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/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 直线和圆的位置关系 (2) 圆和圆的位置关系 2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷5分2024年乙卷5分2023年Ⅱ卷5分2023年I卷5分2023年乙卷5分2023年天津卷5分2022年甲卷5分2022年北京卷5分2022年天津卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主，考查频率非常高； （2）重点是直线和圆的位置关系和圆和圆的位置关系，主要考查直线和圆的位置关系和圆和圆的位置关系判断，圆的切线问题求解，直线与圆中的最值及范围问题求解等，需要针对以上考查重点多加练习.
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考试要求
小
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1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线和圆的、圆和圆的位置关系；
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
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知识点1: 直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系
设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则如下图所示，有三种关系：
（1）相交：弦长公式（求圆的弦长必用）；
（2）相切 ：求切线方程：可以由得到斜率，代入点斜式；
（3）相离：原上一点到直线距离最大，距离最小 ；
知识点2: 圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为，圆心距为：
知识点3: 圆上一点到直线的距离
1、圆上一点到圆外直线的距离
若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是 .
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题型展示
小
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题型一: 直线与圆的位置关系
【例1】已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【变式1】已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ．
题型二: 圆的切线
【例2】（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【变式2】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
题型三: 直线与圆中的最值及范围问题
【例3】（2022·全国新Ⅱ卷）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【变式3】（多选）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
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考场演练
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【真题1】（2024·全国甲卷）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【真题2】（2024·全国乙卷）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【真题3】（2024·全国新Ⅱ卷）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【真题4】（2023·全国新Ⅰ卷）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【真题5】（2023·天津）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ．
【真题6】（2023·全国乙卷）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【真题7】（2023·全国新Ⅱ卷）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【真题8】（2022·北京）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
【真题9】（2022·天津）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【真题10】（2022·全国甲卷）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
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考纲导向
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 直线和圆的位置关系 (2) 圆和圆的位置关系 2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷5分2024年乙卷5分2023年Ⅱ卷5分2023年I卷5分2023年乙卷5分2023年天津卷5分2022年甲卷5分2022年北京卷5分2022年天津卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主，考查频率非常高； （2）重点是直线和圆的位置关系和圆和圆的位置关系，主要考查直线和圆的位置关系和圆和圆的位置关系判断，圆的切线问题求解，直线与圆中的最值及范围问题求解等，需要针对以上考查重点多加练习.
(
考试要求
小
)
1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线和圆的、圆和圆的位置关系；
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系
设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则如下图所示，有三种关系：
（1）相交：弦长公式（求圆的弦长必用）
（2）相切：求切线方程：可以由得到斜率，代入点斜式；
（3）相离：原上一点到直线距离最大，距离最小；
知识点2: 圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为，圆心距为：
知识点3: 圆上一点到直线的距离
1、圆上一点到圆外直线的距离
若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是
(
题型展示
小
)
题型一: 直线与圆的位置关系
【例1】已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】
到直线的距离 ，
又 两圆相交；答案为B.
【变式1】已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ．
【答案】5
【解析】
圆心到直线的距离，
；故答案为．
题型二: 圆的切线
【例2】（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】
对A，圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，
，则直线l与圆C相切，A正确；
对B，若点在圆C内，则，，则直线l与圆C相离，B正确；
对C，若点在圆C外，则，，则直线l与圆C相交，C错；
对D，若点在直线l上，则即，
，直线l与圆C相切，D正确；答案为ABD.
【变式2】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【解析】
设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，
则直线的斜率，设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，（舍），
则直线的方程为，即；答案为D.
题型三: 直线与圆中的最值及范围问题
【例3】（2022·全国新Ⅱ卷）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
关于对称的点的坐标为，在直线上，
所在直线即为直线，直线为，即；
圆，圆心，半径，
圆心到直线的距离，
即，即；故答案为.
【变式3】（多选）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【解析】
圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
点到直线的距离的最小值为，最大值为，A正确，B错；
如图：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，，CD正确;答案为ACD.
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考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】
直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，当时，的最小，
;答案为C.
【真题2】（2024·全国乙卷）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】
成等差数列， ，，代入直线方程
得，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时;答案为C
【真题3】（2024·全国新Ⅱ卷）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【解析】
A项，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离是，等于圆的半径，
准线和相切，A正确；
B项，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故，
切线长，B正确；
C项，当时，，，故或，当时，，，，不满足；
当时，，，，不满足；
不成立，C错；
D项，设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，
则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D正确；答案为ABD
【真题4】（2023·全国新Ⅰ卷）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】
，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，，则，
可得，
则，
，即为钝角，
；
【真题5】（2023·天津）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ．
【答案】
【解析】
易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
，解得：，由解得：或，
，解得：．当时，同理可得；故答案为.
【真题6】（2023·全国乙卷）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【解析】
令，则，代入原式化简得，
存在实数，则，即，
化简得，的最大值是；答案为C.
【真题7】（2023·全国新Ⅱ卷）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【解析】
设点到直线的距离为，由弦长公式得，
或，
由，或或．
答案为（中任意一个皆可以）．
【真题8】（2022·北京）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
由题可知圆心为，直线是圆的对称轴，圆心在直线上；
即；答案为A．
【真题9】（2022·天津）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【答案】
【解析】
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
，，解得；答案为.
【真题10】（2022·全国甲卷）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
【解析】
双曲线的渐近线为，即，
取，圆，即，圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离或（舍去）；
故答案为．
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