资源简介

第三节　等式性质与不等式性质
1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据．
2．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】　对于非零实数a，b，如果a>b，是否一定有<？
【问题2】　已知a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，再添加m克糖(m>0)(糖全部溶解)，糖水变甜了，请你用一个不等式表示这一事实．
关键能力·题型剖析
题型一 比较数(式)的大小
例 1 (1)[2024·湖南长沙模拟]设互不相等的三个实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b>a>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
(2)若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．aC．c比较大小的常用方法
巩固训练1
(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)·(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为(　　)
A．MN
C．M≤N D．M≥N
(2)已知a>b>0，比较aabb与abba的大小．
题型二 不等式的性质
例2 (1)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a＋b≥b－c B．ac≥bc
C．>0 D．(a－b)c2≥0
(2)(多选)[2024·河北衡水模拟]已知<<0，则下列不等式一定成立的有(　　)
A．>1 B．<0
C．< D．bc判断不等式的常用方法
巩固训练2
(1)已知a>b>0，cA．－<－ B．c2C．a＋c(2)(多选)已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是(　　)
A．如果a>b，那么<
B．如果acC．如果a>b，那么>
D．如果c>a>b>0，那么>
题型三 不等式性质的应用
例 3 设2【变式练习】　本例条件不变，则2a－b的取值范围是________；的取值范围是________．
利用不等式的性质求取值范围时，应注意同向不等式具有可加性与正值可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
巩固训练3
已知a>b>c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是(　　)
A．－3<<－1 B．－1<<－
C．－2<<－1 D．－1<<－
随堂检测
1.若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，则下列结论正确的是(　　)
A．a>b B．aC．a≥b D．a，b大小不确定
2．已知0A．abC．b3．下列命题为假命题的是(　　)
A．若a>b，c∈R，则a＋c>b＋c
B．若a>b，b>c，则a>c
C．若a>b，c>0，则ac>bc
D．若a>b，c>d，则ac>bd
4．(多选)若a>b>0，dA．ac>bc B．a－d>b－c
C．< D．a3>b3
5．已知0<β<α<，则α－β的取值范围是________．
课后定时检测案3　等式性质与不等式性质
一、单项选择题
1．已知0A．x2>>x B．>x2>x
C．x>>x2 D．>x>x2
2．已知a>0，b>0，M＝＋，N＝，则(　　)
A．M>N B．MC．M≥N D．M≤N
3．已知2A．(0，2) B．(2，5)
C．(5，8) D．(6，7)
4．设a、b、c为实数，且aA．< B．ac2C．> D．|a|>|b|
5．如果a<0，－1A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
6．已知a，b，c，m∈R，则下列说法正确的是 (　　)
A．若a>b，则am2>bm2
B．若>，则a>b
C．若ac2>bc2，则a>b
D．若a2>b2，ab>0，则<
7．[2024·河北承德模拟]已知a>b>0，c>0，则(　　)
A．> B．>
C．a2c>ac2 D．b2c>bc2
8．设α∈(－，)，β∈[0，π]，那么2α－的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(－，)
C．[－，) D．(－，π)
9．(素养提升)设a，b为实数，则“a>b>0”的一个充分不必要条件是(　　)
A．> B．a2>b2
C．> D．a－b>b－a
10．(素养提升)购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定．假设连续购买两天该物品，第一天物品的价格为a1，第二天物品的价格为a2，且a1≠a2，则以下选项正确的为(　　)
A．第一种方式购买物品的单价为
B．≥
C．第一种购买方式所用单价更低
D．第二种购买方式所用单价更低
二、多项选择题
11．[2024·河北沧州模拟]已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a>b>c，若f(1)＝0，则(　　)
A．b2>bc B．acC．ab>ac D．a2>c2
12．[2024·安徽安庆模拟]若－1A．> B．a2＋b2>2ab
C．a＋b>2 D．a＋>b＋
三、填空题
13．已知下列四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.不能推出<成立的序号是__________．
14．(素养提升)[2024·北京房山模拟]能够说明“设a，b，c是任意实数，若a四、解答题
15．(1)设a，b为实数，比较a2＋b2与4a－2b－5的值的大小．
(2)已知a>b>0，c.
?优生选做题?
16．[2024·贵州贵阳模拟]已知正实数a，b，c分别满足a2＝，b＝ln 2，c＝，其中e是自然常数，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>c>a D．b>a>c
17．已知2(1)求x的取值范围；
(2)求的取值范围；
(3)求2x－3y的取值范围．
状元笔记 一类特殊类型的范围问题
【典例1】　[2024·江苏南通模拟]已知a－b∈[0，1]，a＋b∈[2，4]，则4a－2b的取值范围是(　　)
A．[1，5] 　 B．[2，7] C．[1，6] 　 D．[0，9]
[解析]　方法一　设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，
所以，解得，
所以4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)，
又a－b∈[0，1]，a＋b∈[2，4]，
所以3(a－b)∈[0，3]，4a－2b∈，故A，C，D错误．故选B.
方法二　令 ∴
∴4a－2b＝4×－2×＝3m＋n∈[2，7].
故选B.
[答案]　B
【典例2】　设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(3)的取值范围是________．
[解析]　由1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，得1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，
则f(3)＝9a＋3b，
设
∴
∴f(3)＝9a＋3b＝9×＋3×＝3m＋6n∈[15，30].
[答案]　[15，30]
第三节　等式性质与不等式性质
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：不一定．当a>b>0时，一定有<，当0>a>b时，也一定有<，但当a>0>b时，应有>.
【问题2】　提示：<
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)由b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，得b＝1＋a2，且三个实数a，b，c互不相等，
于是b－a＝1－a＋a2＝(a－)2＋>0，即b>a，
而c－b＝(2－a)2≥0，因此c>b，
所以a，b，c的大小关系是c>b>a.
(2)方法一　对于函数y＝f(x)＝，y′＝，易知当x>e时，函数f(x)单调递减．因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c方法二　易知a，b，c都是正数，
＝＝<1，所以a>b；
＝＝>1，
所以b>c，即c答案：(1)D　(2)B
巩固训练1　解析：(1)M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.
(2)∵＝＝()a－b，
又a>b>0，故>1，a－b>0，
∴()a－b>1，即>1，
又abba>0，∴aabb>abba.
答案：(1)B　(2)见解析
例2　解析：(1)A显然错误，例如a＝3，b＝2，c＝－10，a＋bc<0时，由a>b得aca>b a－b>0，但c＝0时，＝0，C错；
a>b a－b>0，又c2≥0，所以(a－b)c2≥0，D正确．
(2)由<<0，得c≠0，当c>0时，得0>>，即a当c<0时，得0<<，即a>b>0，综上ab>0>c，上述两种情况均可得0<<1，故A选项错误；
当ab>0>c时，得<0，故B选项正确；
令a＝－1，b＝－，c＝1，则＝2，＝0，从而得>，故C选项错误；
由上述论证可知bc<0答案：(1)D　(2)BD
巩固训练2　解析：(1)方法一　已知a>b>0，c令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，则－＝－，－＝－1，－>－1，故A项不正确；
又c2＝4，cd＝2，4>2，故B项不正确；而a＋c＝b＋d＝0，故C项也不正确；所以排除ABC.
方法二　在a>b两边同除以负数－ab得－<－，与A项矛盾；
c2－cd＝c(c－d)>0，与B项矛盾；
由(a＋c)－(b＋d)＝(a－b)＋(c－d)，又a－b>0，c－d<0，
故(a－b)＋(c－d)不一定小于0，故C项不正确；
由c－d>0，又a>b>0，两式相乘得－ac>－bd，两边同除以负数－cd可得，<，故D项正确．
(2)取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足选项A，B中的前提条件．
对于选项A，有>，故A是假命题；
对于选项B，有a>b，故B是假命题；
对于选项C，∵c≠0，∴>0，由不等式的性质4知C是真命题；
对于选项D，a>b>0 －a<－b<0 0b>0，∴>，故D是真命题．
答案：(1)D　(2)CD
例3　解析：∵2∵2答案：(5，13)　(2，14)
变式练习　解析：∵2由同向不等式的可加性，得2<2a－b<13，
由同向同正不等式的可乘性，得1<<7.
答案：(2，13)　(1，7)
巩固训练3　解析：∵a>b>c，2a＋b＋c＝0，
∴a>0，c<0，
∴b＝－2a－c，且a>0，c<0，
∵a>b>c，
∴－2a－c－c，
解得>－3，
将b＝－2a－c代入b>c，可得－2a－c>c，可得a<－c，可得<－1，
∴－3<<－1.故选A.
答案：A
随堂检测
1．解析：因为b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)
＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)
＝x2＋4x＋5
＝(x＋2)2＋1>0，
所以a答案：B
2．解析：对于A，因为0b，故A错误；
对于B，因为0b，又因为0ab，则b答案：B
3．解析：对于A，若a>b，c∈R，则a＋c>b＋c，A是真命题；
对于B，若a>b，b>c，则a>c，B是真命题；
对于C，若a>b，c>0，则ac>bc，C是真命题；
对于D，取a＝1，b＝0，c＝－1，d＝－2，满足a>b，c>d，而ac＝－1<0＝bd，D是假命题．
答案：D
4．解析：对于选项A：因为ac－bc＝(a－b)c，又因为a>b，c<0，则a－b>0，可得ac－bc＝(a－b)c<0，所以ac对于选项B：因为(a－d)－(b－c)＝(a－b)＋(c－d)，
又因为a>b，d0，c－d>0，可得(a－d)－(b－c)＝(a－b)＋(c－d)>0，所以a－d>b－c，故B正确；
对于选项C：因为＝，又因为d0，c－d>0，可得＝>0，所以>，故C错误；
对于选项D：因为a>b>0，所以a3>b3，故D正确．
答案：BD
5．解析：∵0<β<α<，∴－<－β<0，α－β>0，
∴0<α－β<.
∴α－β的取值范围是(0，)．
答案：(0，)
课后定时检测案3　等式性质与不等式性质
1．解析：因为00，所以－x＝＝>0，所以>x，
又x－x2＝x(1－x)>0，所以x>x2，
所以>x>x2.故选D.
答案：D
2．解析：由题意得M2＝a＋b＋2，N2＝a＋b，而a>0，b>0，得M>N.故选A.
答案：A
3．解析：2故4<2a<6，1<－b<2，得5<2a－b<8.故选C.
答案：C
4．解析：因为a、b、c为实数，且a所以>，|a|>|b|，a2>b2，ab>0，故A错误，D正确；
当c＝0时ac2＝bc2，故B错误；
因为－＝<0，所以<，故C错误．故选D.
答案：D
5．解析：由选项可知，仅需要比较a，ab，ab2三个数的大小，
显然，a<0，ab>0，ab2<0，所以ab最大，
由－1所以ab2－a＝a(b2－1)>0，即ab2>a，
可得ab>ab2>a.故选D.
答案：D
6．解析：对于A，若m＝0，则不成立，故A错误；
对于B，若c<0，则不成立，故B错误；
对于C，将ac2>bc2两边同时除以c2，可得a>b，故C正确；
对于D，取a＝－2，b＝－1，可得<不成立，故D错误．故选C.
答案：C
7．解析：对于A，若a＝2，b＝1，c＝1，则＝，＝，因为<，所以<，所以A错误；
对于B，因为a>b>0，所以a－b>0，因为c>0，所以－＝>0，所以B正确；
对于C，若a＝2，c＝5，则a2c＝20对于D，若b＝1，c＝2，则b2c＝2答案：B
8．解析：α∈(－，)，β∈[0，π]，所以－<2α<π，－≤－≤0，则－<2α－<π.故选D.
答案：D
9．解析：由>，则可得a>b≥1，可推出a>b>0，反向推不出，A满足；
由a2>b2，则|a|>|b|，推不出a>b>0，反向可推出，B不满足；由>，则a>b>0或b>0>a或0>a>b，推不出a>b>0，反向可推出，C不满足；由a－b>b－a，则a>b，推不出a>b>0，反向可推出，D不满足．故选A.
答案：A
10．解析：第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为m，则平均价格为＝，故A不正确；
第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为n，第一次能购得该物品的数量为，第二次能购得该物品的数量为，则平均价格为＝；
－＝－＝＝>0，
所以>，故B错误，同时说明第二种购买方式所用单价更低．故选D.
答案：D
11．解析：由f(1)＝0，得a＋b＋c＝0，又a>b>c，所以a>0，c<0，且b的符号不确定，故b2－bc＝b(b－c)的符号也不确定，故A错误；
由a>b，c<0，得ac由b>c，a>0，得ab>ac，故C正确；
因为a>0>c，两边平方后不等式不一定成立，故D错误．故选BC.
答案：BC
12．解析：A.因为－1－a>－b>0，所以－<－，则>，故正确；
B．a2＋b2≥2ab，而a≠b，取不到等号，故正确；
C．因为－1D．因为－10，所以a＋>b＋，故正确．故选ABD.
答案：ABD
13．解析：利用不等式性质可知：①b>0>a可得<0<，即可得<，
②0>a>b时，可得<，
③a>0>b可得>0>，故不能得出<，
④a>b>0，可得<，
所以不能推出<成立的序号是③.
答案：③
14．解析：若a0时，ac当c＝0时，ac＝bc；
当c<0时，ac>bc；
“设a，b，c是任意实数，若a答案：－2，－1，0(答案不唯一)
15．解析：(1)a2＋b2－(4a－2b－5)＝a2－4a＋4＋b2＋2b＋1＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0，
则a2＋b2≥4a－2b－5.
(2)∵a>b>0，－c>－d>0，∴a－c>b－d>0，
∴<，又e<0，∴>.
16．解析：由a2＝得a＝，∴＝×＝，
∵e>()2＝，∴>，∴＝>1，又c>0，∴a>c；
令f(x)＝，则f′(x)＝＝，
∴当x∈(0，e2)时，f′(x)>0；当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)<0；
∴f(x)在(0，e2)上单调递增，在(e2，＋∞)上单调递减；
∴f(e)>f(2)，即＝>，∴>ln 2，即a>b；
且f(e2)>f(8)，即＝>＝，∴ln 2<，即b综上所述a>c>b.故选A.
答案：A
17．解析：(1)因为2两个不等式相加可得5<2x<11，解得所以x的取值范围是(，).
(2)因为2所以<<，
所以<<3.
所以的取值范围是(，3).
(3)设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则2x－3y＝(m＋n)x＋(m－n)y.
所以解得
所以2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，
因为2因为3①＋②得5<－(x＋y)＋(x－y)<14，
所以2x－3y的取值范围是(5，14).

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