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福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试题
（考试日期： 考试时长：120分钟 满分：150分）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至7页,第II卷第8页。
注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,在试卷上作答无效。
第I卷（选择题共58分）
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
2.直线平分圆,则（ ）
A. B.1 C.-1 D.-3
3.已知,且,则（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量在向量上的投影向量是,且,则（ ）
A. B. C. D.
5.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为欧拉线.已知的顶点,若直线与的欧拉线垂直,则直线与的欧拉线的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
6.已知点在圆上运动,点,则的取值范围为（ ）
A.[20,30] B. C.[20,25] D.
7.在平面直角坐标系中,已知点满足,记为点到直线的距离.当变化时,的最大值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知,直线,直线,若为的交点,则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题给出的选项中,有多项符合题意.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A.若两个不同平面的法向量分别是，且，则
B.若，则是针角
C.若对空间中任意一点,有,则四点共面
D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
10.已知直线与，则下列说法正确的是（ ）
A.与的交点坐标是 B.过与的交点且与垂直的直线的方程为
C.与轴围成的三角形的面积是 D.的倾斜角是锐角
11.在棱长为1的正方体中，为侧面（不含边界）内的动点,为线段上的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（ ）
A.线段的长度为 B.的最小值为1
C.对任意点,总存在点,便得 D.存在点，使得直线与平面所成的角为
第II卷 （非选择题共92分）
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12.如图,已知直线与直线,在上任取一点,在上任取一点,连接AB，取AB的靠近点的三等分点，过点作的平行线，则与间的距离为____________.
13.已知四面体ABCD满足,则点A到平面BCD的距离为____________.
14.已知点，直线将分割成面积相等的两部分，则实数的取值范围为____________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
如图,已知的顶点为是边AB的中点,AD是BC边上的高,AE是的平分线。
（1）求高AD所在直线的方程;
（2）求AE所在直线的方程.
16.（本小题满分15分）
如图,在四棱锥中,,底面ABCD为正方形,分别为的中点.
（1）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值;
（2）求点B到平面MNC的距离.
17.（本小题满分15分）
如图,在平行六面体中,平面.
（1）求证:;
（2）线段上是否存在点,使得平面EBD与平面的夹角为 若存在,求的长;若不存在,请说明理由.
18.（本小题满分17分）
已知正方形的边长为4,分别为的中点,以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的的二面角。
（1）若为AB的中点,在线段AH上，且直线DE与平面EMC所成的角为，求此时平面MEC与平面ECF的夹角的余弦值。
（2）在（1）的条件下,设,且四面体GNHP的体积为,求的值.
19.（本小题满分17分）
人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离,余弦距离,其中（为坐标原点）.
（1）若,求之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）若点,求的最大值;
（3）已知点是直线上的两动点,问是否存在直线使得,若存在,求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由。

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