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第05讲 数列求和
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 等差、等比数列的前n项和公式 (2) 数列求和的几种常用方法 2024年甲卷15分2024年乙卷15分2024年天津卷15分2023年I卷12分2023年II卷12分2023年甲卷12分2022年I卷12分2022年天津卷15分
（1）本讲为高考命题热点，题型以解答题为主； （2）重点是等差、等比数列的前n项和公式和数列求和的几种常用方法，主要考查公式法求和，分组求和法、倒序相加法、错位相减法和裂项相消法等常用的求和方法，要熟练掌握每种方法的适应类型和解题步骤；注意计算过程不要出错.
(
考试要求
小
)
1、熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；
2、掌握非等差、非等比数列求和的几种常用方法；
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:公式法
适用类型：等差数列-- (一次型)，等比数列--（指数型）；
⑴ 等差数列的求和公式: ；
⑵ 等比数列的求和公式: ；
知识点2:分组求和法
适用类型：等差数列等比数列，通项中含因式，周期数列；
在通项公式为等差数列+等比数列，通项中含因式，周期数列等直接运用公式求和有困难时常用，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再分别运用公式法求和.
知识点3:倒序相加法
适用类型：首末两项的和是一个 ；
在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，即等差数列求和公式
知识点4:错位相减法
适用类型： × ；
若通项是“差比数列”的求和，可以用错位相减法进行求和，设等差数列公差为，等比数列公比为，具体求解步骤为如下：
（1）写出求和表达式
（2）两边同时乘以等比数列的 ，进行错位：
（3）两式相减，得：
（4）进行等比数列求和，在化简计算得出结果；
（5）将代入验证，答案正确。
知识点5:裂项相消法
适用类型：通项为可分为相邻两项差；
如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）；
（5）为等差数列，公差为，则；
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题型展示
小
)
题型一: 公式法和分组求和法
【例1】（2023·全国新Ⅱ卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【变式1】已知是等差数列，是等比数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的通项公式．
题型二: 裂项相消法求和
【例2】（2022·全国新Ⅰ卷）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【变式2】为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.
题型三: 错位相减法求和
【例3】（2024·全国甲卷）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【变式3】设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·天津）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
【真题2】（2024·全国甲卷）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【真题3】（2024·全国乙卷）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【真题4】（2023·全国甲卷）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【真题5】（2023·全国新Ⅱ卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【真题6】（2023·全国新Ⅰ卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【真题7】（2022·全国新Ⅰ卷）（2022·全国新Ⅰ卷）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【真题8】（2022·天津）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【真题9】（2020·天津）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【真题10】（2020·浙江）已知是等差数列，是等比数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的通项公式．
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第05讲 数列求和
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 等差、等比数列的前n项和公式 (2) 数列求和的几种常用方法 2024年甲卷15分2024年乙卷15分2024年天津卷15分2023年I卷12分2023年II卷12分2023年甲卷12分2022年I卷12分2022年天津卷15分
（1）本讲为高考命题热点，题型以解答题为主； （2）重点是等差、等比数列的前n项和公式和数列求和的几种常用方法，主要考查公式法求和，分组求和法、倒序相加法、错位相减法和裂项相消法等常用的求和方法，要熟练掌握每种方法的适应类型和解题步骤；注意计算过程不要出错.
(
考试要求
小
)
1、熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；
2、掌握非等差、非等比数列求和的几种常用方法；
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:公式法
适用类型：等差数列--(一次型)，等比数列--（指数型）；
⑴ 等差数列的求和公式:
⑵ 等比数列的求和公式:
知识点2:分组求和法
适用类型：等差数列等比数列，通项中含因式，周期数列；
在通项公式为等差数列+等比数列，通项中含因式，周期数列等直接运用公式求和有困难时常用，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再分别运用公式法求和.
知识点3:倒序相加法
适用类型：首末两项的和是一个常数；
在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，即等差数列求和公式
知识点4:错位相减法
适用类型：等差数列×等比数列；
若通项是“差比数列”的求和，可以用错位相减法进行求和，设等差数列公差为，等比数列公比为，具体求解步骤为如下：
（1）写出求和表达式
（2）两边同时乘以等比数列的公比，进行错位：
（3）两式相减，得：
（4）进行等比数列求和，在化简计算得出结果；
（5）将代入验证，答案正确。
知识点5:裂项相消法
适用类型：通项为可分为相邻两项差；
如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）为等差数列，公差为，则
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题型展示
小
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题型一: 公式法和分组求和法
【例1】（2023·全国新Ⅱ卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】
（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
当为偶数时，，，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，，
当时，.
【变式1】已知是等差数列，是等比数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）等比数列的公比，，，
设等差数列的公差为，，，，即，
（2）由（1）知，，,，
．
题型二: 裂项相消法求和
【例2】（2022·全国新Ⅰ卷）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,∴当时，，
∴,整理得：,即,
∴，也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
【变式2】为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（I）由，可知，
两式相减得，即
，则是首项为3，公差d＝2的等差数列，
∴的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：
（Ⅱ）∵an＝2n+1，
∴bn（），
∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.
题型三: 错位相减法求和
【例3】（2024·全国甲卷）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，(2)
【解析】
（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
.
（2）,
故，
，.
【变式3】设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【解析】
（1），当时，，即；
当时，，即，
当时，，，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，．
（2），，
，两式相减得，
，
，即，．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·天津）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
【答案】(1)；(2)①证明见详解；②
【解析】
（1）设等比数列的公比为，
，即，可得或（舍去），
.
（2）（i）由（1）可知，且，
当时，则，即
可知，，
可得，
当且仅当时，等号成立，；
（ii）由（1）可知：，若，则；
若，则，当时，，可知为等差数列，
可得，
，
且，符合上式，综上所述：.
【真题2】（2024·全国甲卷）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，(2)
【解析】
（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
.
（2）,
故，
，.
【真题3】（2024·全国乙卷）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)(2)
【解析】
（1）,故，
即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
数列的前n项和
.
【真题4】（2023·全国甲卷）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【解析】
（1），当时，，即；
当时，，即，
当时，，，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，．
（2），，
，两式相减得，
，
，即，．
【真题5】（2023·全国新Ⅱ卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】
（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
当为偶数时，，，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，，
当时，.
【真题6】（2023·全国新Ⅰ卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】
（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3），，
当时，，
故．
【真题7】（2022·全国新Ⅰ卷）（2022·全国新Ⅰ卷）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,∴当时，，
∴,整理得：,即,
∴，也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
【真题8】（2022·天津）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)
【解析】
（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），；
（2）证明：要证，
即证，即证，即证，
，；
（3）
，
，
设，
则，
作差得，
，.
【真题9】（2020·天津）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1，的通项公式为.
由，又q≠0，可得，解得q=2，
的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，，，
，.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，.
.
数列的前2n项和为.
【真题10】（2020·浙江）已知是等差数列，是等比数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）等比数列的公比，，，
设等差数列的公差为，，，，即，
（2）由（1）知，，,，
．
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