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2.2二次函数的图象与性质
——九年级数学北师大版（2012）下册课前导学
一、知识详解
二次函数的图象与性质
1.抛物线:二次函数的图象是一条曲线,这条曲线叫做拋物线拋物线是_____________,拋物线与其对称轴的交点叫做抛物线的_______,顶点是抛物线的__________或_________.
2.
_________ _________
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 _________
顶点坐标 _________
增减性 当时,随的増大而_____;当时,随的增大而_____. 当时,随的增大而______;当时,随的増大而_______.
最值 当时,____ 当时,____
3.对于拋物线的符号决定抛物线的开口方向;的大小决定拋物线的开口程度,越大,拋物线开口______,相等说明拋物线的开口____________.
二次函数的图象与性质
4.二次函数与图象间的关系
二次函数与的图象形状相同,只是位置不同.拋物线可由拋物线沿_____轴向________平移______|个单位长度得到.
5.
_______ _______
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 ______
顶点坐标 ______
增减性 当时,随的增大而____;当时,随的增大而____ 当时,随的增大而_____;当时,随的增大而______.
最值 当时,_____. 当时,_____.
二次函数的图象和性质
6.二次函数与图象间的关系
二次函数与的图象形状相同,只是位置不同.拋物线可由拋物线沿____轴向_______平移_____个单位长度得到.
7.
_______ _______
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 ________
顶点坐标 ________
增减性 当时,随的增大而____;当时,随的增大而____. 当时,随的增大而____;当时,随的增大而_____.
最值 当时,______. 当时,_____.
二次函数的图象和性质
8.二次函数与图象间的关系
二次函数的图象是一条拋物线,可由二次函数的图象向______平移个单位长度,再向_________平移______个单位长度得到.
由二次函数的图象得到的图象的具体平移过程如下：
9.
函数
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 _________
顶点坐标 _________
增减性 在对称轴左侧,即当时,随的增大而_______;在对称轴右侧,即当时,随的增大而_______. 在对称轴左侧,即当时,随的増大而______;在对称轴右侧,即当时，随的增大而_____.
最值 当_____时,____. 当_____时,______.
中可以直接看出抛物线的顶点坐标是，所以通常把它称为二次函数的顶点式.
二次函数的图象和性质
10.拋物线的对称轴是直线____________,顶点坐标是______________
11.
函数
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线_________
顶点坐标 ____________
增减性 当时,随的增大而____;当时,随的増大而____. 当时,随的增大而____;当时,随的増大而____.
最值 当时, _________ 当时, _________
二、题目速练
1.下列二次函数的图像中开口向上的是( )
A. B. C. D.
2.已知抛物线的对称轴为直线.则m的值是( )
A. B.1 C.4 D.
3.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
4.若点、都在二次函数的图象上,则a与b的大小关系( )
A. B. C. D.无法确定
5.关于抛物线,下列说法错误的是( )
A.开口向上 B.顶点坐标为
C.函数的最小值是 D.对称轴为直线
6.抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
7.一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
8.已知二次函数
（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大.
9.已知函数图象如图所示,根据图象可得：
(1)抛物线顶点坐标___________.
(2)对称轴为___________.
(3)当___________时,y有最大值是___________.
(4)当___________时,y随着x的增大而增大.
(5)当___________时,.
答案及解析
一、知识详解
1.轴对称图形；顶点；最低点；最高点
2.
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 轴
顶点坐标
增减性 当时,随的増大而减小;当时,随的增大而增大. 当时,随的增大而増大;当时,随的増大而减小.
最值 当时,. 当时,..
3.越小；大小相同
4. ；上（下）；
5.
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 轴
顶点坐标
增减性 当时,随的增大而减小;当时,随的增大 当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小.
最值 当时,. 当时,.
6.；右(左)；
7.
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线
顶点坐标
增减性 当时,随的增大而减小;当时,随的增大而増大. 当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小.
最值 当时,. 当时,..
8.右(左)；；上（下）；
9.
函数
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴左侧,即当时,随的增大而减小;在对称轴右侧,即当时,随的增大而增大. 在对称轴左侧,即当时,随的増大而增大;在对称轴右侧,即当时，随的增大而减小.
最值 当时,. 当时,..
10.；
11.
函数
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线
顶点坐标
增减性 当时,随的增大而减小;当时,随的増大而增大. 当时,随的增大而增大;当时,随的増大而减小.
最值 当时, . 当时,
二、题目速练
1.答案：C
解析：二次函数开口向上，
二次函数解析式中的二次项系数大于0，
四个选项中只有C选项符合题意，
故选：C.
2.答案：A
解析：由题意得：抛物线的对称轴为直线：，
解得：
故选：A.
3.答案：B
解析：∵二次函数解析式为,
∴顶点坐标为；
故选：B.
4.答案：B
解析：根据题意得：当时,,
当时,,
∴.
故选：B.
5.答案：B
解析：∵,
∴,则抛物线的开口向上,对称轴是直线,顶点坐标是,
所以函数有最小值-3.
可知B错误.
故选B.
6.答案：B
解析：抛物线向左平移1个单位可得，
再向下平移3个单位可得，
故选：B.
7.答案：A
解析：根据一次函数图象，得，.所以二次函数的图象开口向下，经过坐标原点，且对称轴在y轴左侧.故选A.
8.答案：（1）抛物线的开口向下，对称轴为：直线，顶点坐标为：
（2）时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大
解析：（1），
，
抛物线的开口向下，
对称轴为：直线，顶点坐标为：；
（2）抛物线的开口向下，
时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大.
9.答案：(1)
(2)直线
(3),2
(4)
(5)
解析：(1)抛物线与x轴交于点,,
顶点横坐标为,
由图可知顶点纵坐标为2,
顶点坐标为；
(2)对称轴为直线；
(3)当时,y有最大值是2；
(4)当时,y随着x得增大而增大；
(5)当时,.2.5二次函数与一元二次方程
——九年级数学北师大版（2012）下册课前导学
一、知识详解
1.画出下列二次函数图象：
（1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－6x＋9；（3）y＝x2－x＋1，
观察图象可知：y＝x2＋x－2与x轴的交点坐标 ，相应方程的根为： ；y＝x2－6x＋9与x轴的交点坐标 ，相应方程的根为： ；y＝x2－x＋1与x轴的交点坐标 ，相应方程的根为：
2.二次函数的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程的根的关系：
抛物线（a≠0） 与x轴的公共点的个数 一元二次方程 （a≠0）的根的情况
＞0 有 个 有两个不相等的实数根
＝0 有 个 有两个相等的实数根
＜0 没有公共点 没有实数根
当时，二次函数 （a≠0）与x轴有两个不同的交点 ，
一元二次方程有两个不同解： ；
当时，二次函数 （a≠0）与x轴有唯一一个交点 ，
一元二次方程有两个相等的解： ；当时，二次函数 （a≠0）与x轴 交点，一元二次方程 实数根．
二、题目速练
1.已知二次函数的图象在x轴的下方,则a,b,c满足的条件是( )
A., B.,
C., D.,
2.根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，可以判断出方程的一个根的取值范围是( )
x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
y -0.68 -0.32 0.08 0.52 1
A. B. C. D.
3.如图,已知抛物线,则关于x的方程的解是______.
4.若抛物线(a为常数)与x轴有且只有一个公共点,则a的值为____________.
5.若函数的图象与x轴只有一个交点，则常数m的值是__________.
6.已知二次函数.
（1）写出该函数图象的对称轴______.
（2）求出该函数图象与x轴的交点坐标.
（3）当时，求y的取值范围.
答案及解析
一、知识详解
1.；；；无交点；无实数根
2.；；；；没有；没有
二、题目速练
1.答案：C
解析：二次函教的图象在x轴的下方,
抛物线开口向下,与x轴无交点,
即,,
故选：C.
2.答案：B
解析：观察表格可知：当时，；当时，，
方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是0.2<<0.3.
故选：B.
3.答案：
解析：由函数图象可知抛物线与x轴交于,,
∴关于x的方程的解是,,
故答案为：,.
4.答案：0
解析：∵抛物线(a为常数)与x轴有且只有一个公共点,
∴,
∴.
故答案为：0.
5.答案：2或-2
解析：①当，即时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个交点；②当，即时，该函数是二次函数，则，解得.综上，m的值是2或-2.
6.答案：（1）直线
（2）该函数图象与x轴的交点坐标，
（3）
解析：（1）二次函数的对称轴为直线；
（2）当时，即
解得，，
该函数图象与x轴的交点坐标，.
（3）顶点坐标为.抛物线开口向下，
当时，y随x增大而增大，
当时，y随x增大而减小，
当时，y有最大值7，
又，
当时取得最小值，最小值，
当时，.2.4二次函数的应用
——九年级数学北师大版（2012）下册课前导学
一、知识详解
1.几何图形最值：
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长a的变化而变化．当a是多少时，场地的面积S最大，最大面积是多少？
解：根据矩形的面积公式可得S与a满足：
整理后得： （0＜a＜30），
当a＝＝ 时，S＝＝ m2
当矩形一边长为15m时，场地的面积取最大值，且最大值为225m2
2.销售利润问题：
某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每周利润最大化，并确定x的取值范围？
【销售最大利润问题】先通过价格与利润关系得到二次函数的关系式，根据函数图象及性质求最大值．
（1）设每件涨价x元，则此时每星期少卖 件，实际卖出 件，此时每件产品的销售价为 元，每周产品的销售额 元，此时每周产品的成本 元，因此周利润合计为：
当产品单价涨价5元，即售价 元，利润最大，最大利润为 元
（2）设每件降价x元，则此时每星期多卖 件，实际卖出 件，此时每件产品的销售价为 元，每周产品的销售额 元，此时每周产品的成本 元，因此周利润合计为：
当产品单价降价2.5元，即售价 元，利润最大，最大利润为 元
当产品单价涨价5元，即售价65元，利润最大，最大利润为6250元．
当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，利润最大，最大利润为6125元．
综上所述，当涨价5元时利润最大，最大利润6250元
3.抛物线形问题：
如图是一座抛物线形拱桥，当拱桥顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m， 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？
建立坐标系，设这条抛物线表示的二次函数为 ，
由抛物线过点 ，得到a＝ ，
所以这条抛物线的解析式为 ，
当水面下降1m时，水面的纵坐标为y＝ ，
将y＝ 代入二次函数得，x＝ ，
∴水面下降1m时，水面的宽度为 m
∴水面的宽度增加了 m
4.解决抛物线型实际问题的一般步骤：
（1）根据题意建立适当的 ；
（2）把已知条件转化为 ；
（3）合理设出函数解析式；
（4）利用 法求出函数解析式；
（5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．
二、题目速练
1.慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加2盒.已知每盒印花糕的成本为2元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为( )
A. B.
C. D.
2.铅球运动是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一.如图，将一位运动员所推铅球的行进路线近似地看成一条抛物线，其中铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为，则该运动员所推铅球的水平距离为( )
A. B. C. D.
3.某商店购进一批成本为5角的面包，如果以单价7角销售，每天可销售160个.在此基础上，这种面包单价每提高1角，每天就会少卖出20个，若设每个面包上涨角，每天销售利润为角，可列函数式为：，在所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是( )
A.表示涨价后面包的单价
B.表示涨价后少卖出面包的数量
C.表示涨价后卖出面包的数量
D.表示涨价后面包的单价
4.某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂3月份的产值y关于x的函数解析式为________________.
5.某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售,每天可销出100件.他想采用提高售价的办法来增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天的销售量就会减少10件.请问每件售价提高多少元时,才能使一天的利润最大？最大利润是多少元？
6.如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园,已知墙长为18米,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.
(1)若苗圃园的面积为72平方米,求x的值.
(2)若平行于墙的一边长不小于8米,当x取何值时,这个苗圃园的面积有最大值,最大值是多少？
答案及解析
一、知识详解
1.；15；225
2.10x ；60＋x；；；；65；6250；20x；60＋x；；；；57.5；6125
3.；；；；－3；－3；；；
4.直角坐标系；点的坐标；待定系数
二、题目速练
1.答案：D
解析：由题意得：，
故选：D.
2.答案：A
解析：当时，
解得或，
该运动员所推铅球的水平距离为，
故选：A.
3.答案：A
解析：A、表示涨价后面包的每个的利润，故原说法错误，符合题意；
B、表示涨价后少卖出面包的数量，故原说法正确，不符合题意；
C、表示涨价后卖出面包的数量，故原说法正确，不符合题意；
D、表示涨价后面包的单价，故原说法正确，不符合题意；
故选：A.
4.答案：
解析：依题意得：
故答案为：.
5.答案：每件售价提高4元时,才能使一天的利润最大,最大利润是360元
解析：设每件售价提高x元,每天的利润为y元,则每件的利润为元,每天的销售量为件,
∴,
解得：.
依题意有：.
∵,
∴当时,y最大,最大值为360,
∴每件售价提高4元时,才能使一天的利润最大,最大利润是360元.
6.答案：(1)12
(2)平方米
解析：(1)由题意可得,
,
即,
解得,,,
当时,,故舍去；
当时,,
由上可得,x的值是12；
(2)设这个苗圃园的面积为S平方米,
由题意可得,
,
∵平行于墙的一边长不小于8米,且不大于18米,
∴,
解得,,
∴当时,S取得最大值,此时,
答：当时,这个苗圃园的面积有最大值,最大值是平方米.2.1二次函数
——九年级数学北师大版（2012）下册课前导学
一、知识详解
1.，对于x的每一个值，y都有唯一的 对应值，即y x的函数．
2.像y＝－5x ＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的 次式表示的．
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的 函数．其中，x是 ，a为 ，叫做 ；b为 ，bx叫做 ；c为 ．
二、题目速练
1.下列函数中，y是x的二次函数的是( )
A. B. C. D.
2.一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是( )
A. B. C. D.
3.已知是关于x的二次函数,那么m的值为( )
A.-2 B.2 C.±2 D.0
4.如图，，点P在线段上（点P不与点A，B重合），以为边作正方形.设，，正方形的面积为S，则y与x，S与x满足的函数关系分别是( )
A.一次函数关系，二次函数关系 B.二次函数关系，二次函数关系
C.一次函数关系，一次函数关系 D.二次函数关系，一次函数关系图
答案及解析
一、知识详解
1.一个；是
2.二；二次；自变量；二次项系数；二次项；一次项系数；一次项；常数项
二、题目速练
1.答案：B
解析：A.函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
B.函数是二次函数，故本选项符合题意；
C.函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D.函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B.
2.答案：B
解析：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是.
故选：B.
3.答案：B
解析：∵是y关于x的二次函数,
∴且,
解得,
故选：B.
4.答案：A
解析：由题意得：、，
y与x，S与x满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系.
故选：A.2.3确定二次函数的表达式
——九年级数学北师大版（2012）下册课前导学
一、知识详解
1.设一般式确定二次函数的解析式
若已知抛物线上任意三个点的坐标，可将该二次函数的解析式设为一般式，然后列出关于的三元一次方程组求解.
2.设顶点式确定二次函数的解析式
若已知拋物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值，可将此二次函数的解析式设为顶点式，再把已知的另外一个点或两点的坐标代入，求出待定系数的值.
3.设交点式确定二次函数的解析式
若已知拋物线与轴的两个交点的坐标(或已知抛物线与轴的一个交点的坐标和对称轴)和另一个点的坐标，通常设抛线的解析式为.是二次函数图象与轴的交点的横坐标)，再将另一个点的坐标代入求解.
二、题目速练
1.若抛物线的顶点在原点，且过点，则抛物线对应的函数表达式是( )
A. B. C. D.
2.若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
3.写出一个开口向上且过点的抛物线的表达式______.
4.请写出一个二次函数的表达式__________________，使它满足以下两个条件：
①图像经过原点；
②函数的最大值为2.
5.已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式.
6.如图，已知二次函数的图象经过点、.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）结合图象，解答问题：当时，x的取值范围是______.
答案及解析
二、题目速练
1.答案：C
解析：设该抛物线对应的函数表达式是，因为抛物线过点，所以，所以，所以.
2.答案：B
解析：抛物线顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），
设抛物线的函数关系式是，
把B点的坐标代入得：，
解得：，
即抛物线的函数关系式是，即.
故选：B.
3.答案：(答案不唯一)
解析：设该抛物线的表达式为
当时,,所以抛物线过
该抛物线开口向上,且过
,
可得(答案不唯一).
4.答案：（答案不唯一）
解析：由题意，设函数为
图像过原点，
.
又函数有最大值2，
若取，则b可取4.
综上，函数的表达式可以是
故答案为：（答案不唯一）.
5.答案：
解析：抛物线经过点，，，
设抛物线的表达式为，
将点代入得：，解得：，
.
该抛物线的函数关系式为.
6.答案：（1）
（2）
解析：（1）将，代入中得：
，解得：，
该二次函数的表达式为.
（2）如图：抛物线开口向上，
当时，；
当时，；
观察图象得，当时，.

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