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第六章 数列综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）（2024·四川凉山·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则公比（ ）
A． B． C．3或 D．或
3．（5分）（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2024·河南周口·模拟预测）设为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
5．（5分）（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（5分）（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（ ）
A． B． C．49 D．149
7．（5分）（2024·辽宁大连·模拟预测）已知数列的前n项的积为，，则使得成立的n的最大值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
8．（5分）（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，其中，现有以下结论：①；②；③．则正确结论的序号为（ ）
A．① B．② C．②③ D．①②③
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·山东泰安·二模）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为递减数列 D．的前5项和为
10．（6分）（2024·山西太原·二模）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．是递增数列 B．是等比数列
C．当n是偶数时， D．，，使得
11．（6分）（2024·重庆·模拟预测）已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列中的最大项为
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·河北·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，各项不等的数列是首项为2，公比为的等比数列，且，则 ．
13．（5分）（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则 .
14．（5分）（2024·四川内江·模拟预测）数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4，6，8，10，…
(2)；
(3)0.3，0.33，0.333，0.3333，…
16．（15分）（2024·湖南·模拟预测）已知数列的前项和为，正项等差数列满足，且成等比数列.
(1)求和的通项公式；
(2)证明：.
17．（15分）（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
18．（17分）（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围.
19．（17分）（2024·全国·模拟预测）定义：若对于任意的，数列满足，则称这个数列是“数列”．
(1)已知首项为1的等差数列是“数列”，且恒成立，求的取值范围．
(2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”．记，若数列是“数列”．
①求数列的通项公式．
②是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．
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第六章 数列综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】观察每项的特点，分别确定项的符号以及每一项的联系，即可找出数列的通项公式.
【解答过程】通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负，
故第项的正负可以用表示；
而，
故数列的通项可为.
故选：D.
2．（5分）（2024·四川凉山·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则公比（ ）
A． B． C．3或 D．或
【解题思路】利用等比数列通项和前n项和的基本量运算列出方程，求解即得.
【解答过程】由，
因，代入得，，
即，解得，或.
故选：D.
3．（5分）（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由递增数列定义可得，代入计算即可得解.
【解答过程】由题意可得恒成立，即，
即，又，，故.
故选：A.
4．（5分）（2024·河南周口·模拟预测）设为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【解题思路】根据题意可知，，，，，成等差数列，结合等差数列运算求解.
【解答过程】由等差数列的性质可知，，，，，，成等差数列，
且，，可知首项为4，公差为2，
所以.
故选：B.
5．（5分）（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解题思路】由题意可得，则可推出，所以数列是等比数列，即可求得答案.
【解答过程】依题意，（），，
当时，
，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故选：A.
6．（5分）（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（ ）
A． B． C．49 D．149
【解题思路】由与的关系，结合等差数列的通项公式求得，即可得到，再由并项求和法计算可得．
【解答过程】因为，
当时，，
即，
可得，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，
当时，
所以，当时也成立，
所以，
可得数列的前项之和为．
故选：B．
7．（5分）（2024·辽宁大连·模拟预测）已知数列的前n项的积为，，则使得成立的n的最大值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【解题思路】先由求出，再当时，由得，得到是以为首项，1为公差的等差数列，所以，从而求出，，利用裂项相消法求和得，结合选项即可求解.
【解答过程】令，则得，
当时，因为，所以，所以，即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，
故，所以，
当时，，
所以
，
所以，结合选项，将n的值代入检验，
则使得成立的n的最大值为2022.
故选：B.
8．（5分）（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，其中，现有以下结论：①；②；③．则正确结论的序号为（ ）
A．① B．② C．②③ D．①②③
【解题思路】①通过做差，判断差值正负，来判断和得大小关系，
②通过对变形得到，然后求和即可，
③通过得到，然后对进行放缩.
【解答过程】对①，因为，
所以
所以，即，
故①错误，
对②，由得，
所以，
所以,
因为，
所以，
所以，
所以②正确，
对③，当时，，化简得，
所以当时，，即，
所以，
所以，
所以③错误，
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·山东泰安·二模）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为递减数列 D．的前5项和为
【解题思路】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差，再逐项求解判断即可.
【解答过程】等差数列中，，解得，而，
因此公差，通项，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，为递减数列，C正确；
对于D，，所以的前5项和为
，D错误.
故选：BC.
10．（6分）（2024·山西太原·二模）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．是递增数列 B．是等比数列
C．当n是偶数时， D．，，使得
【解题思路】对于A，求出数列的前几项即可判断；对于B，等比数列的定义证明即可；对于C，由B可知，是以为首项，为公比的等比数列，求解判断即可；对于D，由C可知，，结合，所以，分类讨论判断即可.
【解答过程】对于A：由，，，所以A错误；
对于B：当时，由，，
当时，，
综上所述：所以是以为首项，为公比的等比数列，B正确；
对于C：由B可知，是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，为偶数，
所以当n是偶数时，，故C正确；
对于D：由C可知，，由，
所以，因为，
所以当时，，
当时，，而，
所以恒成立，故D错误；
故选：BC.
11．（6分）（2024·重庆·模拟预测）已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列中的最大项为
C． D．
【解题思路】由已知可得时，，时，可证数列是以为首项，为公差的等差数列，即可判断A选项，，可判断B选项；再利用裂项相消法可得，即可判断CD选项.
【解答过程】对于A，由已知，
当时，，即，，
当时，，即，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，A选项错误；
对于B，所以，，且数列单调递减，
所以数列中的最大项为，B选项正确；
对于C，，
，
所以，C选项错误；
对于D，又，所以，即，D选项正确；
故选：BD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·河北·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，各项不等的数列是首项为2，公比为的等比数列，且，则 1 ．
【解题思路】由已知结合等差数列与等比数列的通项公式即可列式求解．
【解答过程】解：由已知可得，，，，
再由，，
得，，
联立以上两式可得：，
（舍去），或，即．
故答案为：1．
13．（5分）（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则 .
【解题思路】依题意可得，记，即可得到，从而求出的通项公式，再由分组求和法计算可得.
【解答过程】因为，
所以，，且，
所以，
记，则，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
记的前项和为，
则
.
故答案为：.
14．（5分）（2024·四川内江·模拟预测）数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为 ．
【解题思路】根据已知条件得，令，通过裂项相消求得，然后代入即可求解.
【解答过程】数列满足①，
当时，，即，
当时，②，
由②①得，
数列的所有奇数项，，
数列的所有偶数项，，
综上，数列的通项公式为.
记，
所以数列的前项和为：
，
由得，即，
因为,随着的增大而增大，
故当时，刚好满足，
所以,的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4，6，8，10，…
(2)；
(3)0.3，0.33，0.333，0.3333，…
【解题思路】（1）（2）（3）分析数列给定的前几项的特征，利用观察法求出通项公式.
【解答过程】（1）各项是从4开始的偶数，因此．
（2）每一项分母可写成，分子分别比分母少1，
因此所求数列的通项公式可写为．
（3）因为数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的通项公式为，
而数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的每一项都是上面数列对应项的，
所以．
16．（15分）（2024·湖南·模拟预测）已知数列的前项和为，正项等差数列满足，且成等比数列.
(1)求和的通项公式；
(2)证明：.
【解题思路】（1）根据与之间的关系分析可知是首项为，公比为的等比数列，即可得，根据等比中项结合等差数列通项公式运算求解，即可得；
（2）分析可知是以首项，公比为的等比数列，结合等比数列求和公式分析证明.
【解答过程】（1）由得，
两式相减可得，即.
当时，，即，
则，解得，
且，可知是首项为，公比为的等比数列，
可得.
设等差数列的公差为，
因为成等比数列，则，
即，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）得，则，
可知是以首项，公比为的等比数列，
则
，
所以.
17．（15分）（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
【解题思路】（1）根据等差数列定义可求得数列的通项公式，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求出.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
∵，，
∴，
∴.
∴.
设等比数列的公比为，
若选条件①，，
由，且，
得，
∴，解得.
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
故.
若选条件②，，
令，得，
∴公比，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.
从而.
（2）因为，
所以，
两式相减，得，
即，
所以.
18．（17分）（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围.
【解题思路】（1）运用公式，已知求即可；
（2）求出，后运用错位相减求出，后结合函数单调性可解．
【解答过程】（1）①，且，
当时，代入①得；
当时，.②
①-②得，整理得，
因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以.
（2），，③
，④
③-④得，
所以，所以，且，化简得，
令，所以，
所以的最大值为，所以.
所以的取值范围为.
19．（17分）（2024·全国·模拟预测）定义：若对于任意的，数列满足，则称这个数列是“数列”．
(1)已知首项为1的等差数列是“数列”，且恒成立，求的取值范围．
(2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”．记，若数列是“数列”．
①求数列的通项公式．
②是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）由等差数列是“数列”，可得其公差，利用等差数列的前项和公式将原不等式化为对任意的恒成立，再对的范围进行分类讨论即可得的取值范围；
（2）①分别求数列中的最小项，再根据是“数列”，数列不是“数列”求的值；再分类讨论并分别检验数列是否为“数列”，可得，即‘
②根据题意得到关于的方程,并判断的大小关系，分类讨论，分别求得的值，再对结果进行检验即可得出结论.
【解答过程】（1）因为等差数列是“数列”，所以其公差．
因为，所以，
由题意，得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，恒成立，故；
当时，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
因为，所以．
综上，，
所以，
即的取值范围是．
（2）①设等比数列的公比为，则，
因为“数列”的每一项均为正整数，由得，所以且，
所以在数列中，“”为最小项，
在数列中，“”为最小项．
若是“数列”，则只需，即，
若数列不是“数列”，则，即，
因为数列的每一项均为正整数，所以，
所以或．
当时，，则，
令，则，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
当时，，则，
因为，所以数列不是“数列”，不合题意．
综上所述，数列的通项公式为；
②假设存在正整数，使成等差数列，
则，即．
由于，所以数列为递减数列．
因为，所以且至少为2，
所以．
易知，
当时，，
又，所以，这与矛盾，不合题意；
当时，，所以，即，
由于为递减数列，故有唯一解，即．
综上，存在正整数，使成等差数列．
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