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2025年高考数学全真模拟卷02（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·山西晋中·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C．1 D．5
2．（5分）（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．“”是“”的必要条件
B．
C．
D．的充要条件是
3．（5分）（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量，则（ ）
A． B．2 C． D．3
4．（5分）（2024·四川宜宾·模拟预测）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党 知史爱国的热情，某校举办了“学党史 育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）
A．的值为0.005
B．估计这组数据的众数为75分
C．估计成绩低于60分的有250人
D．估计这组数据的中位数为分
5．（5分）（2024·贵州贵阳·三模）过点的直线与圆相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点的轨迹是（ ）
A．一个半径为10的圆的一部分 B．一个焦距为10的椭圆的一部分
C．一条过原点的线段 D．一个半径为5的圆的一部分
6．（5分）（2024·全国·模拟预测）若函数的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点P为圆弧上的动点.当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
8．（5分）（2023·四川成都·一模）已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·新疆喀什·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．是函数图象的一条对称轴
D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
10．（6分）（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ）
A．若为的中线，则
B．
C．存在直线使得
D．对于任意直线，都有
11．（6分）（2024·重庆·三模）已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．若有3个零点，则的取值范围为
C．当时，是的极大值点
D．当时，有唯一零点，且
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列是公差不为0的等差数列，，且满足成等比数列，则数列前6项的和为 .
13．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知，且，则 ．
14．（5分）（2024·浙江台州·二模）若排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有 720 种不同的排法（用数字作答），其中恰有两首歌曲相邻的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·山东青岛·三模）设三角形的内角、、的对边分别为、、且．
(1)求角的大小；
(2)若，边上的高为，求三角形的周长．
16．（15分）（2024·黑龙江·模拟预测）已知在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求在区间的单调区间和极值.
17．（15分）（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值．
18．（17分）（2024·全国·模拟预测）年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若 ，求学生甲该题得分的概率
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ 随机选一个选项 Ⅱ 随机选两个选项 Ⅲ 随机选三个选项．
若 ，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望
以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好
19．（17分）（2024·江苏苏州·模拟预测）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知．
(1)求数列、的通项公式；
(2)记点到直线（即直线）的距离为，
（I）求证：；
（II）求证：，若值与（I）相同，则求此时的最小值．
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2025年高考数学全真模拟卷02（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·山西晋中·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C．1 D．5
【解题思路】先由求出复数，从而可求出，进而求出.
【解答过程】由，得，
所以，
所以，
故选：A.
2．（5分）（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．“”是“”的必要条件
B．
C．
D．的充要条件是
【解题思路】举反例来判断ACD，利用指数函数的性质判断B.
【解答过程】对于A，当时，满足，但不满足，故“”不是“”的必要条件，故错误；
对于B，根据指数函数的性质可得，对于，即，故正确；
对于C，当时，，故错误；
对于D，当时，满足，但不成立，故错误.
故选：B.
3．（5分）（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【解题思路】对两边平方化简可得，再对平方化简后再开方即可.
【解答过程】由两边平方得，，
所以，
所以 ，
所以，
故选：D.
4．（5分）（2024·四川宜宾·模拟预测）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党 知史爱国的热情，某校举办了“学党史 育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）
A．的值为0.005
B．估计这组数据的众数为75分
C．估计成绩低于60分的有250人
D．估计这组数据的中位数为分
【解题思路】对A，根据频率和为1求解即可；对B，根据频率分布直方图的众数判断即可；对C，计算成绩低于60分的频率，进而可得人数；对D，根据成绩低于中位数的频率为0.5计算即可.
【解答过程】对A，由题意，，解得，故A正确；
对B，由直方图可得估计这组数据的众数为分，故B正确；
对C，由直方图可得成绩低于60分的频率为，故估计成绩低于60分的有人，故C正确；
对D，由A可得区间的频率分别为，
因为，，故中位数位于内.
设中位数为，则，解得，故D错误.
故选：D.
5．（5分）（2024·贵州贵阳·三模）过点的直线与圆相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点的轨迹是（ ）
A．一个半径为10的圆的一部分 B．一个焦距为10的椭圆的一部分
C．一条过原点的线段 D．一个半径为5的圆的一部分
【解题思路】设 , 根据垂径定理得到，再转化为，写出相关向量，代入化简即可.
【解答过程】设，根据线段的中点为，则，即，
所以，又，
所以，即，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆在圆内的一部分，
故选：D.
6．（5分）（2024·全国·模拟预测）若函数的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】解法一，令，可得，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，，求得的高，再根据与图象求得的高，建立方程求得结果.
解法二，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象，求得的高为，可得的边长为4即的周期为4，得解.
【解答过程】解法一 由，令，得，
所以，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，，
因为为正三角形，为的边长，为的高，
由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处，
所以的高为，
所以，
解得．
故选：A．
解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象，
设两图象的三个连续交点分别为A，B，C，连接，，，
则为正三角形，过点作，垂足为，
由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处，
所以，
所以，所以的最小正周期，即，所以．
故选：A．
7．（5分）（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点P为圆弧上的动点.当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】过点作于点，易得点位于圆弧的中点时，最大，证明面，则即为与半圆面所成角的平面角，再解即可.
【解答过程】过点作于点，
因为面底面，面底面，面，
所以平面，
则，
当且仅当，即点位于圆弧的中点时，最大，此时为的中点，
因为面底面，面底面面，
所以面，
所以即为与半圆面所成角的平面角，
在中，，
所以，
即与半圆面所成角的余弦值为.

故选：D.
8．（5分）（2023·四川成都·一模）已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】当时，，所以问题转化为，求解即可.
【解答过程】由可得，
当时，符合题意；
当时，是关于的一次函数，此时只需区间端点的函数值不小于即可，
又当时，，
当时，，
所以，即，解得，
综上，.
故选；A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·新疆喀什·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．是函数图象的一条对称轴
D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
【解题思路】A由降幂公式，辅助角公式可得答案；
B由周期计算公式可得答案；
C将代入由A选项所得化简式中可得答案；
D由函数图象平移知识可得答案．
【解答过程】Ａ选项，，故A正确；
B选项，由A选项结合周期计算公式可知最小正周期为，故B错误；
C选项，将代入，在此时得最大值，故是函数图象的一条对称轴，故C正确；
D选项，的图象向右平移个单位得，故D正确．
故选：ACD.
10．（6分）（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ）
A．若为的中线，则
B．
C．存在直线使得
D．对于任意直线，都有
【解题思路】取，两点都在第一象限, 设，，联立抛物线，利用韦达定理以及抛物线的定义来判断各项正误.
【解答过程】不妨取，两点都在第一象限，过分别作抛物线准线的垂线，垂足为，
设，，，
联立，得且，即，
所以，
则，
对于A：若为的中线，则，结合得，所以，
所以，，
此时，所以，A正确；
对于B：由求根公式，
则，所以，B正确；
对于C：若，即，明显等腰直角三角形，
此时，即，所以，解得，此时，
此时为同一点，不合题意，C错误；
对于D： ，
又，结合，都恒成立，D正确；
故选：ABD.
11．（6分）（2024·重庆·三模）已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．若有3个零点，则的取值范围为
C．当时，是的极大值点
D．当时，有唯一零点，且
【解题思路】根据导数的几何意义，可判定A正确；根据题意，转化为与的图象有3个交点，利用导数求得函数的单调性与极值，可判定B正确；当时，得到，讨论函数的单调性，结合极值点的定义，可判定C错误.当时，得到，函数单调递增，结合，可判定D正确；
【解答过程】对于A中，当时，可得，则，所以切线为A正确：
对于B中，若函数有3个零点，即有三个解，
其中时，显然不是方程的根，
当时，转化为与的图像有3个交点，
又由，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，函数取得极小值，极小值为，
又由时，，当时，且，
如下图：
所以，即实数的取值范围为，所以B正确：
对于中，当时，，可得，
令，在上单调递增，
且,所以存在使得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，又,
所以在上，即，单调递减，
在上，即，单调递增，
所以是的极小值点，所以错误．
对于D中，当时，，
设，可得，
当时，在单调递减；当时，在单调递增，
所以当时，，所以，
所以，所以函数在上单调递增，
又因为，即，
所以有唯一零点且，所以D正确；
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列是公差不为0的等差数列，，且满足成等比数列，则数列前6项的和为 .
【解题思路】设数列公差为，再根据成等比数列求解可得，进而可得的通项公式求解即可.
【解答过程】设数列公差为，由成等比数列可得，
即，即，因为公差不为0，故.
故.
故前6项的和为.
故答案为：.
13．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知，且，则 1 ．
【解题思路】利用二倍角公式，同角关系，两角和与差的正切公式变形求解．
【解答过程】由得，
,
所以，即，
又，所以，即，
所以．
故答案为：1.
14．（5分）（2024·浙江台州·二模）若排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有 720 种不同的排法（用数字作答），其中恰有两首歌曲相邻的概率为 .
【解题思路】（1）直接利用排列数计算即可；
（2）相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，计数后，利用古典概型求概率.
【解答过程】排一张有三首歌曲和三支舞蹈的演出节目单，共有种不同的排法；
记事件A: 恰有两首歌曲相邻,则事件A包含：
故.
故答案为：720；.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·山东青岛·三模）设三角形的内角、、的对边分别为、、且．
(1)求角的大小；
(2)若，边上的高为，求三角形的周长．
【解题思路】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得；
（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可.
【解答过程】（1）因为，，为的内角，所以，
因为，所以可化为：，
即，即，
因为，解得：，即．
（2）由三角形面积公式得，代入得：，
所以，由余弦定理得：，
解得：或舍去，即，
所以的周长为.
16．（15分）（2024·黑龙江·模拟预测）已知在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求在区间的单调区间和极值.
【解题思路】（1）由题意可得，解方程组可求出的值；
（2）由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出极值.
【解答过程】（1）由，得，
因为在点处的切线方程为，
所以，
所以，所以，
解得；
（2），令，
因为，所以，或，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
所以极大值为，极小值为，
综上所述，在区间上的单调递增区间为和，单调递减区间为；
极大值为，极小值为.
17．（15分）（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值．
【解题思路】（1）取的中点，连接，，从而证明平面，平面，即可得到平面平面，即可得证．
（2）推导出平面，平面，平面平面，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．
【解答过程】（1）取的中点，连接，，
，为的中点，，
又，．
又平面，平面，平面．
为的中点，．
又平面，平面，平面，
又，平面，平面平面，
又平面，平面．
（2），由（1）知，，
又，为的中点，，
又，平面，平面，
又平面，，
又，，平面，平面，
又平面，平面平面，
连接，，为的中点，，
又平面平面，平面，
平面，平面，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
是与平面所成的角，即，
，设，则，，，，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设二面角的平面角为，
，
所以，即二面角的正弦值为．
18．（17分）（2024·全国·模拟预测）年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若 ，求学生甲该题得分的概率
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ 随机选一个选项 Ⅱ 随机选两个选项 Ⅲ 随机选三个选项．
若 ，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望
以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好
【解题思路】（1）由全概率公式求解即可；
（2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出的可能取值及其概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出；
记分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出的数学威望，由题意可得，解不等式即可得出答案.
【解答过程】（1）记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”．
，
即学生甲该题得分的概率为．
（2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取，，，
， ，
，
所以的分布列为
则数学期望．
记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则，
，
，
所以
记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，
则，
，
，
所以
记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
则，
，
所以．
要使唯独选择方案Ⅰ最好，则，
解得：，故的取值范围为．
19．（17分）（2024·江苏苏州·模拟预测）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知．
(1)求数列、的通项公式；
(2)记点到直线（即直线）的距离为，
（I）求证：；
（II）求证：，若值与（I）相同，则求此时的最小值．
【解题思路】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与曲线方程求出切点的坐标，进而可得出数列、的通项公式；
（2）（I）求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出，再利用等比数列前和公式求解即得；
（II）根据（I）再结合指数函数的性质即可得解.
【解答过程】（1）曲线上点处的切线的斜率为，
故得到的方程为，
联立方程，消去y得：，
化简得：，
所以：或，
由，得到点的坐标，
由，就得到点的坐标，
所以：，
故数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以：，；
（2）（I）由（1）知：，，
所以直线的方程为：，
化简得：，
因为，
所以，
；
（II）
，
与（I）中相同，当时，此时最小值为．
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