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第二节　常用逻辑用语
课标要求
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．
2．理解判定定理与充分条件，性质定理与必要条件，数学定义与充要条件的关系．
3．理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
问题思考·夯实技能
【问题1】　充分条件与必要条件的两个特征是什么？
【问题2】　如何判断全称量词命题与存在量词命题的真假？
关键能力·题型剖析
题型一 充分条件、必要条件的判断
例 1 (1)[2023·全国甲卷] “sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cos β＝0”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
(2)[2024·重庆万州模拟]下列四个条件中，是“xA．x2C．xz2 024充分、必要条件的两种常用判断方法
巩固训练1
(1)[2024·安徽蚌埠模拟]若a，b∈R且ab≠0，则“<1”是“aA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)a<0，b<0的一个必要条件是(　　)
A．a＋b<0
B．ab>2
C．a－b>0
D．a2－b2<0
题型二 充分条件、必要条件的应用
例2 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
【变式练习】　本例中，若把“x∈P是x∈S的必要条件”改为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”，求m的取值范围．
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
巩固训练2
已知p：关于x的方程x2－2ax＋a2＋a－2＝0有实数根，q：m－1≤a≤m＋3.
若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
题型三 全称量词与存在量词
角度一　含有量词命题的否定
例 3 (1)[2024·河北石家庄模拟]已知命题p： x∈R，tan x<π或ex＋2≥π，则命题p的否定为(　　)
A． x∈R，tan x≥π或ex＋2<π
B． x∈R，tan x<π且ex＋2≥π
C． x∈R，tan x<π且ex＋2≥π
D． x∈R，tan x≥π且ex＋2<π
(2)已知命题p： x≥0，ex≥x2＋1，则命题p的否定为(　　)
A． x≥0，exB． x<0，exC． x≥0，exD． x<0，ex对一个全称量词命题或存在量词命题进行否定时，要把命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定，即“改变量词，否定结论”．
巩固训练3
(1)[2024·广东深圳模拟]命题“ a∈N*，2a≥a2”的否定是(　　)
A． a∈N*，2a≥a2
B． a∈N*，2aC． a∈N*，2aD． a∈N*，2a>a2
(2)命题：－x0－1≤0的否定是(　　)
－x0－1>0
B． x≤0，x2－x－1>0
－x0－1<0
D． x>0，x2－x－1>0
角度二　含有量词命题的应用
例 4 [2024·河北衡水二中模拟]设命题p： x∈(，2)，x＋>a，若 p是假命题，则实数a的取值范围是________．
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．
巩固训练4
[2024·山东济南历城二中模拟]已知命题“p： x∈R，ax2－ax≥1”，若 p是真命题，则实数a的取值范围是________．
随堂检测
1.[2024·海南海口模拟]命题“ x∈(－1，3)，x2－1≤2x”的否定是(　　)
A． x∈(－1，3)，x2－1≤2x
B． x∈(－1，3)，x2－1>2x
C． x∈(－1，3)，x2－1>2x
D． x (－1，3)，x2－1>2x
2．[2024·河北石家庄模拟]“a＋1>b－2”是“a>b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．[2024·安徽芜湖模拟]“lg a>lg b”是“a2>b2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．使≥1成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．1C．x<2 D．05．[2024·河南焦作模拟]若命题：“ x0∈R，使－mx0＋1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为________．
课后定时检测案2　常用逻辑用语
一、单项选择题
1．命题“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是(　　)
A．所有不能被4整除的整数都是偶数
B．所有能被4整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被4整除的整数是偶数
D．存在一个能被4整除的整数不是偶数
2．命题“存在两个不同的无理数a，b，使得a＋b是无理数”的否定为(　　)
A．存在两个相同的无理数a，b，使得a＋b是有理数
B．存在两个相同的有理数a，b，使得a＋b是有理数
C．任意两个不同的无理数a，b，都有a＋b是无理数
D．任意两个不同的无理数a，b，都有a＋b是有理数
3．[2024·湖北武汉模拟]已知p：ab≤1，q：a＋b≤2，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知命题p的否定为“ x∈R，x2＋1≤1”，则下列说法中正确的是(　　)
A．命题p为“ x∈R，x2＋1>1”且为真命题
B．命题p为“ x R，x2＋1>1”且为假命题
C．命题p为“ x∈R，x2＋1>1”且为假命题
D．命题p为“ x∈R，x2＋1≥1”且为真命题
5．[2024·重庆模拟]若p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则r是p的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．[2024·安徽安庆模拟]命题p： x∈R，>0，则 p为(　　)
A． x∈R，≤0 B． x∈R，≤0
C． x∈R，>0 D． x∈R，x≤0
7．[2024·江苏苏州模拟]“a＋b>4”是“a>2且b>2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．“≤”成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．x≤y B．0≤x≤y
C．1≤x≤y D．x≤y≤1
9．(素养提升)[2024·河北邯郸模拟]在等差数列{an}中，“a2＋a5＝a3＋am”是“m＝4”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．(素养提升)[2024·广东深圳模拟]“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题
11．已知条件p：x2＋x－6＝0；条件q：ax＋1＝0(a≠0).若p是q的必要条件，则实数a的值可以是(　　)
A．　　　B． C．－　　　D．－
12．(素养提升)[2024·广东广州模拟]下列选项正确的有(　　)
A．命题“ x>1，x2＋2x－3<0”的否定是：“ x>1，x2＋2x－3≥0”
B．命题“ x>1，x2＋2x－3<0”的否定是：“ x≤1，x2＋2x－3≥0”
C．α＝＋2kπ(k∈Z)是sin α＝的充分不必要条件
D．sin α＝是α＝＋2kπ(k∈Z)的必要不充分条件
三、填空题
13．[2024·江苏天一中学模拟]设A，B，C，D是四个命题，A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，那么D是C的______条件．(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四选一)
14．若“－1≤x<3”是“x四、解答题
15．已知“ x∈R，ax2＋1<0”为假命题，求实数a的取值范围．
?优生选做题?
16．[2024·安徽滁州模拟]函数f(x)＝xa－2与g(x)＝()－x在(0，＋∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是(　　)
A．a∈(0，2) B．a∈[0，1)
C．a∈[1，2) D．a∈(1，2]
17．不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合B＝{x|x2－mx－3<0}．
(1)求集合A；
(2)若________，求实数m的取值范围．
在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件这两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并给出解答．
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种解答情况给分．
第二节　常用逻辑用语
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p q” “q p”．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p q且q r” “p r”(“p q且q r” “p r”)．
【问题2】　提示：(1)全称量词命题的真假判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x∈M，使得p(x)不成立即可．
(2)存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x，使得p(x)成立即可；否则这一命题就是假命题．
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0但sinα＋cos β≠0，
即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cos β＝0；
当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，
即sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.
综上可知，sin2α＋sin2β＝1是sinα＋cos β＝0成立的必要不充分条件．
(2)若x2y，此时x0，此时x答案：(1)B　(2)C
巩固训练1　解析：(1)若a＝1，b＝－1，满足<1，此时a>b，排除充分性，若a＝－2，b＝－1，满足a1，排除必要性．故选D.
(2)因为a<0，b<0，所以a＋b<0，所以a＋b<0是a<0，b<0的一个必要条件，
若a＝－1，b＝－1，不能得到ab>2，a－b>0，a2－b2<0.
答案：(1)D　(2)A
例2　解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10.
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S P.
又∵S≠ ，如图所示，
则∴0≤m≤3.
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3].
答案：[0，3]
变式练习　解析：∵x∈P是x∈S的充分不必要条件，
∴P?S，
则或
解得m≥9，
故m的取值范围是[9，＋∞)．
巩固训练2　解析：由题意Δ＝4a2－4(a2＋a－2)＝－4a＋8≥0，解得a≤2.
所以{a|m－1≤a≤m＋3}?{a|a≤2}，则m＋3≤2，解得m≤－1，所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．
例3　解析：(1)根据全称量词命题与存在量词命题的关系，因为命题p： x∈R，tan x<π或ex＋2≥π是存在量词命题，所以命题p的否定为 x∈R，tan x≥π且ex＋2<π.
(2)已知命题p： x≥0，ex≥x2＋1，则命题p的否定为： x≥0，ex答案：(1)D　(2)C
巩固训练3　解析：(1)“ a∈N*，2a≥a2”是全称量词命题，它的否定是存在量词命题“ a∈N*，2a(2)由题意可得命题“－x0－1≤0”的否定是“ x>0，x2－x－1>0”．
答案：(1)B　(2)D
例4　解析： p是假命题，故p是真命题；
又当x∈(，2)时，y＝x＋单调递增，其值域为(2，3)，
若满足题意，则2≥a，即a的取值范围为(－∞，2].
答案：(－∞，2]
巩固训练4　解析：命题“ p： x∈R，ax2－ax<1”为真命题，则ax2－ax－1<0恒成立．
当a＝0时，－1<0恒成立，
，解得－4综上－4答案：(－4，0]
随堂检测
1．解析：∵命题“ x∈(－1，3)，x2－1≤2x”是存在量词命题，∴它的否定是“ x∈(－1，3)，x2－1>2x”．
答案：C
2．解析：a＋1>b－2 a>b－3，
所以，
所以“a＋1>b－2”是“a>b”的必要不充分条件．
答案：B
3．解析：lg a>lg b a>b>0 a2>b2，由a2>b2 |a|>|b|，不能得到a>b>0，也得不到lg a>lg b，
所以lg a>lg b是a2>b2的充分不必要条件．
答案：A
4．解析：由≥1得0答案：B
5．解析：由题意可知命题“ x∈R，mx2－mx＋1>0”是真命题，
①当m＝0时，结论显然成立；
②当m≠0时，则，解得0答案：[0，4)
课后定时检测案2　常用逻辑用语
1．解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，且只否定结论，所以“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被4整除的整数不是偶数”．故选D.
答案：D
2．解析：“存在两个不同的无理数a，b，使得a＋b是无理数”的否定为“任意两个不同的无理数a，b，都有a＋b是有理数”．故选D.
答案：D
3．解析：当a＝－1，b＝4时，p不能推出q；
当a＝－2，b＝－2时，q不能推出p，
所以p是q的既不充分也不必要条件．故选D.
答案：D
4．解析：∵命题p的否定为存在量词命题，
∴p： x∈R，x2＋1>1，排除AD；
∵当x＝0时，x2＋1＝1，
∴p为假命题，排除B.故选C.
答案：C
5．解析：p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则有q p，p q，q r，则r q p，又由p q，可得p r，则r是p的充分不必要条件．故选A.
答案：A
6．解析：由题意，命题p：“ x∈R，>0”可化为命题p：“ x∈R，x>0”．根据全称量词命题与存在量词命题的关系得，命题p：“ x∈R，x>0”的否定 p：“ x∈R，x≤0”．故选D.
答案：D
7．解析：当a＝1，b＝4，此时满足a＋b>4，但a>2且b>2不成立，所以充分性不成立；
反之：若a>2且b>2，可得a＋b>4成立，所以必要性成立，
所以“a＋b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
8．解析：因为≤ 0≤x≤y，
0≤x≤y能推出x≤y，但x≤y不能推出0≤x≤y，所以x≤y是≤成立的必要不充分条件，故A不正确；
0≤x≤y能推出≤，≤也能推出0≤x≤y，所以0≤x≤y是≤成立的充要条件，故B不正确；
0≤x≤y不能推出1≤x≤y，但1≤x≤y能推出0≤x≤y，所以1≤x≤y是≤成立的充分不必要条件，故C正确；
0≤x≤y不能推出x≤y≤1，x≤y≤1也不能推出0≤x≤y，故x≤y≤1是≤成立的既不充分也不必要条件，故D不正确．故选C.
答案：C
9．解析：当{an}的公差d＝0时，由a2＋a5＝a3＋am，得m是任意的正整数，
由m＝4，得a2＋a5＝a3＋am，
则“a2＋a5＝a3＋am”是“m＝4”的必要不充分条件．故选A.
答案：A
10．解析：当两圆无公切线时，两圆内含，
圆C1的圆心为(0，0)，半径r1＝1，圆C2的圆心为(－a，2a)，半径为r2＝6，
所以两圆的圆心距为d＝|C1C2|＝＝，
即<|6－1|，解得－所以当两圆有公切线时a≥或a≤－，
所以a≥能推出圆C1和C2有公切线，而圆C1和C2有公切线不能推出a≥，
所以“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切线”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
11．解析：由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3，
由ax＋1＝0(a≠0)，得x＝－.
因为p是q的必要条件，可知－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.故选BC.
答案：BC
12．解析：对于AB选项，由全称量词命题的否定可知，
命题“ x>1，x2＋2x－3<0”的否定是：“ x>1，x2＋2x－3≥0”，A对B错；
对于CD选项，由sin α＝可得α＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)，因为{α|α＝＋2kπ，k∈Z}?{α|α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z}，所以α＝＋2kπ(k∈Z)是sin α＝的充分不必要条件，sin α＝是α＝＋2kπ(k∈Z)的必要不充分条件，C对D对．故选ACD.
答案：ACD
13．解析：因为A是B的必要不充分条件，所以B A，但A B，
A是C的充分不必要条件，所以A C，但C A，
D是B的充分必要条件，所以D B，但B D，
所以D B A C，但C D，
故D是C的充分不必要条件．
答案：充分不必要
14．解析：因为“－1≤x<3”是“x所以{x|－1≤x<3}是{x|x答案：[3，＋∞)
15．解析：因命题“ x∈R，ax2＋1<0”为假命题，则命题“ x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，
当a＝0时，1≥0恒成立，则a＝0；
当a≠0时，必有，解得a>0，
综上，实数a的取值范围是[0，＋∞).
16．解析：函数f(x)＝xa－2在(0，＋∞)上单调递减可得a－2<0即a<2；
函数g(x)＝()－x＝()x在(0，＋∞)上单调递减可得0<<1，解得0若函数f(x)＝xa－2与g(x)＝()－x均单调递减，可得0由题可得所求区间真包含于(0，2)，
结合选项，函数f(x)＝xa－2与g(x)＝()－x均单调递减的一个充分不必要条件是a∈[1，2)，C正确．故选C.
答案：C
17．解析：(1)当k＝0时，－<0显然恒成立，当k≠0时不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则解得－3(2)选①②都有A B又B＝{x|x2－mx－3<0}，即x2－mx－3<0在(－3，0]上恒成立，
令f(x)＝x2－mx－3，则解得m≤－2，所以m的取值范围为(－∞，－2].

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