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4.2由平行线截得的比例线段六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：平行线分线段成比例之“#”字型
【经典例题1】如图，，若，，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【变式训练1-1】如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（ ）
A． B． C． D．1
【变式训练1-2】如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式训练1-3】如图，与分别相交于点A、B、C，与分别相交于点D、E、F，，，那么 ；
【变式训练1-4】如图，，直线与这三条平行线分别交于点、、和点、、，若，，，求的长．
【变式训练1-5】如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F．如果，，，求的长．
题型二：平行线分线段成比例之“x”字型
【经典例题2】如图，已知，，，那么的长等于（ ）

A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，，若，则下面结论错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，若，，，，则长为 ．
【变式训练2-4】如图，已知,与交于点，若 ，求和的长．
【变式训练2-5】如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且．
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，求的长．
题型三：平行线分线段成比例之“A”字型
【经典例题3】如图，已知在 ABC中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图，是 ABC的中线，点E在上，交于点F，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】如图，在菱形中，对角线交于点O，点E为的中点，连接，．

（Ⅰ）的面积为 ；
（Ⅱ）若点F为的中点，连接交于点G，，则线段的长为 ．
【变式训练3-3】如图，在 ABC中，，，，求证：．
【变式训练3-4】如图，．
(1)，求；
(2)，的长．
【变式训练3-5】如图， ABC中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长．
题型四：平行线分线段成比例之“8”字型
【经典例题4】如图，点D，E，F分别在 ABC的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值．
【变式训练4-1】如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ．
【变式训练4-3】如图，在 ABC中，，，．连接交于点，求的值 ．
【变式训练4-4】如图，在矩形中，E是边延长线上的点，且，与相交于点F，，，求及的长．
【变式训练4-5】如图，M、N分别是平行四边形边、的中点，对角线交、分别于点P、Q．
(1)求证：；
(2)当四边形是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形的形状特征．
题型五：平行线分线段成比例综合
【经典例题5】已知，是 ABC的中线，过点作．

(1)如图，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形；
(2)是线段上一点（不与点重合），交于点，交于点，连接．如图，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
【变式训练5-1】如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行．
(1)求证：．
(2)求证：四边形为平行四边形．
(3)求的长度．
【变式训练5-2】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，且．点E为的中点，过点E作的平行线，交于点F．在的延长线上取一点G，使得．连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【变式训练5-3】如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点．
(1)求证：；
(2)连接，当时，求的值．
【变式训练5-4】如图，在 ABC中，平分交于点，为边上一点，．

(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
【变式训练5-5】四边形的两条对角线，相交于点O，．
(1)如图1，已知．
①求证：；
②若，求的值；
(2)如图2，若，，，求的值．
【变式训练5-6】如图，等腰 ABC内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为5，，点是的中点，求的长．
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4.2由平行线截得的比例线段六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：平行线分线段成比例之“#”字型
【经典例题1】如图，，若，，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练1-1】如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，则．
【详解】解：∵．
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练1-2】如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线分线段定理．根据题意可得，代入数值继而得到本题答案．
【详解】解：∵直线，直线和被，，所截，
∴，
∵，，，
∴，即：，
故选：D．
【变式训练1-3】如图，与分别相交于点A、B、C，与分别相交于点D、E、F，，，那么 ；
【答案】/
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值后解决问题．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【变式训练1-4】如图，，直线与这三条平行线分别交于点、、和点、、，若，，，求的长．
【答案】
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
【变式训练1-5】如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F．如果，，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算即可；
【详解】解：，
，即，
．
题型二：平行线分线段成比例之“x”字型
【经典例题2】如图，已知，，，那么的长等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线分得的线段成比例的相关知识，熟练掌握这个定理是解答本题的关键．
由平行关系得到线段对应成比例，再根据比例关系求出的长．
【详解】∵
∴，即，
∴，
∴．
故选B．
【变式训练2-1】如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
【详解】解：A．，
，故本选项不符合题意；
B．，
，故本选项不符合题意；
C．，
，故本选项不符合题意；
D．，
，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练2-2】如图，，若，则下面结论错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】本题主要考查了比例的基本性质、平行线等分线段定理等知识点，掌握平行线等分线段定理成为解题的关键．
根据比例的性质、平行线分线段成比例列出比例式逐项判断即可．
【分析】解：＝，
,
故A选项正确，不符合题意；
，且＝，
,
故B选项正确，不符合题意；
故D选项正确，不符合题意；
根据已知条件不能求出的值，故C选项不正确．
故选C．
【变式训练2-3】如图，若，，，，则长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可．
【详解】∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
故答案为：2．
【变式训练2-4】如图，已知,与交于点，若 ，求和的长．
【答案】,
【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理列出比例式成为解题的关键．
先根据线段的和差求得，根据平行线等分线段定理可得即可得，进而得到，再根据平行线等分线段定理可得即，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：．
【变式训练2-5】如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且．
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，求的长．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴.
将，，代入，得.
解得 ．
（2）解：∵，
∴.
∵，
∴.
将，代入，得.
解得.
题型三：平行线分线段成比例之“A”字型
【经典例题3】如图，已知在 ABC中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C
【变式训练3-1】如图，是 ABC的中线，点E在上，交于点F，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，交于点，根据平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得，然后再利用平行线分线段成比例可得，从而可得，即可解答．
【详解】解：过点作，交于点，
，点是的中点，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
故选：A
【变式训练3-2】如图，在菱形中，对角线交于点O，点E为的中点，连接，．

（Ⅰ）的面积为 ；
（Ⅱ）若点F为的中点，连接交于点G，，则线段的长为 ．
【答案】 12
【分析】（1）根据三角形中线求面积即可；
（2）过点E作于点M，由菱形的性质，是的中位线，得，因此，推出，得到，从而求出的长，得到的长，求出的长，由三角形面积公式求出长，得到的长，由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：（1）为的中点，
，
；
（2）如图，过点E作于点M，
四边形为菱形，
，
，
，
，
，
为的中位线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形中线求面积，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，关键是过点E作于点M，证明，求出的长．
【变式训练3-3】如图，在 ABC中，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例；由平行可得，结合已知条件和比例的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式训练3-4】如图，．
(1)，求；
(2)，的长．
【答案】(1)6
(2)5
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的长为5．
【变式训练3-5】如图， ABC中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到，再由平行线分线段成比例定理得到，，同理得到，则，则，据此可得答案．
【详解】解：，，
，
又，
，
，
，，
，
，
，即．
解得，．
题型四：平行线分线段成比例之“8”字型
【经典例题4】如图，点D，E，F分别在 ABC的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值．
【答案】．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案．
【详解】解：如图，设与的交点为H，
∵点M是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练4-1】如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，先由平行四边形的性质得到，，根据，得出，根据平行线分线段成比例定理得出，然后逐项进行判断即可．
【详解】解：在平行四边形中，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，故A、D不符合题意；
∴，故C符合题意；
∵，，
∴，故D不符合题意．
故选：C．
【变式训练4-2】如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ．
【答案】20
【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可．
【详解】如图，延长交的延长线于点G．
四边形为平行四边形，
．
，．
点E为边的中点，
．
在和中，，
，
．
，，
．
，
．
，
，即，
解得．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明．
【变式训练4-3】如图，在 ABC中，，，．连接交于点，求的值 ．
【答案】
【分析】本题主要考查比例线段的基本性质，根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段的比转化为面积的比是解题的关键．
【详解】解： 如图，连接、，
则，
，，，
，，，，
．
【变式训练4-4】如图，在矩形中，E是边延长线上的点，且，与相交于点F，，，求及的长．
【答案】，
【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，以及勾股定理的应用，由矩形的性质得出，，，，由勾股定理求出，，由平行线分线段成比例可得出，设，则，代入，得出x的值，即可得出
【详解】解：∵四边形是矩形，且，，
∴，，，，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练4-5】如图，M、N分别是平行四边形边、的中点，对角线交、分别于点P、Q．
(1)求证：；
(2)当四边形是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形的形状特征．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线所截线段成比例以及正方形的性质，
（1）根据平行四边形的性质和中点得到是平行四边形，有，则有和，即可得到结论．
（2）由正方形的性质得到，，结合中点，则有，进一步可得．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵M、N分别是、的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，即，
同理，即，
．
（2）如图，
由（1）知，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
则，
即．
题型五：平行线分线段成比例综合
【经典例题5】已知，是 ABC的中线，过点作．

(1)如图，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形；
(2)是线段上一点（不与点重合），交于点，交于点，连接．如图，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)是平行四边形，理由见解析．
【分析】（）由可得，进而得，再证明，得到，即得四边形是平行四边形，得到，即可得到四边形是平行四边形；
（）如图，延长，交于点，同理（）可得，得到，进而得到四边形是平行四边形，即得，即可求证；
本题考查了平行线等分线段定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
如图，延长，交于点，

∵，点是的中点，
∴同理（）可得，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【变式训练5-1】如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行．
(1)求证：．
(2)求证：四边形为平行四边形．
(3)求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性质得出，结合即可得证；
（2）由得出，，由正方形的性质得出，，从而，即，推出，即可得证；
（3）求出和的长，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴由勾股定理可得：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【变式训练5-2】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，且．点E为的中点，过点E作的平行线，交于点F．在的延长线上取一点G，使得．连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例；
（1）由平行线可得，即，结合可得四边形是平行四边形，由三线合一可得即可得到四边形是矩形；
（2）先求出，，即可求出，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明∵，点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形；
（2）解：∵平行四边形，
∴，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
【变式训练5-3】如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点．
(1)求证：；
(2)连接，当时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查的是正方形的性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，牢记性质是解题关键，
（1）根据正方形性质得出，再根据即可求出结论；
（2）作于点，作于点，证明，进而证出，利用求出即可求出结论．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，，
，，
，
，，
，
，
，
．
（2）解：如图1，作于点，则，
，
，
，
，
，
，
作于点，则，
，
，
，
，
，
，
的值是2．
【变式训练5-4】如图，在 ABC中，平分交于点，为边上一点，．

(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握相关性质定理．
（1）先根据角平分线的定义得出，再根据等边对等角得出，则，即可求证；
（2）根据平行线分线段成比例得出，进而求出，即可解答．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴．

【变式训练5-5】四边形的两条对角线，相交于点O，．
(1)如图1，已知．
①求证：；
②若，求的值；
(2)如图2，若，，，求的值．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）过作于，交于，①根据平行线的判定得出和平行，再根据等腰三角形的性质即可求解；②根据平行线分线段成比例，求出和的比，再根据中位线定理得出和的关系，从而得解；
（2）延长到，使得，连接，根据三角形全等得出，从而求得和的关系，再根据勾股定理求出和的关系，从而得解．
【详解】（1）解：过作于，交于，如图：
①证明：设，
，
，
，，
，
，
；
②解：，为中点，
，
，
，
；
（2）解：延长至，使得，连接，如图：
，，
，
，
，
又，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，即，，
，
，
．
在直角中．，
．
【点睛】本题主要考查了相似形综合题，合理运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质是本题解题的关键．
【变式训练5-6】如图，等腰 ABC内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为5，，点是的中点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由四边形为圆内接四边形，得到，结合，
得到，，即可求解，
（2）作，，由为的垂直平分线，得到，根据勾股定理，，根据平行线截线段成比例，得到，依次求出，，，根据勾股定理，即可求解，
本题考查了，圆内接四边形的性质，勾股定理，平行线截线段成比例，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】（1）解：∵点均在上，
∴四边形为圆内接四边形．
．
又，
．
又，
．
又，，
．
（2）解：作于，
又∵，
为的垂直平分线，
过点作于点，连接，
为的垂直平分线，
点在上，
，
，
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．又，
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故答案为：．
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