资源简介

第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念
1.了解任意角和弧度制的概念．
2．能进行弧度与角度的互化．
3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
问题思考·夯实技能
【问题1】　请你写出角β与角α的终边关于x轴、y轴、原点对称的关系．
【问题2】　已知角α的终边上的任意一点P到原点的距离为r(r>0)，那么如何确定P点的坐标？角α的三角函数值是否会随点P在α的终边上的位置的变化而改变？
关键能力·题型剖析
题型一 象限角及终边相同的角
例 1 (1)[2024·江西吉安模拟]已知角β的集合β＝，则在[0，2π)内的角有(　　)
A．2个　 　B．3个　 　C．4个　 　D．5个
(2)若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则的终边在(　　)
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上
D．第二、四象限或在x轴上
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法：先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
巩固训练1
(1)(多选)已知角α的终边在第一象限，那么角的终边可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是________．
题型二 弧度制及其应用
例 2 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
应用弧度制解决问题的策略
巩固训练2
(1)《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)[2024·黑龙江双鸭山模拟]已知扇形的面积为4 cm2，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为____________ cm.
题型三 三角函数的定义及其应用
角度一　三角函数的定义
例 3 (1)已知角α的终边过点A(－4，3)，则sin α·tan α＝(　　)
A．－　 　B．　 　C．－　 　D．
(2)已知角θ的顶点为原点，起始边为x轴非负半轴，若点P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝(　　)
A．8　　　B．－8　　　C．6　　　D．－6
利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可求出点P的坐标．
角度二　三角函数值的符号
例 4 “cos θ<0且tan θ>0”是“θ为第三象限角”的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
巩固训练3
(1)已知角α的终边落在直线y＝2x上，则sin α的值为(　　)
A．　 B．　 C．－　 D．±
(2)在△ABC中，A为钝角，则点P(tan B，cos A)(　　)
A．在第一象限 B．在第二象限
C．在第三象限 D．在第四象限
1．下列各角中，与1850° 角终边相同的角是(　　)
A．40° B．50°
C．320° D．－400°
2．扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素．小明制作了一把如图所示的扇子，其半径为16 cm，圆心角为，则这把扇子的弧长为(　　)
A．6π cm B．12π cm
C．18π cm D．24π cm
3．(多选)下列结论正确的是(　　)
A．－是第三象限角
B．若角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝－
C．若sin α>0，则α是第一或第二象限角
D．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
4．[2024·北京中关村中学模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点M(x，－1)在角β的终边上．若sin α＝，则sin β＝______．
课后定时检测案26　任意角和弧度制、三角函数的概念
一、单项选择题
1．与－1 990°终边相同的最小正角是(　　)
A．80°　　B．150°　　C．170°　　D．290°
2．已知点(2，－2)在角α的终边上，则角α的最大负值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
3．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
4．在没有其他因素影响时，飞机的航线往往选取的是两地之间的最短距离．设地球为一半径为R的球体，一架飞机将从A地东经0°飞至B地东经120°，且A，B两地纬度都为0°.若飞机始终在地球球面上运动，则该飞机飞行的最短路程为(　　)
A． B．
C． D．
5．已知角α终边经过点P(x，－6)，且cos α＝－，则x的值为(　　)
A．± B．±
C．－ D．
6．已知角α的终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式一定为正的是(　　)
A．sin α　　B．tan α C．cos α　　D．
7．已知角α为第二象限角，且|cos |＝－cos ，则角是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
8．[2024·北京房山模拟]我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种度量角的制度，叫做面度制．在面度制下，若角α的面度数为，则角α的正弦值是(　　)
A．－　　B．　　C．－　　D．
二、多项选择题
9．[2024·重庆九龙坡模拟]下列结论正确的是(　　)
A．－是第一象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
C．若角α的终边上有一点P(－3，4)，则cos α＝－
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
10．若角α的终边经过点P(－1，3)，则下列结论正确的是(　　)
A．α是第二象限角
B．α是钝角
C．tan α＝－3
D．点(sin α，cos α)在第二象限
11．[2024·辽宁大连模拟]给出下列四个命题，其中是真命题的为(　　)
A．如果θ是第一或第四象限角，那么cos θ>0
B．如果cos θ>0，那么θ是第一或第四象限角
C．终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}
D．已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角(正角)的弧度数为2
三、填空题
12．已知角α，β的终边关于直线x＋y＝0对称，且α＝－60°，则β＝________．
13．平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第一象限的点P(，m)，则tan α＝________．
14．[2024·江苏南通模拟]已知半径为3的扇形OAB的弦长AB＝3，则该扇形的弧长是________．
四、解答题
15．已知＝－，且lg (cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M(，m)，求m的值及sin α的值．
?优生选做题?
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1，0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求sin α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈(0，]，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形).
第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念
问题思考·夯实技能
【问题1】　提示：角β与角α的终边关于x轴对称，则β＝－α＋2kπ(k∈Z)；角β与角α的终边关于y轴对称，则β＝π－α＋2kπ(k∈Z)；角β与角α的终边关于原点对称，则β＝π＋α＋2kπ(k∈Z)．
【问题2】　提示：由三角函数的定义可知P点的坐标为(r cos α，r sin α)．角α的三角函数值与点P的位置无关．
关键能力·题型剖析
例1　解析：(1)依题意，解不等式0≤<2π，得≤k<，而k∈Z，因此k∈{1，2，3}，所以在[0，2π)内的角有3个．故选B.
(2)因为|cos θ|＝cos θ，可得cos θ≥0，则θ是第一、四象限或x轴正半轴，
又因为|tan θ|＝－tan θ，可得tan θ≤0，则θ是二、四象限或x轴，
所以θ是第四象限或x轴正半轴，
所以k·360°＋270°<θ≤k·360°＋360°，k∈Z，
可得k·180°＋135°<≤k·180°＋180°，k∈Z，
令k＝2n，n∈Z，可得n·360°＋135°<≤n·360°＋180°，n∈Z，
则在二象限或x轴负半轴；
令k＝2n＋1，n∈Z，可得n·360°＋315°<≤n·360°＋360°，n∈Z，
则在四象限或x轴正半轴，
综上可得，的终边在第二、四象限或在x轴上．故选D.
答案：(1)B　(2)D
巩固训练1　解析：(1)因为角α的终边在第一象限，
所以k·360°<α所以k·180°<当k＝0时，0°<<45°，则终边在第一象限；
当k＝1时，180°<<225°，则终边在第三象限；
所以角的终边可能在第一象限或第三象限．故选AC.
(2)直线y＝－x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为.
答案：(1)AC　(2)
例2　解析：(1)α＝60°＝，l＝10×＝ (cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓．由题知l＝ cm.S弓＝S扇形－S三角形＝×2－×22×sin ＝() (cm2)．
巩固训练2　解析：(1)由题意可知扇形的弧长l＝30，半径r＝8，
所以扇形的圆心角的弧度数是＝＝，故选A.
(2)设扇形的弧长为l，半径为R，
由已知可得，圆心角α＝2，面积S＝4，
所以有即解得.
答案：(1)A　(2)4
例3　解析：(1)由题意可得：sin α＝＝，tan α＝＝－，则sin α·tan α＝－.故选C.
(2)因为点P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，
由三角函数的定义可得sin θ＝＝－，则y<0，解得y＝－8.故选B.
答案：(1)C　(2)B
例4　解析：充分性：由cos θ<0可知＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，
由tan θ>0可知2kπ<θ<＋2kπ或π＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，
综上，π＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，即θ为第三象限角．
必要性：若θ为第三象限角，则cos θ<0且tan θ>0.所以“cos θ<0且tan θ>0”是“θ为第三象限角”的充要条件．故选A.
答案：A
巩固训练3　解析：(1)设直线y＝2x上任意一点P的坐标为(m，2m)(m≠0)，
则OP＝＝|m|(O为坐标原点)，
根据正弦函数的定义得：sin α＝＝＝，
m>0时，sin α＝； m<0时，sin α＝－，
所以选项D正确，选项A，B，C错误，故选D.
(2)因为△ABC中，A为钝角，所以B为锐角，可得tan B>0，cos A<0，所以点P(tan B，cos A)在第四象限．故选D.
答案：(1)D　(2)D
随堂检测
1．解析：1 850°－40°＝1810°＝5×360°＋10°，故A错误．
1 850°－50°＝1 800°＝5×360°，故B正确．
1 850°－320°＝1 530°＝4×360°＋90°，故C错误．
1 850°－(－400°)＝2 250°＝6×360°＋90°，故D错误．故选B.
答案：B
2．解析：因为扇形半径为16 cm，圆心角为，所以弧长为×16 cm＝12π cm.故选B.
答案：B
3．解析：对于A，由－∈(－，0)，则其为第四象限角，故A错误；对于B，由角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝＝－，故B正确；对于C，由sin α>0，则角α终边也可能在y轴上，故C错误；对于D，由圆心角的扇形的弧长为π，则其半径r＝3，所以扇形的面积S＝×3·π＝，故D正确．故选BD.
答案：BD
4．解析：由题意知角α与角β的终边关于原点对称，点M(x，－1)在角β的终边上，
则点N(－x，1)在角α的终边上，
由sin α＝以及|ON|＝，可得＝；
由点M(x，－1)在角β的终边上且|OM|＝，
可知sin β＝＝－.
答案：－
课后定时检测案26　任意角和弧度制、三角函数的概念
1．解析：因为－1 990°＝－5×360°－190°，－1 990°＝－6×360°＋170°，故与－1 990°终边相同的最小正角是170°.故选C.
答案：C
2．解析：由题意可知点在第四象限，且tan α＝＝－，所以α＝－＋2kπ，k∈Z，故当k＝0，α＝－时为最大的负值．故选C.
答案：C
3．解析：∵<2<3<π<4<，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2·cos 3·tan 4<0.故选A.
答案：A
4．解析：依题意，A，B两地对于地球球心O所成的角∠AOB＝，
所以该飞机飞行的最短路程为.故选C.
答案：C
5．解析：因为角α终边经过点P(x，－6)，所以cos α＝＝－，所以，解得x＝－.故选C.
答案：C
6．解析：因为角α终边经过点P(1，m)(m<0)，所以α在第四象限，所以sin α<0，cos α>0，tan α<0，<0，故C正确．故选C.
答案：C
7．解析：因为角α为第二象限角，所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
所以45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)，
当k是偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，
此时为第一象限角；
当k是奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
此时为第三象限角；
综上所述：为第一象限角或第三象限角，
因为|cos |＝－cos ，所以cos ≤0，所以为第三象限角．故选C.
答案：C
8．解析：设角α所在的扇形的半径为r，面积为S，
则由题意可得＝＝，解得α＝，
所以sin α＝sin ＝.故选D.
答案：D
9．解析：对于A，－＝－2π＋，是第一象限角，故A正确；对于B，设该扇形的半径为r，则·r＝π，∴r＝3，∴S扇形＝××32＝，故B正确；对于C，r＝＝5，cos α＝＝－，故C正确；对于D，取α＝30°，则α是锐角，但2α＝60°不是钝角，故D错误．故选ABC.
答案：ABC
10．解析：由点P(－1，3)在第二象限，可得α是第二象限角，但不一定是钝角，A正确，B错误；tan α＝＝－3，C正确；由sin α>0，cos α<0，则点(sin α，cos α)在第四象限，D错误．故选AC.
答案：AC
11．解析：对于A，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得cos θ>0，故正确；
对于B，若θ＝0，则cos θ＝1>0，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误；
对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，故正确；
对于D，设扇形的圆心角的弧度数为β，半径为r，
则，解得，故正确．故选ACD.
答案：ACD
12．解析：因为－60°与－30°的终边关于直线y＝－x对称，所以β的终边与－30°角的终边相同，所以β＝－30°＋k·360°，k∈Z
答案：－30°＋k·360°，k∈Z
13．解析：因为角α的终边与单位圆交于第一象限的点P(，m)，
所以解得m＝，tan α＝＝.
答案：
14．解析：在△ABC中，AB2＝OA2＋OB2＝18，故∠AOB＝，故弧长l＝×3＝.
答案：
15．解析：(1)∵＝－，∴sin α<0，　①
由lg (cos α)有意义，∴cos α>0，　②
由①②得，角α在第四象限．
(2)∵点M(，m)在单位圆上，
∴()2＋m2＝1，解得m＝±，
又α是第四象限角，即m<0，∴m＝－，
由三角函数定义知sin α＝－.
16．解析：(1)因为角α的终边与单位圆相交于B，且点B的横坐标为－，因为B在x轴上方，所以点B的坐标为(－，).
由三角函数的定义，可得sin α＝.
(2)当△AOB为等边三角形时，因为B在x轴上方，则B(cos ，sin )，即B(，)，
所以α＝∠AOB＝，即与角α终边相同的角β的集合{β|β＝＋2kπ，k∈Z}．
(3)弓形AB的面积：S＝S扇形－S△AOB.
扇形的圆心角为α，所以S扇形＝α×12＝.
过O作OH⊥AB于H，则OH＝cos ×1＝cos ，
AB＝2sin OA＝2sin ×1＝2sin ，
所以S△AOB＝×2sin ×cos ＝sin α.
所以S＝S扇形－S△AOB＝－sin α＝.

展开更多......

收起↑