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第05讲 古典概型与概率的基本性质
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 事件间的关系和运算 (2) 事件间的关系和运算 2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷10分2024年I卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年天津卷5分2022年甲卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是事件间的关系和运算和事件间的关系和运算，主要考查事件间的关系和运算的理解，古典概型的特征及其计算公式，古典概型中简单随机事件的概率计算.
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考试要求
小
)
1、理解事件间的关系和运算；
2、掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率.
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
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知识点1: 古典概型的特征
1、古典概型的特征
（1）有限性：样本空间的样本点只有 ；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性 .
知识点2: 古典概型的概率公式
1、古典概型的概率公式
设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 ，其中和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数；
知识点3: 概率的性质
1、概率的性质
（1）；
（2）；
（3）若事件与事件互斥，则；
（4）若事件与事件互为对立事件，则 ；
（5）设与是一个随机试验中的两个事件，则 ；
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题型展示
小
)
题型一: 古典概型的特征
【例1】（2022·全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为
【变式1】从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
题型二: 古典概型的概率计算
【例2】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型三: 利用古典概型求参数
【例3】袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则 ， .
【变式3】（2024·全国新Ⅱ卷）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
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考场演练
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【真题1】（2024·全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【真题2】（2024·全国新Ⅰ卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
【真题3】（2024·全国甲卷）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
【真题4】（2024·全国新Ⅱ卷）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
【真题5】（2023·天津）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ．
【真题6】（2023·全国乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A． B． C． D．
【真题7】（2023·全国甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【真题8】（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【真题9】（2022·全国新Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
【真题10】（2022·浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ．
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第05讲 古典概型与概率的基本性质
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 事件间的关系和运算 (2) 事件间的关系和运算 2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷10分2024年I卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年天津卷5分2022年甲卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是事件间的关系和运算和事件间的关系和运算，主要考查事件间的关系和运算的理解，古典概型的特征及其计算公式，古典概型中简单随机事件的概率计算.
(
考试要求
小
)
1、理解事件间的关系和运算；
2、掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 古典概型的特征
1、古典概型的特征
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
知识点2: 古典概型的概率公式
1、古典概型的概率公式
设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率，其中和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数；
知识点3: 概率的性质
1、概率的性质
（1）；
（2）；
（3）若事件与事件互斥，则；
（4）若事件与事件互为对立事件，则；
（5）设与是一个随机试验中的两个事件，则；
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题型展示
小
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题型一: 古典概型的特征
【例1】（2022·全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
【答案】.
【解析】
从正方体的4个顶点中任取4个，有个结果，
这4个点在同一个平面的有个，；答案为．
【变式1】从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【答案】/0.3
【解析】
从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，；答案为.
题型二: 古典概型的概率计算
【例2】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，
由古典概型公式，满足题意的概率值为；答案为C.
【变式2】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
将4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，
其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，概率为；答案为C.
题型三: 利用古典概型求参数
【例3】袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则 ， .
【答案】1；.
【解析】
，，
, , 则,
,；答案为1；．
【变式3】（2024·全国新Ⅱ卷）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
【答案】24 ；112.
【解析】
由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，共有种选法；
每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有可能结果为：
，
，
，
，
选中的方格中，的4个数之和最大，为；故答案为24；112.
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考场演练
)
【真题1】（2024·全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种，丁就种，共种；
当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种，丁就种，共种；
甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，共种排法符合题意；
基本事件总数是，根据古典概型的计算公式概率为；答案为B.
【真题2】（2024·全国新Ⅰ卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
【答案】/0.5
【解析】
设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为.
对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，甲在该轮获胜的概率，.
；记.
如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，；
如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，；
的所有可能取值是0，1，2，3，，.
，，两式相减即得，.
甲的总得分不小于2的概率为；故答案为.
【真题3】（2024·全国甲卷）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
【答案】
【解析】
从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：，，故有16种，
当，则，同理有16种，当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，
概率为；答案为.
【真题4】（2024·全国新Ⅱ卷）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
【答案】24 ；112.
【解析】
由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，共有种选法；
每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有可能结果为：
，
，
，
，
选中的方格中，的4个数之和最大，为；故答案为24；112.
【真题5】（2023·天津）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ．
【答案】；/.
【解析】
设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，总数为，
甲盒中黑球个数为，白球个数为；
乙盒中黑球个数为，白球个数为；
丙盒中黑球个数为，白球个数为；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件,；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，黑球共有个，白球有个，
；答案为；．
【真题6】（2023·全国乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：
甲乙 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
共36个不同结果，等可能，其中甲乙抽到相同结果有，共6个，
甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率；答案为A
【真题7】（2023·全国甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，概率为；答案为D.
【真题8】（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
从6张卡片中无放回抽取2张，共有
15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，概率为；答案为C.
【真题9】（2022·全国新Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
；答案为D.
【真题10】（2022·浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ．
【答案】，/.
【解析】
从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，
其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，答案为，.
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