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第03讲 直线、平面平行的判定与性质
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 (2) 直线与平面、平面与平面平行的判定和性质 2024年I卷5分2024年甲卷5分2024年北京卷5分2024年天津卷5分2023年I卷5分2023年甲卷5分2023年北京卷5分2022年天津卷5分2022年甲卷5分2022年II卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以解答题为主，常出现在立体几何大题的第1小问中，考查内容、频率、题型、难度均变化不大； （2）重点是直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系的判定和性质；注意在立体图形中发现平行的隐藏条件，可以用几何法直接证明，也可以用空间向量坐标法进行证明，熟练掌握这两种证明思路.
(
考试要求
小
)
1、理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明；
2、掌握直线与平面、平面与平面平行的判定和性质，并会简单应用.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 线线平行
1、线线平行
（1）中位线平行
（2）平行四边形、矩形、菱形对边平行
（3）平行于同一条直线的两条直线相互平行
（4）线段相似比
知识点2: 线面平行
1、线面平行
（1）判定定理
1）如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行；
2）图形语言：
3）符号语言：
（2）性质定理
1）一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行；
2）图形语言：
3）符号语言：；
知识点3: 面面平行
1、面面平行
（1）判定定理
1）如果一个平面的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；
2）图形语言：
3）符号语言：；
（2）性质定理
1）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行；
2）图形语言：
3）符号语言：；
4、平行垂直常用结论
（1）垂直于同一条直线的两个平面平行：；
（2）平行于同一个平面的两个平面平行：；
（3）垂直于同一个平面的两个直线平行：；
（4）若两个平面平行，则其中一个面上的任一条线与另外一个平面平行：；
(
题型展示
小
)
题型一: 线线平行的判定
【例1】（2023·全国新Ⅰ卷）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
【解析】
（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，
又不在同一条直线上，.
【变式1】如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F.
（Ⅰ）证明：；
【解析】
（Ⅰ）由正方形的性质可知，且，四边形为平行四边形，
，又面，面，面，又面，
而面面，.
题型二: 线面平行的判定与性质
【例2】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，
（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；
【解析】（I）证明：连接，易知，，
，，又平面，平面，平面.
【变式2】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
【解析】（1）D，E分别为BC，AC的中点，
ED∥AB，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，A1B1∥ED.
又ED 平面DEC1，A1B1平面DEC1，A1B1∥平面DEC1.
题型三: 平行关系的综合应用
【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
（Ⅰ）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
【解析】
（Ⅰ）取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点.理由如下：
AD∥BC,BC=AD，所以BC∥AM, 且BC=AM.
四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB，又AB平面PAB,CM平面PAB,
CM∥平面PAB.
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考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅰ卷）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
【解析】
（1）平面，而平面， ，
又，，平面， 平面，
而平面， .
， ， ，
又平面，平面， 平面．
【真题2】（2024·全国甲卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
【解析】
（1）为的中点， ，
四边形为平行四边形， ，又平面，
平面， 平面；
【真题3】（2024·北京）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面．
【解析】
（1）取的中点为，接，则，
而，，四边形为平行四边形，
，而平面，平面，平面.
【真题4】（2024·天津）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．
(1)求证平面；
【解析】
（1）取中点，连接，，由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，、，
四边形是平行四边形，故，又平面，平面，
平面；
【真题5】（2023·全国新Ⅰ卷）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
【解析】
（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
，又不在同一条直线上，.
【真题6】（2023·全国甲卷）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
【解析】
（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
，即，四边形为平行四边形，
，又平面平面，平面.
【真题7】（2023·天津）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，
(1)求证：//平面；
【解析】
（1）
连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，
由棱台性质，//，//，由可知，四边形是平行四边形，//，又平面，平面，//平面.
【真题8】（2022·全国新Ⅱ卷）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
【解析】
（1）证明：连接并延长交于点，连接、，
是三棱锥的高， 平面，平面，
、，又， ，即， ，
又，即， ，，
，即 为的中点，又为的中点， ，
又平面，平面，平面
【真题9】（2022·全国甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
【解析】
（1）如图所示：
分别取的中点，连接，为全等的正三角形，
，，又平面平面，平面平面，平面，平面，同理可得平面，
，而，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面．
【真题10】（2022·天津）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
(1)求证：平面；
【解析】
（1）在直三棱柱中，平面，且，则
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
、、、、、、、、，，平面的一个法向量为，则，故，
平面，故平面.
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第03讲 直线、平面平行的判定与性质
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 (2) 直线与平面、平面与平面平行的判定和性质 2024年I卷5分2024年甲卷5分2024年北京卷5分2024年天津卷5分2023年I卷5分2023年甲卷5分2023年北京卷5分2022年天津卷5分2022年甲卷5分2022年II卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以解答题为主，常出现在立体几何大题的第1小问中，考查内容、频率、题型、难度均变化不大； （2）重点是直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系的判定和性质；注意在立体图形中发现平行的隐藏条件，可以用几何法直接证明，也可以用空间向量坐标法进行证明，熟练掌握这两种证明思路.
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考试要求
小
)
1、理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明；
2、掌握直线与平面、平面与平面平行的判定和性质，并会简单应用.
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1: 线线平行
1、线线平行
（1）中位线平行
（2）平行四边形、矩形、菱形 平行
（3）平行于 的两条直线相互平行
（4）线段相似比
知识点2: 线面平行
1、线面平行
（1）判定定理
1）如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面 ；
2）图形语言：
3）符号语言：
（2）性质定理
1）一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面 ，那么该直线与 平行；
2）图形语言：
3）符号语言：；
知识点3: 面面平行
1、面面平行
（1）判定定理
1）如果一个平面的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行；
2）图形语言：
3）符号语言：；
（2）性质定理
1）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条 平行；
2）图形语言：
3）符号语言：；
4、平行垂直常用结论
（1）垂直于同一条直线的两个平面平行：；
（2）平行于同一个平面的两个平面平行：；
（3）垂直于同一个平面的两个直线平行：；
（4）若两个平面平行，则其中一个面上的任一条线与另外一个平面平行：；
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题型展示
小
)
题型一: 线线平行的判定
【例1】（2023·全国新Ⅰ卷）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
【变式1】如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F.
（Ⅰ）证明：；
题型二: 线面平行的判定与性质
【例2】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，
（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；
【变式2】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
题型三: 平行关系的综合应用
【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
（Ⅰ）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅰ卷）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
【真题2】（2024·全国甲卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
【真题3】（2024·北京）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面．
【真题4】（2024·天津）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．
(1)求证平面；
【真题5】（2023·全国新Ⅰ卷）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
【真题6】（2023·全国甲卷）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
【真题7】（2023·天津）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，
(1)求证：//平面；
【真题8】（2022·全国新Ⅱ卷）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
【真题9】（2022·全国甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
【真题10】（2022·天津）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
(1)求证：平面；
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