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第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 离散型随机变量及其分布列 (2) 离散型随机变量的数字特征 2024年Ⅱ卷15分2023年I卷15分2022年甲卷12分2022年北京卷12分2021年I卷12分2020年甲卷12分2019年天津卷12分2019年甲卷12分
（1）本讲为高考命题热点，题型以解答题为主； （2）重点是离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的数字特征，主要考查分布列的定义和性质，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的数学期望和方差；常与古典概型、二项分布、超几何分布等概率知识结合考查.
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考试要求
小
)
1、理解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念；
2、理解并会求离散型随机变量的数字特征。
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1: 离散型随机变量
1、离散型随机变量
对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有的实数与之对应，称为随机变量；
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量；
知识点2: 离散型随机变量的分布列
1、离散型随机变量的分布列
（1）定义：设离散型随机变量的可能取值为，称取每一个值的概率
为的概率分布列，简称分布列；
（2）性质：1）；2）
知识点3: 离散型随机变量的均值（数学期望）和方差
1、离散型随机变量的均值（数学期望）和方差
若离散型随机变量的分布列为：
（1）均值（数学期望）
称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称期望；它反映了随机变量取值的平均水平；
（2）方差
称为随机变量的方差，并称随机变量的标准差，记为；它们反映了随机变量取值与其均值的偏离程度；
（3）性质
1）；
2）；（为常数）
(
题型展示
小
)
题型一: 分布列的性质
【例1】若随机变量X的分布列为下表所示，则则等于（ ）
X -1 0 1
P
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，答案为C.
【变式1】设随机变量X满足，则 ； .
【答案】
【解析】
，
答案为，.
题型二: 离散型随机变量的分布列
【例2】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，期望为．
【解析】
（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则
（Ⅱ）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3，
又
X的分布列为
X 1 2 3
P
．
【变式2】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和数学期望.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，；
（Ⅱ）的可能取值为200,300,400
，，，
的分布列为
X 200 300 400
P
.
题型三: 离散型随机变量均值（数学期望）和方差的决策问题
【例3】（2024·全国新Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】(1)；(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【解析】
（1）甲、乙所在队比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛；
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，，
，，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
，，，，
应该由甲参加第一阶段比赛.
【变式3】（2021·全国新Ⅰ卷）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【解析】
（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
，，，
的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，，
，，，
．
，小明应选择先回答类问题．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】(1)；(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（ii）由甲参加第一阶段比赛；
【解析】
（1）甲、乙所在队比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛；
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，，
，，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
，，，，
应该由甲参加第一阶段比赛.
【真题2】（2023·全国新Ⅰ卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】
（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，构造等比数列，
设，解得，则，
又，是首项为，公比为的等比数列，
即；
（3），，
当时，，
．
【真题3】（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，.
【解析】
（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，甲学校获得冠军的概率为：
．
（2）依题可知，的可能取值为，
,，
，.
即的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
.
【真题4】（2022·北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4；(2)；(3)丙
【解析】
（1）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，
丙获得优秀的概率为0.5，答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩，比赛一次，丙获得9.85的概率为，
甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为；
并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
【真题5】（2021·全国新Ⅰ卷）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【解析】
（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
，，，
的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，，
，，，
．
，小明应选择先回答类问题．
【真题6】（2020·全国）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
则四局内结束比赛的概率为，
需要进行第五场比赛的概率为；
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，记事件甲赢，记事件丙赢，
甲赢的事件包括：、、、、、、、，
甲赢的概率为，由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
丙赢的概率为.
【真题7】（2019·天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
(Ⅰ)甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
，，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3
.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则，
且，由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，从而由(Ⅰ)知：
.
【真题8】（2019·全国）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
【答案】（1）；（2）0.1
【解析】
(1) 所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”
；
(2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”
【真题9】（2017·山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则
（II）由题意知X可取的值为：.则
X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
=
【真题10】（2016·山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，
【解析】
（Ⅰ）记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”，
由题意，
由事件的独立性与互斥性，
,
“星队”至少猜对3个成语的概率为.
（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
,,
,
, ,，
可得随机变量的分布列为
0 1 2 3 4 6
P
.
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第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征
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考纲导向
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 离散型随机变量及其分布列 (2) 离散型随机变量的数字特征 2024年Ⅱ卷15分2023年I卷15分2022年甲卷12分2022年北京卷12分2021年I卷12分2020年甲卷12分2019年天津卷12分2019年甲卷12分
（1）本讲为高考命题热点，题型以解答题为主； （2）重点是离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的数字特征，主要考查分布列的定义和性质，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的数学期望和方差；常与古典概型、二项分布、超几何分布等概率知识结合考查.
(
考试要求
小
)
1、理解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念；
2、理解并会求离散型随机变量的数字特征.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
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知识点1: 离散型随机变量
1、离散型随机变量
对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有的实数与之对应，称为 ；
可能取值为 或可以 的随机变量称为离散型随机变量；
知识点2: 离散型随机变量的分布列
1、离散型随机变量的分布列
（1）定义：设离散型随机变量的可能取值为，称取每一个值的概率
为的 ，简称分布列；
（2）性质：1）；2）；
知识点3: 离散型随机变量的均值（数学期望）和方差
1、离散型随机变量的均值（数学期望）和方差
若离散型随机变量的分布列为：
（1）均值（数学期望）
称为随机变量的 或 ，数学期望简称期望；它反映了随机变量取值的 ；
（2）方差
称为随机变量的 ，并称随机变量的标准差，记为；它们反映了随机变量取值与其均值的 ；
（3）性质
1） ；
2）；（为常数）
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题型一: 分布列的性质
【例1】若随机变量X的分布列为下表所示，则则等于（ ）
X -1 0 1
P
A. B. C. D.
【变式1】设随机变量X满足，则 ； .
题型二: 离散型随机变量的分布列
【例2】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
【变式2】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和数学期望.
题型三: 离散型随机变量均值（数学期望）和方差的决策问题
【例3】（2024·全国新Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【变式3】（2021·全国新Ⅰ卷）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
(
考场演练
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【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【真题2】（2023·全国新Ⅰ卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【真题3】（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【真题4】（2022·北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【真题5】（2021·全国新Ⅰ卷）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【真题6】（2020·全国）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【真题7】（2019·天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【真题8】（2019·全国）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
【真题9】（2017·山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
【真题10】（2016·山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
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