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第03讲 三角函数的图象与性质
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 三角函数的基本性质 (2) 三角函数的图像变换 (3) 函数的解析式和性质 2024年I卷5分2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷5分2024年天津卷10分2024年上海卷5分2024年北京卷5分2023年甲卷5分2022年甲卷5分2022年天津卷5分
（1）本讲为新高考命题必考点和热点，题型以选择题、选择题为主，难度中等及以上； （2）重点是三角函数的图象与性质，三角函数图象的伸缩平移变换，函数的图象和性质，主要考查三角函数的周期性、奇偶性、最值及其与的关系，常与三角恒等变换结合考查.
(
考试要求
小
)
1、能画出三角函数的图象；
2、了解三角函数的周期性、奇偶性、最值；
3、借助图像理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质.
4、结合具体实例，了解的实际意义，能借助图像理解参数的意义，了解参数的变化对函数图像的影响；
5、会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1:三角函数的图象与性质
1、“五点作图法”作正弦函数和余弦函数图象
（1）正弦函数的五个关键点： ；
（2）余弦函数的五个关键点：.
2、正弦、余弦、正切的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
周期性 ；
奇偶性 ； 偶函数 奇函数
最值 当， 当； 当， 当； /
单调递增区间 ； ； ；
单调递减区间 ； ； /
对称中心 ； ； ；
对称轴 ； ； /
周期与对称性之间的关系 相邻的两个对称中心或者两条对称轴间隔半个周期； 相邻的对称中心与对称轴间隔 ；
知识点2: 三角函数的图象变换
1、三角函数的图象变换
经过图象变换得到：
（1）方法1：对先平移再伸缩
1）向左平移，得到 ；
2）横坐标缩短到原来的倍，得到；
3）纵坐标伸长到原来的2倍，得到 ；
4）向上平移1个单位长度，得到；
（2）方法2：对先伸缩再平移
1）横坐标缩短到原来的倍，得到；
2）向左平移，得到；【注意理解只单独对进行操作】
3）纵坐标伸长到原来的2倍，得到 ；
4）向上平移1个单位长度，得到；
知识点3: 函数
1、“五点作图法”作图象
把看作整体，代入正弦函数的五个特征点，解出：
0
0 0 0
2、求三角函数的解析式
（1）已知三角函数图象求解析式
按以下步骤求得各个量，即可得到统一的形式：
1）求： ；
2）求： ；
3）求：先求周期，再由 得到；
4）求：先把代入中，再代特殊点：上升点、最高点、下降点、最低点；
（2）已知函数表达式求解析式
化简思路为：
1）二次化一次（降幂公式、二倍角）
2）一次再统一（辅助角、两角和差）
即可化成统一的形式：
3、正弦型函数的性质
正弦型函数，方法： ；
（1）周期：；
（2）奇偶性：
当时，奇函数；
当时，偶函数；
（3）最值：当时，最大；当时，最小；
（4）单调性：递增： ；递减：；
（5）对称性：对称轴： ；对称中心：；
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题型展示
小
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题型一: 三角函数的基本性质
【例1】（2022·全国新Ⅱ卷）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【变式1】已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
题型二: 三角函数的图象变换
【例2】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
题型三: 函数的解析式和性质
【例3】（2023·全国乙卷）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）函数在上的最大值是 ．
【真题2】（2024·天津）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【真题3】（2024·上海）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B． C． D．
【真题4】（2024·北京）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【真题5】（2024·天津）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【真题6】（2024·全国新Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【真题7】（2024·全国新Ⅱ卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【真题8】（2023·全国甲卷）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【真题9】（2022·天津）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【真题10】（2022·全国甲卷）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第03讲 三角函数的图象与性质
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 三角函数的基本性质 (2) 三角函数的图像变换 (3) 函数的解析式和性质 2024年I卷5分2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷5分2024年天津卷10分2024年上海卷5分2024年北京卷5分2023年甲卷5分2022年甲卷5分2022年天津卷5分
（1）本讲为新高考命题必考点和热点，题型以选择题、选择题为主，难度中等及以上； （2）重点是三角函数的图象与性质，三角函数图象的伸缩平移变换，函数的图象和性质，主要考查三角函数的周期性、奇偶性、最值及其与的关系，常与三角恒等变换结合考查.
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考试要求
小
)
1、能画出三角函数的图象；
2、了解三角函数的周期性、奇偶性、最值；
3、借助图像理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质.
4、结合具体实例，了解的实际意义，能借助图像理解参数的意义，了解参数的变化对函数图像的影响；
5、会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1:三角函数的图象与性质
1、“五点作图法”作正弦函数和余弦函数图象
（1）正弦函数的五个关键点：；
（2）余弦函数的五个关键点：.
2、正弦、余弦、正切的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
最值 当， 当； 当， 当； /
单调递增区间
单调递减区间 /
对称中心
对称轴 /
周期与对称性之间的关系 相邻的两个对称中心或者两条对称轴间隔半个周期； 相邻的对称中心与对称轴间隔；
知识点2: 三角函数的图象变换
1、三角函数的图象变换
经过图象变换得到：
（1）方法1：对先平移再伸缩
1）向左平移，得到；
2）横坐标缩短到原来的倍，得到；
3）纵坐标伸长到原来的2倍，得到；
4）向上平移1个单位长度，得到；
（2）方法2：对先伸缩再平移
1）横坐标缩短到原来的倍，得到；
2）向左平移，得到；【注意理解只单独对进行操作】
3）纵坐标伸长到原来的2倍，得到；
4）向上平移1个单位长度，得到；
知识点3: 函数
2、“五点作图法”作图象
把看作整体，代入正弦函数的五个特征点，解出：
0
0 0 0
3、求三角函数的解析式
（1）已知三角函数图象求解析式
按以下步骤求得各个量，即可得到统一的形式：
1）求：；
2）求：；
3）求：先求周期，再由得到；
4）求：先把代入中，再代特殊点：上升点、最高点、下降点、最低点；
（2）已知函数表达式求解析式
化简思路为：
1）二次化一次（降幂公式、二倍角）
2）一次再统一（辅助角、两角和差）
即可化成统一的形式：
4、正弦型函数的性质
正弦型函数，方法：整体代入
（1）周期：；
（2）奇偶性：
当时，奇函数；
当时，偶函数；
（3）最值：当时，最大；当时，最小；
（4）单调性：递增：；递减：；
（5）对称性：对称轴：；对称中心：；
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题型展示
小
)
题型一: 三角函数的基本性质
【例1】（2022·全国新Ⅱ卷）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【解析】
，，，即，
又，时，，；
对A，当时，，
由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，
由正弦函数图象知只有1个极值点，
由，解得，即为函数的唯一极值点；
对D，由得：，
解得或,或,
函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即；答案为AD．
【变式1】已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，在上单调递增，②正确；，，，③不正确；
由于，
的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确；
答案为A．
题型二: 三角函数的图象变换
【例2】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，
纵坐标不变，得到的图象，
再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，，
令,则,
,；
【变式2】为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
，
把函数图象上的所有点向右平移个单位长度，
即可得到函数的图象；答案为D.
题型三: 函数的解析式和性质
【例3】（2023·全国乙卷）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
在区间单调递增，
，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则；答案为D.
【变式3】设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
依题意可得，，，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，
又，的图象如下所示：
则，解得，即；答案为C．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）函数在上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】
，当时，，
当时，即时，；答案为2.
【真题2】（2024·天津）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
对A，设，定义域为，但，，则，A错；
对B，设，定义域为，
且，则为偶函数，B正确；
对C，设，定义域为，不关于原点对称，则不是偶函数，C错；
对D，设，函数定义域为，，，
则，则不是偶函数，D错；答案为B.
【真题3】（2024·上海）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
对A，，周期，A正确；
对B，，周期，B错；
对C，，是常值函数，无最小正周期，C错；
对D，，周期，D错，答案为A．
【真题4】（2024·北京）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
为的最小值点，为的最大值点，
则，即，且，；答案为B.
【真题5】（2024·天津）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】
，由得，
即，当时，，
画出图象，如下图，
由图可知，在上递减，
当时，;答案为A
【真题6】（2024·全国新Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点;答案为C
【真题7】（2024·全国新Ⅱ卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】
令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得；
若，令，可得
，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
符合题意；综上所述：.
【真题8】（2023·全国甲卷）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
向左平移个单位所得函数为，，
而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
由图可知，与的交点个数为；答案为C.
【真题9】（2022·天津）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，的最小正周期为，①错；
令，而在上递增，在上单调递增，②正确；
，，，③错；
由于，
的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④错；答案为A．
【真题10】（2022·全国甲卷）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为；答案为C.
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