不大； （2）重点是正弦定理、余弦定理和面积公式的理解，主要考查正弦定理、余弦定理和面积公式以及诱导公式，三角恒等变换求角和三角函数的值，求解边长、周长的值及范围，求面积的值及范围.
(
考试要求
小
)
1、掌握正弦定理、余弦定理及其变形；理解三角形的面积公式并能应用；
2、能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题及与测量和几何计算有关的实际问题；
3、能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题；
4、通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:正弦定理
1、三角形内角和定理：
（1） （2） （3）
2、三边关系：
（1）两边之和大于第三边；
（2）两边之差小于第三边.
3、正弦定理
（1）边化角：；
（2）对应关系：
知识点2:余弦定理
1、余弦定理
（1）求角
f
知识点3:面积公式
1、三角形面积公式
(
题型展示
小
)
题型一: 求角和三角函数的值
【例1】（2024·天津）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】
（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；则.
（2）为三角形内角，，
又，即，解得，
（3），且，，由（2）知，
，则，，
则，，
.
【变式1】在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)(2)(3)
【详解】
（1），即，而，代入得；
（2）由（1）可求出，而，，又，．
（3），，故，又， ，，
而，，
.
题型二: 求边长、周长的值及范围
【例2】（2024·全国新Ⅰ卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【答案】(1)(2)
【详解】
（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
，，
，
又，即， ，.
（2）由（1）可得，，，，，
而，
由正弦定理有，
，
，
.
【变式2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2），
，
，.
题型三: 求面积的值及范围
【例3】的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2).
【详解】
(1)由三角形的内角和定理得，
．
，．
在中，由正弦定理知，
，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
(2) 是锐角三角形，又，，．
，，则，
从而，故面积的取值范围是．
【变式3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；(2)．
【详解】
（1）由于， ，则．，
由正弦定理知，则．
（2），由余弦定理，得，
即，解得，而，，
的面积．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·天津）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；(2)求；(3)求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】
（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；则.
（2）为三角形内角，，
再根据正弦定理得，即，解得，
（3），且，，由（2）知，
，则，，
则，
.
【真题2】（2024·全国新Ⅱ卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)(2)
【详解】
（1）由可得，即，
由于，故，解得
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，故的周长为
【真题3】（2024·全国新Ⅰ卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【答案】(1)(2)
【详解】
（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
，，，
，即，又，.
（2）由（1）可得，，，，，
而，
由正弦定理有，
，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，所以.
【真题4】（2024·北京）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为.
【详解】
（1）由题意得，为钝角，
则，则，则，解得，
为钝角，则.
（2）选择①，则，，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
为三角形内角，则，
则
，则；
【真题5】（2023·全国甲卷）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1)；(2)
【详解】
（1），，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
【真题6】（2023·全国乙卷）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；(2).
【详解】
（1）由余弦定理可得：，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
【真题7】（2023·全国新Ⅱ卷）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2).
【详解】
（1）在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
.
（2）在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
.
【真题8】（2023·天津）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】
（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
都为锐角，因此，，
．
【真题9】（2023·全国新Ⅰ卷）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1); (2) 6;
【详解】
（1），，即，
又，
，
，
，即，所以，.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
【真题10】（2022·全国新Ⅰ卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；(2)．
【详解】
（1），即，
而，所以；
（2）由（1）知，，，
而，
，即有，
．
当且仅当时取等号，的最小值为．
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第04讲 解三角形
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考纲导向
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 正弦定理、余弦定理 (2) 三角形中的最值和范围 (3) 三角形面积公式的应用 2024年I卷13分2024年II卷13分2024年天津卷13分2024年北京卷13分2023年II卷10分2023年甲卷10分2023年乙卷10分2023年I卷10分2022年I卷10分
（1）本讲为新高考命题必考点，题型以选解答题为主，常出现在前两道解答题的位置，考查内容、频率、题型、难度均变化不大； （2）重点是正弦定理、余弦定理和面积公式的理解，主要考查正弦定理、余弦定理和面积公式以及诱导公式，三角恒等变换求角和三角函数的值，求解边长、周长的值及范围，求面积的值及范围.
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考试要求
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1、掌握正弦定理、余弦定理及其变形；理解三角形的面积公式并能应用；
2、能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题及与测量和几何计算有关的实际问题；
3、能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题；
4、通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养.
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考点突破考纲解读
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考点梳理
小
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知识点1:正弦定理
1、三角形内角和定理：；
（1） ； （2） ； （3） ；
2、三边关系：
（1）两边之和大于第三边 ；
（2）两边之差小于第三边.
3、正弦定理
；
（1）边化角：；
（2）对应关系：
知识点2:余弦定理
1、余弦定理
；
（1）求角
；
知识点3:面积公式
1、三角形面积公式
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题型一: 求角和三角函数的值
【例1】（2024·天津）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求的值．
【变式1】在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
题型二: 求边长、周长的值及范围
【例2】（2024·全国新Ⅰ卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【变式2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
题型三: 求面积的值及范围
【例3】的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2).
【详解】
【变式3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
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考场演练
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【真题1】（2024·天津）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；(2)求；(3)求的值．
【真题2】（2024·全国新Ⅱ卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
【真题3】（2024·全国新Ⅰ卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【真题4】（2024·北京）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【真题5】（2023·全国甲卷）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【真题6】（2023·全国乙卷）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【真题7】（2023·全国新Ⅱ卷）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【真题8】（2023·天津）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【真题9】（2023·全国新Ⅰ卷）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【真题10】（2022·全国新Ⅰ卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
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