资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第05讲 椭圆及其性质
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 椭圆的定义与标准方程 (2) 椭圆的几何性质与应用 2024年Ⅱ卷5分2023年甲卷5分2023年I卷5分2023年乙卷5分2022年I卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2021年I卷5分2021年乙卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是椭圆的定义与标准方程和椭圆的几何性质与应用，主要考查椭圆的定义、几何形状、标准方程的理解，椭圆的对称性、顶点、离心率的求解和应用以及与椭圆的有关的最值问题.
(
考试要求
小
)
1、理解椭圆的定义、几何形状、标准方程；
2、掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；
3、掌握椭圆的简单应用。
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 椭圆定义
1、椭圆定义：
平面内与两个定点的距离之和等于定值（大于）的点的轨迹称为椭圆；
即：．
【在题目中，与焦点有关就用定义！】
知识点2: 椭圆的标准方程与性质
1、椭圆的标准方程与性质
(
题型展示
小
)
题型一: 椭圆的定义与标准方程
【例1】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，设，则，
；
在中，，
在中，，解得；
椭圆方程为；答案为B．
【变式1】已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】
椭圆的长轴长为10，焦距为8，，，可得，，
，可得，短轴长；答案为B.
题型二: 椭圆的离心率
【例2】已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
【答案】，；
【解析】
如图，不妨假设，设切点为，
，，
, 由，，，
，；答案为；．
【变式2】已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则（ ）
A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b
【答案】B
【解析】
椭圆的离心率；答案为B.
题型三: 与椭圆的有关的最值问题
【例3】设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为；答案为：A．
【变式3】）已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】
设，由得
A,B在椭圆上,
，即，与相减得：，
，当且仅当时取等号，
即时，点B横坐标的绝对值最大；故答案为5．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【解析】
设点，则，为的中点， ，即，
又在圆上，，即，
即点的轨迹方程为；答案为A.
【真题2】（2023·全国甲卷）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
，，
；答案为B.
【真题3】（2023·全国乙卷）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设，，
由，
由椭圆方程可知，，
，
即，；答案为B．
【真题4】（2023·全国新Ⅰ卷）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由，得，，，；答案为A.
【真题5】（2022·全国新Ⅰ卷）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
【答案】13
【解析】
∵椭圆的离心率为，∴，∴，
∴椭圆的方程为，
设左焦点为，右焦点为，如图，∵，
∴，∴为正三角形，
∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，
∴直线的斜率为，直线的方程：，
代入椭圆方程，得：，
，
∴，∴ ，，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，
∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
答案为13.
【真题6】（2022·全国甲卷）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，解得，，分别为C的左右顶点，
则，B为上顶点，，， ，
，将代入，解得，椭圆的方程为；答案为B.
【真题7】（2022·全国乙卷）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设，则，则由得：，
由，得，，即，
；答案为A.
【真题8】（2021·全国新Ⅰ卷）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】
由题，，则，
（当且仅当时，等号成立）；答案为C．
【真题9】（2021·全国乙卷）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设，由，，，
，
，当，即 时，，即 ，符合题意，
由可得，即 ；当，即时， ，
即，不成立；答案为C．
【真题10】（2018·全国·高考真题）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
在中，,设，则，
又由椭圆定义可知,则离心率，
答案为D.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第05讲 椭圆及其性质
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 椭圆的定义与标准方程 (2) 椭圆的几何性质与应用 2024年Ⅱ卷5分2023年甲卷5分2023年I卷5分2023年乙卷5分2022年I卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2021年I卷5分2021年乙卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是椭圆的定义与标准方程和椭圆的几何性质与应用，主要考查椭圆的定义、几何形状、标准方程的理解，椭圆的对称性、顶点、离心率的求解和应用以及与椭圆的有关的最值问题.
(
考试要求
小
)
1、理解椭圆的定义、几何形状、标准方程；
2、掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；
3、掌握椭圆的简单应用.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 椭圆定义
1、椭圆定义：
平面内与两个定点的距离 等于 （大于）的点的轨迹称为椭圆；
即：．
【在题目中，与焦点有关就用定义！】
知识点2: 椭圆的标准方程与性质
1、椭圆的标准方程与性质
(
题型展示
小
)
题型一: 椭圆的定义与标准方程
【例1】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
题型二: 椭圆的离心率
【例2】已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
【变式2】已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则（ ）
A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b
题型三: 与椭圆的有关的最值问题
【例3】设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式3】）已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【真题2】（2023·全国甲卷）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【真题3】（2023·全国乙卷）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
【真题4】（2023·全国新Ⅰ卷）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【真题5】（2022·全国新Ⅰ卷）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
【真题6】（2022·全国甲卷）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【真题7】（2022·全国乙卷）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【真题8】（2021·全国新Ⅰ卷）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【真题9】（2021·全国乙卷）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【真题10】（2018·全国·高考真题）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B． C． D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑