资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年高考数学全真模拟卷04（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·河南周口·模拟预测）已知复数，i为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
【解题思路】根据复数的除法和乘方的运算法则，结合复数虚部的定义进行求解即可.
【解答过程】，
因此复数的虚部为.
故选：D.
2．（5分）（2024·天津和平·二模）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，等价于，若所求必要条件对应的范围为，则 ，由此判断即可得到本题的答案．
【解答过程】不等式等价于，
使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集，
由此对照各项，可知只有A项符合题意．
故选：A．
3．（5分）（2024·贵州贵阳·二模）已知向量，若，则实数（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【解题思路】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.
【解答过程】，，
由，则有，
解得.
故选：D.
4．（5分）（2024·四川达州·二模）下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（ ）

A．该地区2016-2019年旅游收入逐年递增
B．该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30
C．经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平
D．该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69
【解题思路】根据中位数、极差的定义即可判断BD；结合图形，分析数据即可判断AC.
【解答过程】A：由图可知该地区2016-2019年旅游收入逐年递增，故A正确；
B：由图可知，2016-2023年旅游收入的中位数为亿元，故B错误；
C：从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元，故C正确；
D：2016-2023年旅游收入的极差是亿元，故D正确.
故选：B.
5．（5分）（2024·湖北·模拟预测）已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ）
A． B． C．2 D．
【解题思路】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案.
【解答过程】连接，则.
又，所以四边形为正方形，，
于是点在以点为圆心，为半径的圆上.
又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切，
所以点到直线的距离，解得.
故选：D.
6．（5分）（2024·青海西宁·二模）关于函数，有下列四个说法：①的最大值为；②的相邻两个零点分别为，，且有；③的图象上相邻两个对称中心间的距离为；④的图象关于直线对称，若有且仅有一个说法是错误的，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论，即可得到结果.
【解答过程】说法②可得，得到，说法③可得，则，②和③相互矛盾；
当①②④成立时，由题意，，，．
因为，令，得到，
所以，得到，
说法①③④成立时，由题意，，，，
则，故不合题意.
故选：B.
7．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥中，为等边三角形，四边形为矩形，且，平面平面，则直线AC与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．1
【解题思路】取为的中点，先证明平面，得为所求线面角，由边长间的关系求正弦值.
【解答过程】平面平面，又平面平面，
平面，，则平面，
又平面，故平面平面，
取的中点，连接，如图所示，
平面平面，平面平面，
为等边三角形，则，故平面，
则直线AC与平面所成角即为，
令，则，，，
故.
故选：A.
8．（5分）（2024·陕西·模拟预测）函数满足，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【解题思路】通过 解方程可得的解析式，由化简可得，结合基本不等式可得，运用分离常数法化简可得，进而可得其最小值.
【解答过程】因为，所以，即，
又因为，
所以，即，
所以，
因为，，所以，，
所以，
整理得，
解得或（舍），
所以，当且仅当即时取等号.
故的最小值为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知为函数的一个对称中心，则（ ）
A． B．函数为奇函数
C．曲线关于对称 D．函数在单调递增
【解题思路】根据对称可得，即可由辅助角公式求解，结合选项，即可逐一代入求解.
【解答过程】解：因为为函数的一个对称中心，
所以，
即，解得，故A错误；
所以，
，显然为奇函数，故B正确；
，是最小值，
所以曲线关于对称，故C正确；
当时，，所以函数在单调递增，故D正确．
故选：BCD．
10．（6分）（2024·黑龙江大庆·三模）已知点是双曲线上一点，过向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的浙近线方程为
B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1
C．
D．的面积为
【解题思路】首先根据双曲线方程求渐近线方程，判断A，再根据点到直线的距离判断BC，最后根据几何关系，求，再代入面积公式，即可求解.
【解答过程】因为双曲线的方程为，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故A正确；
双曲线的右焦点到渐近线的距离为，故B正确；
由点到直线的距离公式可得.故错误.
如图，因为，所以.在和中，，
，所以，所以
，故D正确.
故选：ABD.
11．（6分）（2024·河北·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
C．函数在上存在极值点
D．若，则的最大值为
【解题思路】对于A，直接求得单调区间即可；对于B C D，构造函数，研究函数的最值即可.
【解答过程】对于A，的定义域为，令，
则当时，；
当时，即在上单调递减，
在上单调递增，
在上单调递增，故A正确；
对于B，由知在上单调递增，由得，则当时，，令，则当时，；当时，在上单调递增，
在上单调递减，，即的最小值为，故B正确；
对于的定义域为，令，
则当时，；当时，
即在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增，无极值点，故C错误；
对于D，若，
则，
由知：均为定义域上的增函数，，
由得，，令，则当时，；
当 时，在上单调递增，在上单调递减，
，即的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·陕西榆林·模拟预测）已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为 ．
【解题思路】设等比数列的公比为q，根据等比数列的性质可得，即有，解出的值，即可求出公比，得出通项.
【解答过程】设等比数列的公比为q，因为，所以，解得，
又，所以有，
由是递增的等比数列，解得，
所以， 即有.
故答案为：.
13．（5分）（2024·湖南长沙·二模）已知 ，则 .
【解题思路】由，结合两角和的余弦公式化简条件可求得，再利用二倍角的余弦公式求即可.
【解答过程】因为，
所以，
所以，
所以
所以.
故答案为：.
14．（5分）（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线与有公共切线，则实数a的最大值为 ．
【解题思路】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到,构造函数，转化为存在性问题，最终求最值即可.
【解答过程】设曲线与的切点分别为，，
∵，，∴，，
∴，，
∴，，即，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴，即，即，即．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·陕西安康·模拟预测）在中，角的对边分别是．
(1)求证：；
(2)若，面积为1，求边的长．
【解题思路】（1）根据题中等式利用同角三角函数商关系公式，两角和的正弦公式，三角和内角和定理，正弦定理化简得到结果；
（2）利用（1）的结果计算，再利用三角形面积公式计算出，最后利用余弦定理计算出；
【解答过程】（1）证明：根据，以及，，
得，．
所以，即，
根据，得．
所以，
由正弦定理，得，因此．
（2）由（1）知，，，
，
所以，得，，
又，
所以由余弦定理得．
16．（15分）（2024·四川雅安·三模）已知函数.
(1)若函数有极值，求实数的取值范围；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）先对函数求导，分类讨论研究函数的单调性，结合函数单调性与极值的关系即可求解.
（2）由已知变形为恒成立，构造函数，分类讨论研究函数的单调性，利用最值列不等式求解即可.
【解答过程】（1）依题意，，令，得，
因为，所以当时，在上单调递减；
当时，，故在上单调递增；
当时，有变号零点，此时函数存在极值；
综上.
（2）依题意，由，
得，即，
设，
则，
设，则，
当时，单调递增；
所以在上，，且，
当，即时，在上单调递减，
则，不符合题意，舍去，
当，即时，
（i）若，即，
，使得，当时，在内单调递减，，不符合题意，舍去，
（ii）若，即恒成立，
在上单调递增，则，符合题意.
综上，实数的取值范围为.
17．（15分）（2024·河南周口·模拟预测）如图，平行六面体中，底面与平面都是边长为2的菱形，，侧面的面积为.
(1)求平行六面体的体积；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【解题思路】（1）连接，，根据菱形的性质、余弦定理，结合线面垂直的判定定理、三角形面积公式、棱柱的体积公式进行求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【解答过程】（1）连接，，
因为底面与平面均为菱形，且，
所以与均为等边三角形，
取AB的中点，连接，，则，，则，
因为侧面的面积为，
所以的面积为，则，
所以，则.
在中，，则，
所以，所以.
因为，平面，
所以平面，
故平行六面体的体积.
（2）由（1）可知，两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
由得取，则.
设平面的法向量为，，
由得取，则，
于是.
设平面与平面的夹角为，
所以.
18．（17分）（2024·辽宁锦州·模拟预测）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．
(1)若，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
(2)当时，
（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率（用表示）．
【解题思路】（1）用事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件：共5种，即可求解；
（2）（i）由题意得的所有可能取值为：，求出对应的概率，列出分布列及求出数学期望，并求出最大值；
（ii）由（1）得前两局比赛结果可能有：，其中事件表示“甲学员赢得比赛”，事件表示“乙学员赢得比赛”，事件表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同，所以即可求解．
【解答过程】（1）用事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，
则，
记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，
则事件N包括事件：共5种，
所以
．
（2）（i）因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，
由题意得的所有可能取值为：，
，
，
，
所以的分布列为：
2 4 5
所以的期望为：
因为，所以，
等号成立时，，所以，
所以，
故的最大值为：．
（ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，则，
由（1）得前两局比赛结果可能有：，
其中事件表示“甲学员赢得比赛”，事件表示“乙学员赢得比赛”，
事件表示“甲、乙两名学员各得1分”，
当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同，
所以
，
所以，得，
因为，所以.
19．（17分）（2024·河南三门峡·模拟预测）设有穷数列的所有项之和为，所有项的绝对值之和为，若数列满足下列两个条件，则称其为阶“数列”：①；②.
(1)若2023阶“数列”是递减的等差数列，求；
(2)若阶“数列”是等比数列，求的通项公式（，用表示）；
(3)设阶“数列”的前项和为，若，使得，证明：数列不可能为阶“1数列”.
【解题思路】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，结合2023阶“数列的定义求解即可；
（2）讨论和，由等比数列的通项公式和前项和公式，结合阶“数列的定义求解即可；
（3）假设数列为阶“1数列”，则，设数列的前项和为，则，可得，进而得出，结合阶“数列”的定义与性质②不能同时成立，即可得证.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
由①得，即，
所以，所以，
则，
又，且，
所以，
所以，
解得，
由，得.
（2）设数列的公比为，
当时，由①知，
所以，不满足等比数列的定义，所以.
由①得，
因为，所以，
由②可知或，
故数列的通项公式或，.
（3）证明：由数列为阶“数列”可知，
所有非正项的和为，所有正项的和为，所以.
若，使得，
由上可知，
且.
假设数列为阶“1数列”，则，
设数列的前项和为，则，
所以，
又，所以.
则.
所以，
又，
所以，
，
与性质②不能同时成立，
故数列不可能为阶“0-1数列”.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2025年高考数学全真模拟卷04（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·河南周口·模拟预测）已知复数，i为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（5分）（2024·天津和平·二模）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（2024·贵州贵阳·二模）已知向量，若，则实数（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
4．（5分）（2024·四川达州·二模）下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（ ）

A．该地区2016-2019年旅游收入逐年递增
B．该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30
C．经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平
D．该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69
5．（5分）（2024·湖北·模拟预测）已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ）
A． B． C．2 D．
6．（5分）（2024·青海西宁·二模）关于函数，有下列四个说法：①的最大值为；②的相邻两个零点分别为，，且有；③的图象上相邻两个对称中心间的距离为；④的图象关于直线对称，若有且仅有一个说法是错误的，则（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥中，为等边三角形，四边形为矩形，且，平面平面，则直线AC与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．1
8．（5分）（2024·陕西·模拟预测）函数满足，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知为函数的一个对称中心，则（ ）
A． B．函数为奇函数
C．曲线关于对称 D．函数在单调递增
10．（6分）（2024·黑龙江大庆·三模）已知点是双曲线上一点，过向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的浙近线方程为
B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1
C．
D．的面积为
11．（6分）（2024·河北·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
C．函数在上存在极值点
D．若，则的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·陕西榆林·模拟预测）已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为 ．
13．（5分）（2024·湖南长沙·二模）已知 ，则 .
14．（5分）（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线与有公共切线，则实数a的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·陕西安康·模拟预测）在中，角的对边分别是．
(1)求证：；
(2)若，面积为1，求边的长．
16．（15分）（2024·四川雅安·三模）已知函数.
(1)若函数有极值，求实数的取值范围；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
17．（15分）（2024·河南周口·模拟预测）如图，平行六面体中，底面与平面都是边长为2的菱形，，侧面的面积为.
(1)求平行六面体的体积；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
18．（17分）（2024·辽宁锦州·模拟预测）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．
(1)若，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
(2)当时，
（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率（用表示）．
19．（17分）（2024·河南三门峡·模拟预测）设有穷数列的所有项之和为，所有项的绝对值之和为，若数列满足下列两个条件，则称其为阶“数列”：①；②.
(1)若2023阶“数列”是递减的等差数列，求；
(2)若阶“数列”是等比数列，求的通项公式（，用表示）；
(3)设阶“数列”的前项和为，若，使得，证明：数列不可能为阶“1数列”.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑