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2025年高考数学全真模拟卷01（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·陕西西安·三模）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求解根式不等式，化简集合A，然后再根据集合交集运算规则即可求解.
【解答过程】依题意得，则．
故选：C.
2．（5分）（2024·湖南衡阳·模拟预测）若复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用复数除法运算法则计算，然后求虚部即可.
【解答过程】，
所以的虚部为.
故选：D.
3．（5分）（2024·湖北武汉·一模）已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．8
【解题思路】先应用向量垂直数量积为0求参，再根据模长公式求模长即可.
【解答过程】因为所以,所以,
因为，所以.
故选：A.
4．（5分）（2024·江西九江·三模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，则原等式可化为，化简后求出即可.
【解答过程】令，则，
所以由，
得，
即，
即，得，
所以，
故选：C.
5．（5分）（2024·浙江·模拟预测）清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm，下底也为正方形，内边长为50cm，斛内高36cm，那么一斗米的体积大约为立方厘米 （ ）
A．10500 B．12500 C．31500 D．52500
【解题思路】利用棱台的体积公式,即可计算得出答案．
【解答过程】一斛米的体积为，
因为五斗为一斛，所以一斗米的体积为，
故选：A.
6．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解.
【解答过程】根据题意，当时，，可得在上递增，
要使得函数 是上的单调函数，
则满足，且，解可得，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
7．（5分）（2024·湖北武汉·模拟预测）设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】令，解方程得或，在区间取6个零点即可.
【解答过程】由题意可知，
令，
即或，
即或，
当时，零点从小到大依次为，
因此有，
即．
故选：B．
8．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的一个对称中心为 B．
C．函数为周期函数，且一个周期为4 D．
【解题思路】对于A，由为奇函数，则，再将代入化简可求出对称中心；对于B，由选项A可得，再由为偶函数可得，令可求出；对于C，由的图象关于点对称，结合求出进行判断；对于D，利用赋值法求解判断.
【解答过程】对于A，因为为奇函数，
所以，即，
所以，所以，
所以函数的图象关于点对称，所以A正确，
对于B，在中，令，得，得，
因为函数为偶函数，所以，
所以，
所以，
令，则，所以，得，所以B正确，
对于C，因为函数的图象关于点对称，，
所以，所以，
所以4不是的周期，所以C错误，
对于D，在中令，则，
令，则，因为，所以，
因为，所以，所以D正确，
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·四川成都·模拟预测）已知，都是服从正态分布的随机变量，且，，其中，，则下列命题正确的有（ ）
A．
B．
C．若，，则
D．若，，，则
【解题思路】由正态分布的期望公式及方差公式即可判断AB；由正态分布的对称性即可判断C；由方差的性质即可判断D．
【解答过程】对于A，由正态分布的期望公式得，，故A正确；
对于B，由正态分布的方差公式得，，故B错误；
对于C，由正态分布的对称性得，，
所以，故C正确；
对于D，由，，，则，，
根据方差的性质知，分布更集中，所以，故D正确；
故选：ACD．
10．（6分）（2024·河北衡水·三模）已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数在区间上单调递减
C．过点能作两条不同直线与相切 D．函数有5个零点
【解题思路】求得，根据，可判定A正确；由，利用导数的符号求得函数的单调区间，可判定B错误；设过点且与函数相切的切点为，求得切线方程，列出方程求得的值，可判定C错误；令，作出函数的图象，得到，进而的函数零点的个数，可判定以D正确．
【解答过程】对于A中，由函数，可得，
因为 是函数的一个极值点，可得，
解得，经检验适合题意，所以A正确；
对于B中，由，令，解得或，
当时，；当时，；当时，，
故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B错误；
对于C中，设过点且与函数相切的切点为，
则该切线方程为，
由于切点满足直线方程，则，
整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误；
对于D中，令，则的根有三个，如图所示，，
所以方程有3个不同根，方程和均有1个根，
故有5个零点，所以D正确．
故选：AD．
11．（6分）（2024·广东江门·一模）已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．随着增大而减小
B．曲线的横坐标取值范围为
C．曲线与直线相交，且交点在第二象限
D．是曲线上任意一点，则的取值范围为
【解题思路】首先对、分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A、B，由双曲线的渐近线与的关系判断C，由点到直线的距离公式得到，即点到直线的距离的倍，求出直线与曲线相切时的值，再由两平行线将的距离公式求出的最大值，即可判断D.
【解答过程】因为曲线，
当，时，则曲线为椭圆的一部分；
当，时，则曲线为双曲线的一部分，
且双曲线的渐近线为；
当，时，则曲线为双曲线的一部分，
且双曲线的渐近线为；
可得曲线的图形如下所示：
由图可知随着增大而减小，故A正确；
曲线的横坐标取值范围为，故B错误；
因为，所以曲线与直线相交，且交点在第四象限，故C错误；
因为，即点到直线的距离的倍，
当直线与曲线相切时，
由，消去整理得，
则，解得（舍去）或，
又与的距离，
所以，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：AD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·上海·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .
【解题思路】根据给定条件，结合椭圆的定义求出离心率.
【解答过程】令椭圆的半焦距为c，由轴，为等腰直角三角形，得，
，由椭圆的定义得，即，
所以椭圆的离心率.
故答案为：.

13．（5分）（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 2 .
【解题思路】根据两曲线在有公切线，则是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出的值，则答案可求.
【解答过程】由已知得，解得，
又，
所以得，
所以，
所以.
故答案为：2.
14．（5分）（2024·云南·模拟预测）现有标号依次为的盒子，标号为1的盒子里面有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里面取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里面取出2个球放入3号盒子，则3号盒子里面是2个红球和2个白球的概率为 .
【解题思路】设：从标号为1的盒子中取出的2个球中有个红球，，：3号盒子里面是2个红球和2个白球，则，由概率的乘法公式和全概率公式可得，再由古典概型分别求出对应结果，代入计算即可得到答案.
【解答过程】设：从标号为1的盒子中取出的2个球中有个红球，，
：3号盒子里面是2个红球和2个白球，所以，
则
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·安徽芜湖·三模）已知分别为三个内角的对边，且
(1)求；
(2)若的面积为，为边上一点，满足，求的长．
【解题思路】（1）正弦定理边化角，利用内角和定理消去，由和差公式和辅助角公式化简可得；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式列方程组求出，然后在中利用余弦定理可得.
【解答过程】（1）由正弦定理有，
因为，
所以，
化简得，
由有，可得，
因为，
所以，则．
（2）由有
又可得，
联立解得，所以为正三角形，
所以，
在中，由余弦定理得．
故的长为.
16．（15分）（2024·浙江绍兴·三模）已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）．
(1)设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
(2)若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积．
【解题思路】（1）设直线、的倾斜角分别为、（、），则，再利用斜率与倾斜角的关系，结合诱导公式求解；
（2）先求出点的坐标，进而得到双曲线在点处的切线方程为，不妨设直线为，与双曲线方程联立，结合韦达定理和三角形面积公式求解.
【解答过程】（1）由题意知直线斜率为1，直线的倾斜角，
设直线、的倾斜角分别为、（、），
直线、关于直线对称，，
．
（2）联立，
双曲线在点处的切线方程为．
不妨设直线为，，，
联立得，
整理得，将等式看作关于的方程：
两根之和，两根之积，
而其中，
由（1）得，
直线为，过定点，
又双曲线在点处的切线方程为，过点，，
．
17．（15分）（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值．
【解题思路】（1）取的中点，连接，，从而证明平面，平面，即可得到平面平面，即可得证．
（2）推导出平面，平面，平面平面，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．
【解答过程】（1）取的中点，连接，，
，为的中点，，
又，．
又平面，平面，平面．
为的中点，．
又平面，平面，平面，
又，平面，平面平面，
又平面，平面．
（2），由（1）知，，
又，为的中点，，
又，平面，平面，
又平面，，
又，，平面，平面，
又平面，平面平面，
连接，，为的中点，，
又平面平面，平面，
平面，平面，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
是与平面所成的角，即，
，设，则，，，，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设二面角的平面角为，
，
所以，即二面角的正弦值为．
18．（17分）（2024·四川南充·模拟预测）已知函数.
(1)若函数在处切线的斜率为，求实数的值；
(2)当时，恒成立，求实数的最大值；
(3)当时，证明：
【解题思路】（1）求导，利用导数值等于切线斜率构造方程，求出a即可.
（2）将a代入不等式，x和m参变分离，转化为恒成立问题，构造函数后转化为求函数最值问题即可.
（3）由（2）知， 当 时， 有 即 后进行放缩证明即可.
【解答过程】（1）因为 ，所以，
所以a=1
（2）因为 当 时， 恒成立，所以
设
则
因为
当x≥1时，有 所以函数 单调递增，故
所以函数 单调递增，
故
所以函数 单调递增，故 所以
所以实数m的最大值为2.
（3）由（2）知， 当 时， 有 即
设 取 ,所以
即 .
因为
所以 即 .
19．（17分）（2024·安徽芜湖·模拟预测）对于数列，如果存在正整数，当任意正整数时均有，则称为的“项递增相伴数列”．若可取任意的正整数，则称为的“无限递增相伴数列”．
(1)已知，请写出一个数列的“无限递增相伴数列”，并说明理由？
(2)若满足，其中是首项的等差数列，当为的“无限递增相伴数列”时，求的通项公式：
(3)已知等差数列和正整数等比数列满足：，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得为的“2024项递增相伴数列”．
【解题思路】（1）利用指数数列，构造一个加上正的常数，就可得到一个递增相伴数列，只需要检验前二项和最后三项；
（2）由于有一个是等差数列，两数列相加也是等差数列，说明另一个数列还是等差数列，通过假设，就可以表示出两个数列的通项，进而引入后三项不等式进行分析，即可求出数列通项；
（3）利用前面两小问，知道构造的数列比已知数列每项加1，再去证明即可.
【解答过程】（1）由于，我们可以取，此时恒有，
再由，当时，，
所以恒有，即满足题意.
（2）
设 ,
当为的“无限递增相伴数列”时对任意恒成立
，当时，，因为，所以，
即.
（3）证明：取，若存在这样的正整数k使得
成立，
所以，
由，得，
于是，
又因为，所以当时，，
而时，，
所以，最后说明存在正整数k使得，
由，
上式对于充分大的k成立，即总存在满足条件的正整数k.
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2025年高考数学全真模拟卷01（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·陕西西安·三模）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）（2024·湖南衡阳·模拟预测）若复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（2024·湖北武汉·一模）已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．8
4．（5分）（2024·江西九江·三模）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2024·浙江·模拟预测）清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm，下底也为正方形，内边长为50cm，斛内高36cm，那么一斗米的体积大约为立方厘米 （ ）
A．10500 B．12500 C．31500 D．52500
6．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2024·湖北武汉·模拟预测）设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的一个对称中心为 B．
C．函数为周期函数，且一个周期为4 D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·四川成都·模拟预测）已知，都是服从正态分布的随机变量，且，，其中，，则下列命题正确的有（ ）
A．
B．
C．若，，则
D．若，，，则
10．（6分）（2024·河北衡水·三模）已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数在区间上单调递减
C．过点能作两条不同直线与相切 D．函数有5个零点
11．（6分）（2024·广东江门·一模）已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．随着增大而减小
B．曲线的横坐标取值范围为
C．曲线与直线相交，且交点在第二象限
D．是曲线上任意一点，则的取值范围为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·上海·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .
13．（5分）（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 .
14．（5分）（2024·云南·模拟预测）现有标号依次为的盒子，标号为1的盒子里面有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里面取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里面取出2个球放入3号盒子，则3号盒子里面是2个红球和2个白球的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·安徽芜湖·三模）已知分别为三个内角的对边，且
(1)求；
(2)若的面积为，为边上一点，满足，求的长．
16．（15分）（2024·浙江绍兴·三模）已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）．
(1)设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
(2)若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积．
17．（15分）（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值．
18．（17分）（2024·四川南充·模拟预测）已知函数.
(1)若函数在处切线的斜率为，求实数的值；
(2)当时，恒成立，求实数的最大值；
(3)当时，证明：
19．（17分）（2024·安徽芜湖·模拟预测）对于数列，如果存在正整数，当任意正整数时均有，则称为的“项递增相伴数列”．若可取任意的正整数，则称为的“无限递增相伴数列”．
(1)已知，请写出一个数列的“无限递增相伴数列”，并说明理由？
(2)若满足，其中是首项的等差数列，当为的“无限递增相伴数列”时，求的通项公式：
(3)已知等差数列和正整数等比数列满足：，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得为的“2024项递增相伴数列”．
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