资源简介

第一节　集合
课标要求
1.理解元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合．
2．理解集合间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．
3．理解集合间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集．
4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．
问题思考·夯实技能
【问题1】　若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集？
【问题2】　从A＝A可以得到集合A，B有什么关系？从A＝A可以得到集合A，B有什么关系？
`
关键能力·题型剖析
题型一 集合的含义与表示
例 1 (1)[2024·河北衡水模拟]已知集合A＝{(x，y)|xy＝1}，B＝{(x，y)|x∈Z，y∈Z}，则A有(　　)个真子集．
A．3　　　B．16　　　C．15　　　D．4
(2)已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2 023＋b2 024＝(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
与集合中元素有关问题的求解策略
巩固训练1
(1)已知集合A＝{1，a2＋4a，a－2}，－3∈A，则a＝(　　)
A．－1 B．－3
C．－3或－1 D．3
(2)已知集合A＝{0，2}，B＝{1，2，3}，C＝{ab|a∈A，b∈B}，则集合C中元素的个数为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
题型二 集合间的基本关系
例 2 (1)设M＝，N＝{x，k∈Z}，则(　　)
A．M?N　　　　　B．N?M
C．M＝N D．M＝
(2)已知全集为R，集合A＝{x|0<2x＋a≤3}，B＝，若A＝A，求实数a的取值范围．
【变式练习】　若把例2(2)中的“A＝A”改为“B A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
判断集合间关系的常用方法
巩固训练2
(1)若集合A满足{1，2} A?{1，2，3，4，5}，则集合A所有可能的情形有(　　)
A．3种 　B．5种 C．7种 　D．9种
(2)[2023·新课标Ⅱ卷]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
A．2　 　 B．1 C．　 　 D．－1
题型三 集合的基本运算
角度一　集合的交、并、补运算
例 3 (1)[2023·新课标Ⅰ卷]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．{2}
(2)[2024·石家庄模拟]已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x||x－2|<1}，则A＝(　　)
A．(－3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，3) D．[－3，3)
集合基本运算的求解策略
巩固训练3
(1)[2024·安徽合肥模拟]若集合M＝{x|x2＋3x－4≤0}，N＝{x|x>－3}，则M＝(　　)
A．(－3，1] B．(－3，4]
C．[－4，＋∞) D．[－1，＋∞)
(2)[2024·河北张家口模拟]已知R为实数集，全集U＝R，集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x|x≥1}，则 U(A＝(　　)
A．{x|－1≤x<2} B．{x|x≤1或x>3}
C．{x|1≤x<3} D．{x|x<1或x≥3}
角度二　利用集合的运算求参数
例 4 已知集合A＝{x∈N|3x2－13x＋4<0}，B＝{x|ax－1≥0}．
若A∩( RB)≠ ，求实数a的取值范围．
利用集合的运算求参数的方法
巩固训练4　[2024·九省联考]已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A＝A，则m的最小值为________．
随堂检测
1.[2023·全国乙卷]设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝(　　)
A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8}
C．{1，2，4，6，8} D．U
2．[2023·全国甲卷]设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集， U(A＝(　　)
A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．
3．[2022·新高考Ⅰ卷]若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M＝(　　)
A．{x|0≤x<2} B．
C．{x|3≤x<16} D．
4．[2022·新高考Ⅱ卷]已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A＝(　　)
A．{－1，2} B．{1，2}
C．{1，4} D．{－1，4}
5．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A B成立的所有a组成的集合为(　　)
A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}
C．{a|a≤7} D．{a|a<6}
课后定时检测案1　集合
一、单项选择题
1．[2024·河南开封模拟]已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，则集合B的真子集个数是(　　)
A．3 B．4
C．7 D．8
2．[2024·河北保定模拟]已知集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{－1，0，1，2，3}，则A∩B＝(　　)
A．{－1，0，1，2} B．{2，3}
C．{0，1，2} D．{1，2，3}
3．[2024·河南新乡模拟]已知集合A＝{4，x，2y}，B＝{－2，x2，1－y}，若A＝B，则实数x的取值集合为(　　)
A．{－1，0，2} B．{－2，2}
C．{－1，0，2} D．{－2，1，2}
4．[2023·安徽合肥模拟]设集合M＝{x|x＝＋，n∈Z}，N＝{x|x＝，n∈Z}，则 NM＝(　　)
A． B．{x|x＝，n∈Z}
C．{x|x＝，n∈Z} D．{x|x＝2n，n∈Z}
5．[2024·福建宁德模拟]已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x－1∈A}，则B＝(　　)
A．{－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2，－1，0} D．{－2，－1，0，1，2}
6．[2024·江西萍乡模拟]已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2或x≤－3}，B＝{x|0≤x≤4}，则Venn图中阴影部分表示的集合为(　　)
A.[0，2) B．[0，3)
C．(2，4] D．(3，4]
7．[2024·重庆模拟]已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∩B＝{1，m}，则m＝(　　)
A．0或 B．0或3
C．1或3 D．1或3或0
8．已知集合A＝{x∈Z|x2＋x－2<0}，B＝{－1，2}，那么A∪B＝(　　)
A．{－1，0，1，2} B．{－1，0，2}
C．{－1，2} D．{－1}
9．(素养提升)已知集合A＝{x|x＝＋，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}，C＝{x|x＝c＋，c∈Z}，则A，B，C之间的关系正确的是(　　)
A．A＝B C B．A＝B C
C．A＝B＝C D．A B＝C
10．(素养提升)[2024·山东青岛模拟]已知全集U＝R，集合A，B满足A (A∩B)，则下列关系一定正确的是(　　)
A．A＝B B．B A
C．A∩( UB)＝ D．( UA)∩B＝
二、多项选择题
11．已知集合M＝{x|6x2－5x＋1＝0}，集合P＝{x|ax＝1}，若M∩P＝P，则实数a的取值可能为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
12．(素养提升)若非空集合M，N，P满足：M∩N＝N，M∪P＝P，则(　　)
A．P M B．M∩P＝M
C．N∪P＝P D．M∩( PN)＝
三、填空题
13．[2024·天津武清模拟]已知全集U＝{1，2，3，5，7，8}，集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，5}，则A∩( UB)＝________．
14．(素养提升)[2024·福建厦门模拟]设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝}，若ACB，写出一个符合条件的集合C＝__________．
四、解答题
15．已知集合A＝{x|3如果A∩B≠ ，求a的取值范围．
?优生选做题?
16．设A1，A2，A3，…，A7是均含有2个元素的集合，且A1∩A7＝ ，Ai∩Ai＋1＝ (i＝1，2，3，…，6)，记B＝A1∪A2∪A3∪…∪A7，则B中元素个数的最小值是(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
17．已知集合A＝{x|x2－9>0}，B＝{x∈Z|x2－8x＋a<0}，若集合A∩B一共有4个子集．
(1)求A∩B.(直接写答案)
(2)求实数a的取值范围．
状元笔记 集合的新定义问题
【典例1】　对于数集A，B，定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝{x|x＝，a∈A，b∈B}，若集合A＝{1，2}，则集合(A＋A)÷A中所有元素之和为(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　根据新定义，数集A，B，定义A＋B＝，A÷B＝{x|x＝，a∈A，b∈B}，集合A＝{1，2}，(A＋A)＝{2，3，4}，(A＋A)÷A＝{1，2，3，4，1.5}，则可知所有元素的和为11.5.
[答案]　D
【典例2】　(多选)若对任意x∈A，∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是(　　)
A．{－1，1} B．
C． D．{x|x>0}
[解析]　根据“影子关系”集合的定义，
可知{－1，1}，，{x|x>0}为“影子关系”集合，
由{x|x2>1}，得{x|x<－1或x>1}，当x＝2时， {x|x2>1}，故不是“影子关系”集合．
[答案]　ABD
【典例3】　设Sn＝{a|a＝(a1，a2，…，an)，ai∈{0，1}，i＝1，2，…，n}(n∈N*，n≥2)，a＝(a1，a2，…，an)∈Sn，定义a的差分运算为D(a)＝(|a2－a1|，|a3－a2|，…，|an－an－1|)∈Sn－1.用Dm(a)表示对a进行m(m∈N*，m≤n)次差分运算，显然，Dm(a)是一个(n－m)维数组．称满足Dm(a)＝(0，0，…，0)的最小正整数m的值为a的深度．若这样的正整数m不存在，则称a的深度为n.
(1)已知a＝(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，则a的深度为__________．
(2)Sn中深度为d(d∈N*，d≤n)的数组个数为__________．
[解析]　(1)因为a＝(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，
则D(a)＝(1，0，0，1，1，0，0)，D2(a)＝(1，0，1，0，1，0)，D3(a)＝(1，1，1，1，1)，D4(a)＝(0，0，0，0)．
(2)易知Sm中仅有一组(0，0，0，…，0)，
Sm＋1中深度d＝1的数组仅1组(1，1，1，…，1)，
Sm＋2中深度d＝2的数组仅2组，
Sm＋3中深度d＝3的数组仅4组，
…，
Sm＋k中深度d＝k的数组仅2k－1组，
…，
所以Sn中深度为d的数组仅有2d－1组．
[答案]　(1)4　(2)2d－1
解决集合的新定义问题的关键
(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在．
(2)用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
第一节　集合
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：一个集合A有n个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
【问题2】　提示：A＝A A B，A＝A B A.
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)A＝{(x，y)|xy＝1}，B＝{(x，y)|x∈Z，y∈Z}，则A＝{(1，1)，(－1，－1)}，真子集个数为22－1＝3.
(2)由题意A＝B可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合元素的互异性，可知a≠1，解得a＝1(舍)，和(舍)，所以a＝－1，b＝0，则a2 023＋b2 024＝(－1)2 023＋02 024＝－1.
答案：(1)A　(2)A
巩固训练1　解析：(1)∵－3∈A，∴－3＝a2＋4a或－3＝a－2，
若－3＝a2＋4a，解得a＝－1或a＝－3，
当a＝－1时，a2＋4a＝a－2＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当a＝－3时，集合A＝{1，－3，－5}，满足题意，故a＝－3成立，
若－3＝a－2，解得a＝－1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去，
综上所述，a＝－3.
(2)因为A＝{0，2}，a∈A，b∈B，所以ab＝0或ab＝2或ab＝4或ab＝6，
故C＝{ab|a∈A，b∈B}＝{0，2，4，6}，即集合C中含有4个元素．
答案：(1)B　(2)C
例2　解析：(1)因为x＝k＋＝(2k＋1)，k∈Z，
所以集合N是由所有奇数的一半组成，
而集合M是由所有整数的一半组成，故N?M.
(2)若A＝A，则A B，
∵A＝{x|0<2x＋a≤3}＝，B＝，
∴，解得－1∴实数a的取值范围是(－1，1].
答案：(1)B　(2)见解析
变式练习　解析：∵B A，
∴，解得a≤－1或a≥1.
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]
巩固训练2　解析：(1)由{1，2} A?{1，2，3，4，5}，可知集合A必有元素1，2，即至少有两个元素，至多有四个元素，
依次有以下可能：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}七种可能．
(2)依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A B.所以a＝1，故选B.
答案：(1)C　(2)B
例3　解析：(1)方法一　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M＝{－2}，故选C.
方法二　由于1 N，所以1 M排除A，B；由于2 N，所以2 M排除D.故选C.
(2)因为A＝{x|y＝}＝{x|x＋3≥0}＝{x|x≥－3}，
B＝{x||x－2|<1}＝{x|－1因此，A＝[－3，＋∞)．
答案：(1)C　(2)B
巩固训练3　解析：(1)M＝{x|－4≤x≤1}，N＝{x|x>－3}，＝{x|x≥－4}．
(2)A＝{x|－1 U(A＝{x|x<1或x≥3}．
答案：(1)C　(2)D
例4　解析：由题意得，A＝＝{1，2，3}．
当a＝0时，B＝ ， RB＝R，∴A∩( RB)＝A≠ ，满足题意；
当a>0时，B＝， RB＝，
要使A∩( RB)≠ ，则>1，解得0当a<0时，B＝， RB＝.
此时A∩( RB)＝A≠ ，满足题意，
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，1)．
巩固训练4　解析：由A＝A，故A B，
由≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，
故有，解得，即m≥5，
即m的最小值为5.
答案：5
随堂检测
1．解析：由题意知， UN＝{2，4，8}，所以M∪ UN＝{0，2，4，6，8}．故选A.
答案：A
2．解析：因为整数集，k∈Z}＝3k＋1，k∈Z}＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以 U(A＝{x|x＝3k，k∈Z}．
答案：A
3．解析：由＜4，得0≤x＜16，即M＝{x|0≤x＜16}．易得N＝，所以M＝.故选D.
答案：D
4．解析：通过解不等式可得集合B＝{x|0≤x≤2}，则A＝{1，2}．故选B.
答案：B
5．解析：当A＝ 时，即2a＋1>3a－5，a<6时成立；
当A≠ 时，满足，解得6≤a≤7；
综上所述：a≤7.
答案：C
课后定时检测案1　集合
1．解析：由题意得B＝{－1，0，1}，所以集合B的真子集个数为23－1＝7.故选C.
答案：C
2．解析：因为A＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，所以A∩B＝{1，2，3}．故选D.
答案：D
3．解析：因为A＝B，所以－2∈A.
当x＝－2时，2y＝1－y，得y＝；
当2y＝－2时，则x＝2.
故实数x的取值集合为{－2，2}．故选B.
答案：B
4．解析：由题意可知，x＝＋＝＝(2n＋1)×，n∈Z，可知集合M表示的是的奇数倍，
而由x＝，n∈Z可知，集合N表示的是的整数倍，
即N＝M∪{x|x＝，n∈Z}， NM＝{x|x＝＝，n∈Z}．故选B.
答案：B
5．解析：因为A＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，
B＝{x|x∈Z且x－1∈A}，
所以B＝{0，1，2}．故选B.
答案：B
6．解析：集合A＝{x|x≥2或x≤－3}，故 UA＝{x|－3由Venn图可知阴影部分表示的集合为( UA)∩B＝{x|0≤x<2}＝[0，2).故选A.
答案：A
7．解析：∵集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，且A∩B＝{1，m}，
∴B A，
∴m＝3或m＝，
解得m＝3或m＝0或m＝1，
由元素的互异性得m＝1不合题意，舍去，
则m＝3或0.故选B.
答案：B
8．解析：x2＋x－2<0，即(x－1)(x＋2)<0，得－2所以A＝{－1，0}，B＝{－1，2}，
所以A∪B＝{－1，0，2}．故选B.
答案：B
9．解析：由题意知A＝{x|x＝＋，a∈Z}＝{x|x＝，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}＝{x|x＝，b∈Z}，C＝{x|x＝c＋，c∈Z}＝{x|x＝，c∈Z}，
由此可知集合A，B表示被3除余1的数再除以6的数的集合，集合C表示被6除余1的数再除以6的数的集合，故A＝B C.故选A.
答案：A
10．解析：因为集合A，B满足A (A∩B)，故可得A B，
对A：当A为B的真子集时，不成立；
对B：当A为B的真子集时，也不成立；
对C：A∩( UB)＝ ，恒成立；
对D：当A为B的真子集时，不成立．故选C.
答案：C
11．解析：由6x2－5x＋1＝0得(2x－1)(3x－1)＝0，解得x＝或x＝，故M＝{，}，
因为M∩P＝P，所以P M，
当P＝ 时，得a＝0，满足题意；
当P≠ 时，得a≠0，则P＝{x|ax＝1}＝{x|x＝}，
所以＝或＝，得a＝2或a＝3；
综上a＝0或a＝2或a＝3.故选ACD.
答案：ACD
12．解析：由M∩N＝N可得N M，由M∪P＝P，可得M P，则推不出P M，故选项A错误；由M P可得M∩P＝M，故选项B正确；因为N M且M P，所以N P，则N∪P＝P，故选项C正确；由N M可得：M∩( PN)不一定为空集，故选项D错误．故选BC.
答案：BC
13．解析：因为全集U＝{1，2，3，5，7，8}，集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，5}，所以 UB＝{1，2，7，8}，所以A∩( UB)＝{1，2}．
答案：{1，2}
14．解析：A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，故若A?C?B，则可有C＝[1，4].
答案：[1，4](答案不唯一)
15．解析：因为集合A＝{x|3所以a>3，
即a的取值范围为(3，＋∞).
16．解析：设x1，x2，…，xn(n≥4)是集合B互不相同的元素，若n＝3，则A1∩A2≠ ，不合乎题意．
①假设集合B中含有4个元素，可设A1＝{x1，x2}，则A2＝A4＝A6＝{x3，x4}，A3＝A5＝A7＝{x1，x2}，这与A1∩A7＝ 矛盾；
②假设集合B中含有5个元素，可设A1＝A6＝{x1，x2}，A2＝A7＝{x3，x4}，A3＝{x5，x1}，A4＝{x2，x3}，A5＝{x4，x5}，满足题意．
综上所述，集合B中元素个数最少为5.故选A.
答案：A
17．解析：(1)因为集合A∩B一共有4个子集，故A∩B共有2个元素．
故B≠ 且B＝{x∈Z|4－故4∈B，而A∩B共有2个元素．
故4∈B，5∈B，6 B，故A∩B＝{4，5}．
(2)由(1)可得，
故a的取值范围为[12，15).

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