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重难点03 指、对、幂数的大小比较问题【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 利用函数的性质比较大小】 2
【题型2 中间值法比较大小】 3
【题型3 特殊值法比较大小】 4
【题型4 作差法、作商法比较大小】 6
【题型5 构造函数法比较大小】 7
【题型6 数形结合比较大小】 9
【题型7 含变量问题比较大小】 12
【题型8 放缩法比较大小】 14
1、指、对、幂数的大小比较问题
指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.
【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】
1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小.
2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．
3.作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
4.估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
5.构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
6、放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
【题型1 利用函数的性质比较大小】
【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.
【解答过程】，，
，∴.
故选：A.
【变式1-1】（2024·四川自贡·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断.
【解答过程】因为在上单调递增，
所以即；
因为为增函数，故即；
因为为减函数，故即，
综上.
故选：A.
【变式1-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用指数函数单调性得到，利用指对运算和指数函数单调性得到，利用对数函数单调性得到，则比较出大小.
【解答过程】因为，且，则，
，
所以，
故选：A.
【变式1-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知 ，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用对数函数的单调性求得的范围，根据指数函数的单调性得的范围，即可比较大小.
【解答过程】因为在上单调递减，所以，即，
因为在上单调递增，所以，即，
因为在上单调递增，所以，即，
综上，.
故选：D.
【题型2 中间值法比较大小】
【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.
【解答过程】由题意可得：，
，且，则，
因为，则，
故选：B.
【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】取两个中间值和，由，，即可比较三者大小.
【解答过程】，，，
因此．
故选：C．
【变式2-2】（2024·山东潍坊·二模）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.
【解答过程】，，，
所以，
故选：A.
【变式2-3】（2024·天津北辰·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值“”分析大小即可.
【解答过程】因为在上单调递减，则，即；
又因为在上单调递减，则，即；
可得，且在上单调递增，
则，即；
综上所述：.
故选：D.
【题型3 特殊值法比较大小】
【例3】（2024·陕西商洛·模拟预测）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.
【解答过程】因为在上单调递减，所以，即.
因为在上单调递增，又，，
又，所以，故，所以.
故选：A.
【变式3-1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由对数函数单调性得，构造函数，由函数的单调性得及，即可得出判断．
【解答过程】由对数函数单调性得，，
构造函数，则，
因为和单调递增，所以单调递增，
因为，即，所以，
又，所以，即，
所以，
故选：A．
【变式3-2】（2024·宁夏银川·二模）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可.
【解答过程】因为，，
，
所以.
故选：A．
【变式3-3】（2024·天津和平·一模）设，则有（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0，可得最小，再利用得出大小.
【解答过程】由可得，
，，
下面比较，
因为，所以，
所以，
而，故，所以，
综上，.
故选：B.
【题型4 作差法、作商法比较大小】
【例4】（2023·四川成都·一模）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先根据指对函数的单调性可得，，，再作商比较的大小，从而可求解.
【解答过程】因为，，
令，而，即，所以，
又因为，所以.
故选：D.
【变式4-1】（2023·贵州六盘水·模拟预测）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用作差法，再结合对数函数的单调性分别判断和的大小关系，即可判断出的大小关系.
【解答过程】因为，所以；
又因为，所以；
综上所述：.
故选：C.
【变式4-2】（2024·四川成都·二模）若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】作差法比较的大小，利用对数的性质比较的大小.
【解答过程】，
因为，所以，即，
，，
则，即，
所以.
故选：D.
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断范围，比较它们的大小；利用作商法比较的大小，即可得答案.
【解答过程】因为函数在R上单调递增，所以．
又，所以．
因为，故在上单调递减，
所以，所以，
所以实数的大小关系为，
故选：B．
【题型5 构造函数法比较大小】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据得到c的值最大，然后构造函数，根据的单调性和得到.
【解答过程】因为，所以，，，故c的值最大．
下面比较a，b的大小．
构造函数，
显然在上单调递增．
因为，所以，所以，所以．
故选：C．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.
【解答过程】先比较和，构造函数在上单调递增，
∵，∴，即；
又∵，，且，
∴ ，∴，
∴.
故选：A.
【变式5-2】（2024·天津和平·一模）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得．
【解答过程】，，，
又，
因为函数，在上单调递减，且，又因为，
所以，所以，即，所以，
，即．
故选：C．
【变式5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.
【解答过程】设， 在上单调递增，
又，所以；
设 ， 在上单调递减，
又，所以 ，
因为，所以.
综上可知，.
故选：B.
【题型6 数形结合比较大小】
【例6】（2024·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.
【解答过程】，，即，
，
下面比较与的大小，构造函数与，
由指数函数与幂函数的图像与单调性可知，

当时，；当时，
由，故，故，即，
所以，
故选：A.
【变式6-1】（2023·江西赣州·二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，得到，画出图象，数形结合得到答案.
【解答过程】令，则，
，其中，
在同一坐标系内画出，
故
故选：D.
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知，则实数的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到，得到，求出，根据单调性得到，从而得到答案.
【解答过程】令，其在R上单调递减，
又，
由零点存在性定理得，
则在上单调递减，
画出与的函数图象，

可以得到，
又在R上单调递减，画出与的函数图象，

可以看出，
因为，故，故，
因为，故，
由得，．
综上，．
故选：D．
【变式6-3】（2024·广东茂名·统考一模）已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可.
【解答过程】解：因为均为大于0的实数，
所以，
进而将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系，
故作出函数图像，如图，
由图可知
故选：C.
【题型7 含变量问题比较大小】
【例7】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）设都是正数，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先根据指对运算，利用对数表示，再利用换底公式和对数运算，判断选项.
【解答过程】设，所以，，，
A.由对数函数的单调性可知，，可知，故A正确；
B.
，故B错误；
C.，故C正确.
D.，则，故D正确.
故选：B.
【变式7-1】（2024·江西·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【解题思路】令，，构造函数，作出函数图象，即可比大小.
【解答过程】因为，
所以，
因为，
所以，可得，
令，，
所以，
设，，，
作出它们的图象如图：
由图可知.故选项A正确.
故选：A.
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】分析可知，、、同号，分、、和、、两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系.
【解答过程】且、、均为不等于的正实数，
则与同号，与同号，从而、、同号.
①若、、，则、、均为负数，
，可得，，可得，此时；
②若、、，则、、均为正数，
，可得，，可得，此时.
综上所述，.
故选：D.
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为( )
A． B． C． D．
【解题思路】根据可得，由此可构造函数，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；变形为，利用函数与函数的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案．
【解答过程】，
故令，则，．
易知和均为上的增函数，故在为增函数．
∵，故由题可知，，即，则．
易知，，
作出函数与函数的图象，如图所示，
则两图象交点横坐标在内，即，
，
．
故选：B．
【题型8 放缩法比较大小】
【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意首先得，进一步，从而我们只需要比较的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【解答过程】，所以，
，
又因为，
所以，即.
故选：B.
【变式8-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.
【解答过程】因为，
，所以且，
，
所以.
故选：B.
【变式8-2】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到.
【解答过程】因为，
，故，
，
所以.
故选：A.
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先证明，利用比商法结合基本不等式证明，再根据对数运算性质，结合对数函数性质证明即可得结论.
【解答过程】因为，，
所以，
又，所以，所以，
所以，故，
因为，
又，所以，所以，
所以，又，
所以，
所以，
故选：A.
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】取到数计算得，，作差法比较的大小，即可得到大小，利用中间值即可比较大小.
【解答过程】∵，，
∴，
∴，又，，∴.
∵，∴；
∵，∴，
∴.
∴.
故选：D.
2．（2024·安徽宿州·一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得，即可判断大小.
【解答过程】由，
，
，
∴，
∴，，
∴.
故选：B.
3．（2024·贵州毕节·一模）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性化简，并判断范围，采用作差法结合基本不等式可判断，即可得答案.
【解答过程】由题意可得，
，，
又，
由于，
故，
综合可得，
故选：A.
4．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用指数函数，对数函数的单调性，找出中间值，让其和进行比较，从而得出结果.
【解答过程】由指数函数的单调性和值域，在上单调递增，故；
由的值域，且在上单调递增可知，；
根据对数函数的单调性，在上单调递增，故，由在上单调递减，故.结合上述分析可知：.
故选：A.
5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】引入中间变量1，再利用作差法比较的大小，即可得答案；
【解答过程】 ，，
最大，
， ，
，
故选：B.
6．（2024·陕西宝鸡·一模）已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先应用指对数转换求出,再转化成整数幂比较即可.
【解答过程】因为,所以,
即得得,
因为是上的增函数,比较的大小关系即是,的大小关系 ,
同时取15次幂,因为幂函数在上是单调递增的，比较即可,
因为 所以
即,即得.
故选：A.
7．（2023·湖南永州·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先利用对数函数单调性求出，从而确定，，作差法判断出，从而求出答案.
【解答过程】，
因为，所以，
所以，
，故，
，故，
令
所以.
故选：D.
8．（2023·陕西西安·一模）已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】在同一坐标系中作的图像,得到，借助的单调性进行判断即可.
【解答过程】在R上单调递减，
在同一坐标系中作的图像，如图：
所以，故，
故选：A.
二、多选题
9．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B，C；由对数函数的性质可得，由指数函数的性质可得，即可判断．
【解答过程】解：对于，因为，所以，所以错误；
对于，因为，所以正确；
对于，因为，所以，所以C正确；
对于D，因为，所以，所以D正确.
故选：BCD．
10．（2024·重庆·模拟预测）若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C; 由不等式的性质可判断D.
【解答过程】对于A：∵，幂函数在上单调递增，
且，∴，故选项A错误；
对于B：∵，∴函数在上单调递减，
又∵，∴，
∴，即，故B正确；
对于选项C：∵，则，幂函数在上单调递减，
且，∴，∴，故选项C正确；
对于选项D：由选项B可知：，∴，
∵，
∴，∴，故D错误.
故选：BC.
11．（2024·重庆·一模）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D.
【解答过程】由题意得，，
，，则，则，
对A，根据对数函数在上单调递增，则，故A正确；
对B，因为，即，则，故B正确；
对C，因为，根据指数函数在上单调递减，则，故C错误；
对D，因为，，
，
当且仅当时等号成立，而显然，则，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
12．（2023·北京昌平·二模）三个数中最大的数是 .
【解题思路】利用特殊值1和2作为“桥梁”比较大小即可.
【解答过程】，，，
，
即三个数中最大的数是.
故答案为：.
13．（2024·北京通州·三模）已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序）
【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质确定出的范围，即可求解.
【解答过程】因为，
，且，
，
故，
故答案为：.
14．（2023·吉林长春·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为 ．
【解题思路】由对数函数及指数函数单调性得到，，，从而得到大小关系.
【解答过程】因为在上单调递减，，
故且，所以，
因为在R上单调递减，，
所以，
，
故.
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高一·全国·随堂练习）已知，，．
(1)比较x，y的大小；
(2)比较y，z的大小．
【解题思路】（1）利用对数函数的单调性，和中间值1比较大小，即可判断；
（2）利用对数函数的单调性，以及对数式的运算，和中间值比较大小，即可判断.
【解答过程】（1）因为，所以，即
因为，所以，即，
所以；
（2），且，所以，
，所以，
所以.
16．（23-24高三·全国·对口高考）（1）比较与的大小；
（2）已知，比较与大小
【解题思路】（1）利用作商法，分类讨论即可；
（2）利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.
【解答过程】（1）因为，
所以，
所以①当时，，
所以，
②当时，，
即，
所以，
③当时，，
即，
所以，
综上所述：当，.
（2）
，
因为，所以，
所以，
由
，
所以，
所以，
即，
故.
17．（23-24高一·湖南·课后作业）比较，，的大小：
(1)已知，，，；
(2)已知，，．
【解题思路】(1)根据，求出的范围，由此判断c＜0，0＜a＜b；
(2)，，，由换底公式比较大小即可.
【解答过程】（1）∵，
，即，
，
，∴0＜，
∴，
∴c＜0＜a＜b，
；
（2），
，
，
又，
，
，
，
即a＞b＞c﹒
18．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知正实数x，y，z满足．
（1）求证：；
（2）比较的大小．
【解题思路】（1）令，利用指数式和对数式的互化求出，再利用对数的运算即可的证得结果；
（2）因为正实数x，y，z，利用作商法可证明大小关系.
【解答过程】（1）证明：令，
利用指数式和对数式的互化知，，
则，，
∴.
（2）
证明：因为正实数x，y，z，，
又，，
又，，
∴．
19．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知函数
(1)判断并证明函数在区间上的单调性；
(2)已知，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由．
【解题思路】（1）根据函数单调性的定义判断和证明即可；
（2）先比较三个数的大小，再利用函数的单调性即可比较a，b，c的大小.
【解答过程】（1）函数，
任取，且，
则 ，
因为，且，
所以，，
所以，即，
所以函数在区间上是增函数.
（2）因为，，，
所以，
由（1）可知函数在区间上是增函数，
所以，即.
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重难点03 指、对、幂数的大小比较问题【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 利用函数的性质比较大小】 2
【题型2 中间值法比较大小】 2
【题型3 特殊值法比较大小】 3
【题型4 作差法、作商法比较大小】 3
【题型5 构造函数法比较大小】 3
【题型6 数形结合比较大小】 4
【题型7 含变量问题比较大小】 4
【题型8 放缩法比较大小】 5
1、指、对、幂数的大小比较问题
指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.
【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】
1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小.
2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．
3.作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
4.估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
5.构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
6、放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
【题型1 利用函数的性质比较大小】
【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·四川自贡·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知 ，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 中间值法比较大小】
【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·山东潍坊·二模）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2024·天津北辰·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 特殊值法比较大小】
【例3】（2024·陕西商洛·模拟预测）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·宁夏银川·二模）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·天津和平·一模）设，则有（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 作差法、作商法比较大小】
【例4】（2023·四川成都·一模）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·贵州六盘水·模拟预测）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·四川成都·二模）若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 构造函数法比较大小】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·天津和平·一模）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 数形结合比较大小】
【例6】（2024·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·江西赣州·二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知，则实数的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2024·广东茂名·统考一模）已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 含变量问题比较大小】
【例7】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）设都是正数，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·江西·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为( )
A． B． C． D．
【题型8 放缩法比较大小】
【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽宿州·一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·贵州毕节·一模）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西宝鸡·一模）已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·湖南永州·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·陕西西安·一模）已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·重庆·模拟预测）若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·重庆·一模）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2023·北京昌平·二模）三个数中最大的数是 .
13．（2024·北京通州·三模）已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序）
14．（2023·吉林长春·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为 ．
四、解答题
15．（23-24高一·全国·随堂练习）已知，，．
(1)比较x，y的大小；
(2)比较y，z的大小．
16．（23-24高三·全国·对口高考）（1）比较与的大小；
（2）已知，比较与大小
17．（23-24高一·湖南·课后作业）比较，，的大小：
(1)已知，，，；
(2)已知，，．
18．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知正实数x，y，z满足．
（1）求证：；
（2）比较的大小．
19．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知函数
(1)判断并证明函数在区间上的单调性；
(2)已知，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由．
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