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重难点16 数列的综合应用【十二大题型】
【新高考专用】
【题型1 等差、等比数列的交汇问题】 3
【题型2 数列中的数学文化问题】 4
【题型3 数列的实际应用问题】 5
【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】 7
【题型5 数列中的不等式证明问题】 8
【题型6 子数列问题】 9
【题型7 数列与函数的交汇问题】 11
【题型8 数列与导数的交汇问题】 12
【题型9 数列与概率统计的交汇问题】 13
【题型10 数列与平面几何的交汇问题】 14
【题型11 数列中的结构不良题】 16
【题型12 数列的新定义、新情景问题】 17
1、数列的综合应用
数列是高考的热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，数列的综合应用问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容，以解答题的形式考查，一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等. 去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，综合性强，难度大，需要灵活求解.
【知识点1 等差、等比数列的交汇问题的解题策略】
1．等差、等比数列的交汇问题的求解思路：
(1)等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解，求解时注意对
性质的灵活运用.
(2)数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：
寻找通项公式，利用性质进行转化.
【知识点2 数列的数学文化问题】
1．数列的数学文化问题的解题步骤：
(1)读懂题意：会脱去数学文化的背景，读懂题意；
(2)构造模型：根据题意，构造等差数列、等比数列或递推关系式的模型；
(3)求解模型：利用数列知识求解数列的基本量、通项公式、前n项和等，解决问题.
【知识点3 数列的新定义、新情景问题】
1．数列的新定义、新情景问题的求解策略
(1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的
要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
(2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
【知识点4 数列的综合应用】
1．数列与不等式交汇问题的解题策略
(1)解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、 分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立、有解问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
(2)数列与不等式交汇问题的答题模板
第一步：根据题目条件，求出数列的通项公式；
第二步：根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等)求和；
第三步：利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；
第四步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.
2．数列与函数交汇问题的解题策略
数列与函数综合问题的主要类型及解题策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方
法等对式子化简变形.
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.
3．子数列问题的解题策略
子数列是数列问题中的一种常见题型，将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维.
4．数列中结构不良题的解法
(1))先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解.
(2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之处选择更适合自己的条件进行解答.
5．数列的实际应用问题的解题策略
(1)数列的实际应用中的常见模型
①数列——分期付款模型；
②数列——产值增长模型；
③数列——其他模型；
(2)解决数列的实际应用问题的解题思路
①根据题意，分析题干条件，正确确定数列模型；
②利用数列知识求出数列的基本量、通项公式等，准确求解模型；
③通过数列模型解决问题，注意不要忽视问题的实际意义.
【题型1 等差、等比数列的交汇问题】
【例1】（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1的等差数列满足：成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【变式1-2】（2024·上海奉贤·二模）已知数列和，其中，，数列的前项和为．
(1)若，求；
(2)若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式．
【变式1-3】（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【题型2 数列中的数学文化问题】
【例2】（2024·陕西安康·模拟预测）“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加密 秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现将的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为（ ）
A．1157 B．1177 C．1155 D．1122
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【变式2-3】（2024·陕西汉中·二模）图1是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 数列的实际应用问题】
【例3】（23-24高二下·河南驻马店·期中）某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2024·山西运城·一模）某工厂加工一种电子零件，去年月份生产万个，产品合格率为.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年月份的产量在去年月的基础上提高，产品合格率比去年月增加，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品数达到最大是今年的（ ）
A．月份 B．月份
C．月份 D．月份
【变式3-2】（2023·湖南郴州·三模）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为，每期利率为，期数为，到期末的本利和为，则其中，称为期末的终值，称为期后终值的现值，即期后的元现在的价值为.
现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案
方案一：一次性付全款25万元；
方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；
(1)已知一年期存款的年利率为，试讨论两种方案哪一种更好？
(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元）
参考数据：
【变式3-3】（2023·广东佛山·一模）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.
(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；
(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为、、、……、（表示高度为的方体连续堆叠层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.
【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】
【例4】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足.
①求数列的前n项和；
②若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【变式4-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【变式4-2】（23-24高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，且满足.数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，求的取值范围.
【变式4-3】（2024·重庆·模拟预测）已知，
(1)证明：当时，；
(2)令，
（i）证明：当时，；
（ii）是否存在正实数，使得恒成立，若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由．
【题型5 数列中的不等式证明问题】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【变式5-1】（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：．
【变式5-3】（2024·山东·二模）记为数列的前项和，．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
【题型6 子数列问题】
【例6】（2024·河南商丘·模拟预测）当，且时，我们把叫做数列的子数列．已知为正项等比数列，且其公比为．
(1)直接给出与的大小关系．
(2)是否存在这样的满足：成等比数列，且子数列也成等比数列？若存在，请写出一组的值；否则，请说明理由．
(3)若，证明：当，时，有．
【变式6-1】（2024·北京西城·二模）已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质．
(1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由；
(2)已知数列．
（ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值；
（ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值．
【变式6-2】（23-24高二下·安徽·阶段练习）从中选取个不同的数，按照任意顺序排列，组成数列，称数列为的子数列，当时，把的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列，称数列为的子二代数列．
(1)若的子数列是首项为2，公比为2的等比数列，求的子二代数列的前8项和；
(2)若的子数列是递增数列，且子二代数列共有项，求证：是等差数列；
(3)若，求的子二代数列的项数的最大值．
【变式6-3】（23-24高三上·北京·开学考试）给定正整数k，m，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件，则称为数列．记数列的项数的最小值为．
条件①：的每一项都属于集合；
条件②：从集合中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是的子数列．
注：从中选取第项、第项、…、第项（其中）形成的新数列称为的一个子数列．
(1)分别判断下面两个数列是否为数列，并说明理由：
数列；
数列；
(2)求证：；
(3)求的值．
【题型7 数列与函数的交汇问题】
【例7】（2024·青海·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·辽宁·二模）设等差数列的前n项和为，点在函数的图象上，则（ ）
A． B．若，则，使最大
C．若，则，使最大 D．若，则，使最大
【变式7-2】（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
【变式7-3】（2024·广东·一模）已知数列的前n项和为，n为正整数，且．
(1)求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若点在函数的图象上，且数列满足，求数列的前n项和．
【题型8 数列与导数的交汇问题】
【例8】（2024·全国·模拟预测）设整数，且，函数．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，证明：．
【变式8-1】（2024·广东东莞·三模）已知常数，设，
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)是否存在，且依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由．
(3)求证：当时，对任意，，都有．
【变式8-2】（2024·山西·一模）已知，且，函数.
(1)记为数列的前项和.证明：当时，；
(2)若，证明：；
(3)若有3个零点，求实数的取值范围.
【变式8-3】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值；
(3)已知数列的通项公式为，求证：．
【题型9 数列与概率统计的交汇问题】
【例9】（2024·黑龙江·二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2024·山东菏泽·一模）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2024·广东广州·模拟预测）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；
(2)投掷次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；
(3)设，求证：.
【变式9-3】（2024·全国·模拟预测）甲、乙两名小朋友，每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲手中的3张卡片为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片都是金色的，现在两人各从自己的卡片中随机取1张，去与对方交换，重复次这样的操作，记甲手中银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为．
(1)求的值．
(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张，求首次出现这种情况的概率．
(3)记．
（i）证明数列为等比数列，并求出的通项公式．
（ii）求的分布列及数学期望．（用表示）
【题型10 数列与平面几何的交汇问题】
【例10】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知等比数列的公比为，前项和为，，，．
（1）求．
（2）在平面直角坐标系中，设点，直线的斜率为，且，求数列的通项公式．
【变式10-1】（2024·四川达州·二模）已知抛物线，直线与交于两点，线段AB中点.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与轴交于点为原点，设的面积分别为，若成等差数列，求.
【变式10-2】（2024·安徽合肥·二模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）如图在平面直角坐标系中，点，，…，，
，，…，，若记的面积为，求数列的前项和.
【变式10-3】（2024·四川内江·模拟预测）已知椭圆，点是椭圆上的动点，是左、右焦点，是的重心，且到点与点的距离之和为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过点，与椭圆交于A，B两点．若成等比数列，求的值．
【题型11 数列中的结构不良题】
【例11】（24-25高二上·全国·课后作业）已知是等差数列，其前n项和为，，再从条件①：；条件②：.这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)数列的通项公式；
(2)的最小值，并求当取得最小值时n的值.
【变式11-1】（2024·青海西宁·二模）已知数列，_______________.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.）①数列的前项和为（）；②数列的前项之积为（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【变式11-2】（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
【变式11-3】（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若各项均为正数的数列其前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，设，求数列的通项公式和数列的前项和.
条件①：；
条件②：；
条件③：且都有成立，.
【题型12 数列的新定义、新情景问题】
【例12】（2024·河北张家口·二模）如果项数相同的数列满足，且为奇数时，；为偶数时，，其中，那么就称为“互补交叉数列”，记为的“互补交叉数列对”，为的前项和.
(1)若，且，写出所有满足条件的“互补交叉数列对"；
(2)当为“互补交叉数列”时，
（i）证明：取最大值时，存在；
（ii）当为偶数时，求的最大值.
【变式12-1】（2024·浙江·模拟预测）已知正整数，设，，…，，，，…，是个非负实数，.若对于任意，取，，，都有，则称这个数构成—孪生数组.
(1)写出8个不全相等的数，使得这8个数构成—孪生数组；
(2)求最小的，使得，，…，，，，…，构成—孪生数组；
(3)若，且，，…，，，，…，构成—孪生数组，求的最大值.
参考公式：（i），当且仅当时取等；（ii）当正偶数时，设，有；当正奇数时，设，有 .
【变式12-2】（2024·安徽芜湖·模拟预测）对于数列，如果存在正整数，当任意正整数时均有，则称为的“项递增相伴数列”．若可取任意的正整数，则称为的“无限递增相伴数列”．
(1)已知，请写出一个数列的“无限递增相伴数列”，并说明理由？
(2)若满足，其中是首项的等差数列，当为的“无限递增相伴数列”时，求的通项公式：
(3)已知等差数列和正整数等比数列满足：，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得为的“2024项递增相伴数列”．
【变式12-3】（2024·新疆·二模）我们把满足下列条件的数列称为数列：
①数列的每一项都是正偶数；
②存在正奇数m，使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数．
(1)若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是数列；
(2)若数列满足对任意正整数p，q，恒有，且，判断数列是否是数列，并证明你的结论；
(3)已知各项均为正数的数列共有100项，且对任意，恒有，若数列为数列，求满足条件的所有两位数k值的和．
一、单选题
1．（2024·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为（ ）
A．11 B．12 C．20 D．21
2．（2024·山东菏泽·二模）已知是等差数列，，在数列中，若是等比数列，则的值为（ ）
A．6072 B．
C． D．
3．（2024·四川·模拟预测）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为，则该数列的第18项为（ ）
A．188 B．208 C．229 D．251
4．（2024·青海西宁·一模）等差数列中的，是函数的极值点，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．（2024·全国·二模）数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，是数列的前项和，，，，，则（ ）
A．，且
B．当，且时，数列是递减数列
C．
D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从第一个正三角形（边长为1）P1开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，称为科赫曲线.设Pn的周长和面积分别为Ln、Sn，下列结论正确的是（ ）
①P 的边数为
②
③既不是等差数列，也不是等比数列；
④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、多选题
9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算.下列说法正确的是（ ）
A．等额本金方案，所有的利息和为2340元
B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元
C．等额本息方案，每月还款金额中的本金部分呈现递增等比数列
D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案
10．（2024·吉林·模拟预测）已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知数列，其前n项和为，若存在常数，对任意的，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（ ）
A．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列
B．若为数列，则也为数列
C．若为数列，则也为数列
D．若均为数列，则也为数列
三、填空题
12．（2024·河北·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，各项不等的数列是首项为2，公比为的等比数列，且，则 ．
13．（2024·河南驻马店·二模）定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为 .
14．（2024·江苏扬州·模拟预测）对于有穷数列，从数列中选取第项 第项 第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为 ．
四、解答题
15．（2024·湖南·模拟预测）已知数列的前项和为，正项等差数列满足，且成等比数列.
(1)求和的通项公式；
(2)证明：.
16．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围.
17．（2024·四川凉山·三模）如图，点均在x轴的正半轴上，，…，分别是以，，…，（）为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．

(1)求，，的值，并写出的通项公式（不用证明）；
(2)求数列的前n项和．
18．（2024·广西南宁·三模）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若前一天选择绿豆汤，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而前一天选择银耳羹，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．
(1)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
(2)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，证明：为等比数列；
(3)求从第1天到第10天中，该同学选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹概率的天数．
19．（2024·河南·三模）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
②求的最小值．
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重难点16 数列的综合应用【十二大题型】
【新高考专用】
【题型1 等差、等比数列的交汇问题】 3
【题型2 数列中的数学文化问题】 6
【题型3 数列的实际应用问题】 9
【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】 13
【题型5 数列中的不等式证明问题】 17
【题型6 子数列问题】 21
【题型7 数列与函数的交汇问题】 26
【题型8 数列与导数的交汇问题】 29
【题型9 数列与概率统计的交汇问题】 34
【题型10 数列与平面几何的交汇问题】 38
【题型11 数列中的结构不良题】 43
【题型12 数列的新定义、新情景问题】 47
1、数列的综合应用
数列是高考的热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，数列的综合应用问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容，以解答题的形式考查，一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等. 去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，综合性强，难度大，需要灵活求解.
【知识点1 等差、等比数列的交汇问题的解题策略】
1．等差、等比数列的交汇问题的求解思路：
(1)等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解，求解时注意对
性质的灵活运用.
(2)数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：
寻找通项公式，利用性质进行转化.
【知识点2 数列的数学文化问题】
1．数列的数学文化问题的解题步骤：
(1)读懂题意：会脱去数学文化的背景，读懂题意；
(2)构造模型：根据题意，构造等差数列、等比数列或递推关系式的模型；
(3)求解模型：利用数列知识求解数列的基本量、通项公式、前n项和等，解决问题.
【知识点3 数列的新定义、新情景问题】
1．数列的新定义、新情景问题的求解策略
(1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的
要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
(2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
【知识点4 数列的综合应用】
1．数列与不等式交汇问题的解题策略
(1)解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、 分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立、有解问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
(2)数列与不等式交汇问题的答题模板
第一步：根据题目条件，求出数列的通项公式；
第二步：根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等)求和；
第三步：利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；
第四步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.
2．数列与函数交汇问题的解题策略
数列与函数综合问题的主要类型及解题策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方
法等对式子化简变形.
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.
3．子数列问题的解题策略
子数列是数列问题中的一种常见题型，将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维.
4．数列中结构不良题的解法
(1))先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解.
(2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之处选择更适合自己的条件进行解答.
5．数列的实际应用问题的解题策略
(1)数列的实际应用中的常见模型
①数列——分期付款模型；
②数列——产值增长模型；
③数列——其他模型；
(2)解决数列的实际应用问题的解题思路
①根据题意，分析题干条件，正确确定数列模型；
②利用数列知识求出数列的基本量、通项公式等，准确求解模型；
③通过数列模型解决问题，注意不要忽视问题的实际意义.
【题型1 等差、等比数列的交汇问题】
【例1】（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1的等差数列满足：成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
【解题思路】（1）由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）令，得，两式相减得，又，即得
【解答过程】（1）设公差为d，又成等比数列，
所以，
又，即，解得或，
而时，不满足成等比数列，所以，
所以.
（2）令，
所以，
两式相减有：，
所以数列的前项和为，即，
又，所以，
所以.
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解题思路】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差，即可得到数列的通项公式；
（2）表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和.
【解答过程】（1）由题意，
在等差数列中，设公差为,
由，得，则，
又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，
∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，
∴，，
∴数列的通项公式为：．
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，，
在数列中，，
∴，
∴，
，
两式相减得
．
∴.
【变式1-2】（2024·上海奉贤·二模）已知数列和，其中，，数列的前项和为．
(1)若，求；
(2)若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式．
【解题思路】（1）先判定数列和分别为等差和等比数列，进而分别得到其通项公式，从而利用分组求和的方法得到数列的前项和．
（2）利用数列的前项和列出方程组，解之即可求得、、、，进而求得数列和的通项公式．
【解答过程】（1）解：当时，，从而是等差数列，，
，所以是等比数列，
又，则，
所以．
（2）解：是各项为正的等比数列，设其首项为，公比为，
由，可得，则，（定值）
则数列为等差数列，设其首项为，公差为，
由数列的前项和，
可得方程组，整理得，
解得：，，，且，
由，可得，则，
则数列的通项公式为；数列的通项公式为．
【变式1-3】（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解；
（2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和；
（3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解．
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，又，，，
由， ，又，，，
，，
即，．
（2）当为奇数时，，
记，则有
，
，
得：
，
，
，
当为偶数时，，
记，
，
．
（3）由与恒成立，
可得恒成立，
恒成立，即求的最大值，
设，
，
单调递增，
又，
，
．
【题型2 数列中的数学文化问题】
【例2】（2024·陕西安康·模拟预测）“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加密 秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现将的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为（ ）
A．1157 B．1177 C．1155 D．1122
【解题思路】由题意可知，求出，即可求解.
【解答过程】由题可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，得，，
所以的末位数依次为，故加密编号为1157.
故选：A.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
【解题思路】由给定的勾股弦数组序列中，，，得，由 ，得.
【解答过程】因为，所以．
在给定的勾股弦数组序列中，，所以．
易得勾股弦数组序列中“勾”的通项公式为，
所以，
故“弦”的通项公式为 ．
所以第10个勾股弦数组中的“弦”等于．
故选：C．
【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【解题思路】本题是一个探究型的题目，从图①中读取信息：白球分形成两白一黑，黑球分型成一白两黑；由图②，从第二行起，球的总个数是前一行的3倍，白球的个数是前一行白球个数的两倍加上黑球的个数，黑球的个数是前一行黑球个数的两倍加上白球的个数.由此建立递推关系求解得到结果.
【解答过程】设题图②中第行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，
依题意可得，且有，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
①；
又，，
故有，
∴为常数数列，且，所以是以为首项，1为公比的等比数列，
②；
由①②相加减得：
，；
所以．
故选：C．
【变式2-3】（2024·陕西汉中·二模）图1是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】记的长度构成的数列为，依题意可得，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，从而求出，再由面积公式计算可得.
【解答过程】记的长度构成的数列为，
由题意知，，且都是直角三角形，
所以，且，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
由，所以.
所以第个三角形的面积为.
故选：B．
【题型3 数列的实际应用问题】
【例3】（23-24高二下·河南驻马店·期中）某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意可得，结合放缩即可得解.
【解答过程】，
由，故，
，
由，
故，即有.
故选：D.
【变式3-1】（2024·山西运城·一模）某工厂加工一种电子零件，去年月份生产万个，产品合格率为.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年月份的产量在去年月的基础上提高，产品合格率比去年月增加，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品数达到最大是今年的（ ）
A．月份 B．月份
C．月份 D．月份
【解题思路】该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示，求出的表达式，分析数列，即可得出结论.
【解答过程】设从今年月份起，每月的产量和产品的合格率都按题中的标准增长，
该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示，
则，，其中，，
则从今年月份起，各月不合格产品数量为，单位：万台，
因为
，
当时，，即，此时，数列单调递增，
即；
当且时，，即，此时，数列单调递减，
即，
因此，当时，最大，故该工厂的月不合格品数达到最大是今年的月份.
故选：C.
【变式3-2】（2023·湖南郴州·三模）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为，每期利率为，期数为，到期末的本利和为，则其中，称为期末的终值，称为期后终值的现值，即期后的元现在的价值为.
现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案
方案一：一次性付全款25万元；
方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；
(1)已知一年期存款的年利率为，试讨论两种方案哪一种更好？
(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元）
参考数据：
【解题思路】（1）解法1（从终值来考虑），分别求出若全款购置，则25万元10年后的价值和若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值，两者比较即可得出答案.
解法2（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和与购置一次付款25万元相比，即可得出答案.
（2）设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为万元，，由错位相减法即可求出.
【解答过程】（1）解法1（从终值来考虑）若全款购置，则25万元10年后的价值
万元
若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为
（万元）.
因此，付全款较好.
解法2（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和为
（万元）
比购置一次付款25万元多，故购置设备的方案较好.
（2）由题意，设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为万元，
记，则
作差可得：
（万元）.
【变式3-3】（2023·广东佛山·一模）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.
(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；
(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为、、、……、（表示高度为的方体连续堆叠层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.
【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式运算求解，并检验24和19.2是否符合；
（2）根据题意求，并与310比较大小，分析判断.
【解答过程】（1）由题意可知：，注意到，
取等差数列的公差，则，
令，解得，即24为第5项；
令，解得，即19.2为第7项；
故符合题意.
（2）可以，理由如下：
由（1）可知：，
设数列的前项和为，
∵，
故新堆叠坊塔的高度可以超过310米.
【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】
【例4】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足.
①求数列的前n项和；
②若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）利用数列的递推关系求的通项公式；
（2）①利用错位相减求和即可；②设，根据数列的单调性，分n为偶数、为奇数讨论可得答案.
【解答过程】（1）因为①，
当时，，当时，②，
得，即；因为符合，所以；
（2）①，由（1）知，所以，，
所以，两式相减得，
，
所以；
②，由①得，
设，则数列是递增数列.
当n为偶数时，恒成立，所以；
当n为奇数时，恒成立，所以即.
综上，的取值范围是.
【变式4-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式可得，结合计算即可求解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消求和法可得，则，结合基本不等式计算即可求解.
【解答过程】（1）由题意知：数列是公差为的等差数列，又，
所以，整理得：，
又当时，，
因为满足上式，所以，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，可得，
故；
解法1：由，可得，
即，则，
又由，
当且仅当即时取等号，故实数的取值范围为.
解法2：由，
可得，
当，即时，，
则，故实数的取值范围为.
【变式4-2】（23-24高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，且满足.数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，求的取值范围.
【解题思路】（1）根据与的关系，作差结合等比数列定义即可求得，当时，，作差变形得，利用等差数列定义求通项公式即可；
（2）先利用错位相减法求得，然后把恒成立问题转化为恒成立，按照奇偶性分类讨论，分离参数利用数列单调性求解参数范围.
【解答过程】（1）对于数列，当时，，解得；
当时，，与原式作差可得，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以；
对于数列，当时，，解得，
时，，
与原式作差可得，
因为，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以.
（2）由（1）可知，
所以，
所以，
两式作差可得，
所以，
所以恒成立，化简得.
当时，恒成立，所以，
当时，恒成立，所以.
综上可得：.
【变式4-3】（2024·重庆·模拟预测）已知，
(1)证明：当时，；
(2)令，
（i）证明：当时，；
（ii）是否存在正实数，使得恒成立，若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）依题意可得 ，代入已知条件即可得证；
（2）（i）依题意可得，即可得到 ，利用累加法即可证明；
（ii）由（i）可知当时，，再推导出 ，假设存在符合题意的，则恒成立，再推出矛盾，即可得解.
【解答过程】（1）因为，
当时，即，
所以，即 .
（2）（i）因为，，
当时，又，所以，
当时，，所以，
即，即，
所以，即 ，
所以，，， ，
累加可得，
当时，
综上可得当时，；
（ii）由（i）可知当时，①，
又，，当时，
即，所以对，，显然有，所以，
以此类推可得对，均有，
由①式，当时，
所以，即，
又时，易知成立，所以 ，
假设存在符合题意的，则有恒成立，
即恒成立，则恒成立，
所以当时由①可得
，
即 ，又恒成立，
所以当时②恒成立，
令，，则，
所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，
所以，
所以，
所以，即，
当时上式显然不恒成立，矛盾；
综上，不存在符合题意的.
【题型5 数列中的不等式证明问题】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解题思路】（1）利用和的关系，然后构造一个等比数列求解即可；
（2）利用进行放缩，然后用等比数列的求和公式求解即可.
【解答过程】（1）因为①．
令得，解得．
当时，②，
由①②得，
即
又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
故，所以．
（2）因为，
当时，，
当时，
．
综上，．
【变式5-1】（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
【解题思路】（1）先求出数列的通项，再根据与的关系结合是等比数列，即可得解；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【解答过程】（1）因为数列是公比为2的等比数列，
又，所以.
当时，由，得，
两式相减得，
又是等比数列，所以，所以，解得，
所以，当时上式成立，
所以；
（2）由（1）知，
所以
，
又，所以.
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：．
【解题思路】（1）考查与的关系，借助与的关系的解题步骤①，②，③检验的思想方法进行求解即可.
（2）先求出，再求和，当时对进行放缩变形即可求和证明出不等式.
【解答过程】（1）当时，；
当时，①，
②．
①②得，
因为不满足上式，所以.
（2）由（1），
因为，所以，
当时，；
当时，
，
综上，对任意的，.
【变式5-3】（2024·山东·二模）记为数列的前项和，．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
【解题思路】（1）分别取和即可求得的值，对进行分奇偶讨论，即可得到的通项公式；
（2）根据题意化简得到，再对该式进行两次放缩，分别求和即可证明不等式.
【解答过程】（1）因为，
所以当时，，所以；
当时，，所以，所以.
又因为，所以.
当为奇数时，，
所以，，
作差，，所以.
当为偶数时，，
所以，，
作差，，所以.
所以， .
（2）由第1小问得， ，
所以令 ，
所以
.
所以.
下面证明：
因为，
所以.
下面证明：
因为，
所以，
所以.
所以.
【题型6 子数列问题】
【例6】（2024·河南商丘·模拟预测）当，且时，我们把叫做数列的子数列．已知为正项等比数列，且其公比为．
(1)直接给出与的大小关系．
(2)是否存在这样的满足：成等比数列，且子数列也成等比数列？若存在，请写出一组的值；否则，请说明理由．
(3)若，证明：当，时，有．
【解题思路】（1）直接通过下标的性质即可比较大小；
（2）先假设存在这样的，然后利用题设推出矛盾；
（3）利用及的定义即可得到，然后利用作差法、放缩法结合等比数列求和公式，即可证明.
【解答过程】（1）由题可知，
.
故，显然不等号取等当且仅当.
（2）不存在.
设.
假设存在这样的，则，从而，即.
而，故，即.
但成等比数列，设，则由知.
而，故，则.
这导致矛盾，所以不存在这样的.
（3）设，则由可知.
注意到，且为正项等比数列，其首项、公比分别满足，，
此时我们有
，
也就是说，
综上所述，当，时，有．
【变式6-1】（2024·北京西城·二模）已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质．
(1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由；
(2)已知数列．
（ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值；
（ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值．
【解题思路】（1）根据定义得出时，共有个子列，结合性质的内容即可判断；
（2）（ⅰ）根据是的项子列，也是的项子列，可得，又有个项子列，即可求出结果；
（ⅱ）设的首项为，末项为，记，则可得对任意，都有，故共有种不同的情况，又，所以分为奇数或者偶数两种情况进行分析即可.
【解答过程】（1）当时，共有个子列，
其中具有性质的子列有个，
故不具有性质的子列有个，
所以的具有性质的子列个数大于不具有性质的子列个数．
（2）（ⅰ）若是的项子列，
则也是的项子列．
所以．
因为给定正整数，有个项子列，
所以所有的算术平均值为．
（ⅱ）设的首项为，末项为，记．
若存在，使，则与没有公共项，与已知矛盾．
所以，对任意，都有．
因为对于，，，
所以共有种不同的情况．
因为互不相同，
所以对于不同的子列，与中至多一个等式成立．
所以．
当是奇数时，取，，
共有个满足条件的子列．
当是偶数时，取，，
共有个满足条件的子列．
综上，为奇数时，的最大值为；为偶数时，的最大值为．
【变式6-2】（23-24高二下·安徽·阶段练习）从中选取个不同的数，按照任意顺序排列，组成数列，称数列为的子数列，当时，把的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列，称数列为的子二代数列．
(1)若的子数列是首项为2，公比为2的等比数列，求的子二代数列的前8项和；
(2)若的子数列是递增数列，且子二代数列共有项，求证：是等差数列；
(3)若，求的子二代数列的项数的最大值．
【解题思路】（1）通过子二代数列的概念求数列的前8项和；
（2）通过子二代数列的概念和递增数列，以及子二代数列中共有项判断出，从而证明出是等差数列；
（3）通过构造子数列，证明互不相等，从而得到子二代数列的项数的最大值．
【解答过程】（1）由题意，得，
所以数列的前8项依次为：2，4，6，8，12，14，16，24，
因为，
所以数列的前8项和为86．
（2）因为是递增数列，且共有项，
所以，
所以，，，…，这个数互不相等，且都是中的项，
同理，，
所以，，，…，，这个数互不相等，
且都是中的项，
又中共有项，所以，，…，，
所以，
所以是等差数列．
（3）因为，当时，的结果共有个，
设，则，
若存在，，， 使得，则，
所以，
若，设，则，
是偶数，是奇数，矛盾，
所以，，
所以的4950个结果可以互不相等，
所以的项数的最大值为4950．
【变式6-3】（23-24高三上·北京·开学考试）给定正整数k，m，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件，则称为数列．记数列的项数的最小值为．
条件①：的每一项都属于集合；
条件②：从集合中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是的子数列．
注：从中选取第项、第项、…、第项（其中）形成的新数列称为的一个子数列．
(1)分别判断下面两个数列是否为数列，并说明理由：
数列；
数列；
(2)求证：；
(3)求的值．
【解题思路】（1）根据数列的定义进行判断可得结论；
（2）根据；；，；；；；；等数列都是的子数列，得到数列中一定有；；；；；等数列都为的子数列，得到数列中一定有，从而可得；
（3）从集合中取出个不同的数排成一列，可得个数列，根据数列都是的子数列中应包含这个数列中的每一个数列可知数列中一定有 ，从而可得.
【解答过程】（1），
数列和中每一项都属于集合，符合条件①，
从集合中取出个不同的元素，排成一列得到；；；；；.
根据子数列的定义可知，以上个数列都是数列的子数列，故数列是数列；
而数列不是数列的子数列，故数列不是数列.
（2），
若从集合中任取个不同的数排成一列，得到的数列都是数列的子数列，
则为了满足；；，；；；；；等数列都是的子数列，
则数列中一定有，
又为了满足；；；；等数列都为的子数列，
则数列中一定有，
则当数列为时，取到的值，
故.
（3），
从集合中取出个不同的数排成一列，可得；；；；；；
；；；，；；；；；；；
；；；；；；，共个数列.
故数列中一定有 ，
为保证数列的子数列中有和，则数列中一定有 ，
为保证数列的子数列中有，数列中一定有 ，
为保证数列的子数列中有和，则数列中一定有 ，
故.
【题型7 数列与函数的交汇问题】
【例7】（2024·青海·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】依次求出猜想,再用等比数列求和.
【解答过程】,
,
,
,
,
,
,
故选：D.
【变式7-1】（2024·辽宁·二模）设等差数列的前n项和为，点在函数的图象上，则（ ）
A． B．若，则，使最大
C．若，则，使最大 D．若，则，使最大
【解题思路】根据等差数列的前n项和，得到，可判定A错误；由时，得到，当时，可判定B错误；由，得到，可判定C错误；由，得到，可判定D正确．
【解答过程】因为等差数列的前n项和（d为公差），
所以，点在函数的图像上，
对于A中，因为在函数的图象上，
可得，，，所以无意义，所以A错误；
对于B中，若，则，此时，
当时，不存在，使最大，所以B错误；
对于C中，若，则，有最小值，无最大值，所以C错误；
对于D中，若，则，有最大值，所以D正确．
故选：D.
【变式7-2】（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
【解题思路】（1）由题意得，再利用可求出，
（2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果.
【解答过程】（1）因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，即，
当时，
，
因为满足上式，
所以；
（2）因为，
所以，
因为，所以，
所以
①，
又
②，
①+②，得，
所以.
【变式7-3】（2024·广东·一模）已知数列的前n项和为，n为正整数，且．
(1)求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若点在函数的图象上，且数列满足，求数列的前n项和．
【解题思路】
（1）由的关系可得，构造等比数列即可得解；
（2）求出，代入，裂项后分为奇数、偶数讨论求解.
【解答过程】（1）当时，，解得，
当时，由可得，
两式相减可得，，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
（2）点在函数的图象上，
所以，即，
所以，
当时，
，
当时，
综上，.
【题型8 数列与导数的交汇问题】
【例8】（2024·全国·模拟预测）设整数，且，函数．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，证明：．
【解题思路】（1）通过求导数得到函数的单调性，从而得到函数的最小值，从而；
（2）构造函数，求导数得到函数的单调性，从而得到函数的最大值，从而，所以；
（3）利用（1）（2）中的结论，，，得到， 放缩证明.
【解答过程】（1）．因为，，所以单调递增．
因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以．
（2）设，则，所以在上单调递减，
故，从而当时，．
（3）由（1）知，所以，再利用，
于是
因此，．
【变式8-1】（2024·广东东莞·三模）已知常数，设，
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)是否存在，且依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由．
(3)求证：当时，对任意，，都有．
【解题思路】（1）求时，函数的导函数及，结合导数的几何意义可得切线斜率，利用点斜式求切线方程；
（2）根据题意可得，，则，化简论证即可．
（3）令，分析可得，要证明，只需证明，
令，，结合可得结论．
【解答过程】（1）当时，，
则，
所以，
所以切线方程为；
（2）若依次成等比数列，则，
若、、成等差数列，则，
所以，
所以，
当时，成立，
当时，则，联立，得，
，即，所以，与矛盾，
所以时，存在满足条件，
当时，不存在满足条件；
（3），则，
要证明，又，
只需证明，
又
，
所以只需证明，
令，
则
所以 ，
只需证明，
令，
则恒成立，
所以函数在上单调递减，
所以，
若，则，则恒成立，
所以当时，对任意，，都有．
【变式8-2】（2024·山西·一模）已知，且，函数.
(1)记为数列的前项和.证明：当时，；
(2)若，证明：；
(3)若有3个零点，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）直接利用等差数列、等比数列的求和公式计算即可；
（2）利用导数研究的单调性与最值判定的单调性即可证明；
（3）分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及极限思想计算即可.
【解答过程】（1）由题意可知时，，
所以
；
（2）易知时，，
令，
显然时，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故，所以在上单调递增，
又，所以时，时，，
故；
（3）①若，易知定义域上为单调递增函数，不会有三个零点，不符题意；
②若时，则时，， 时，，
由（2）可知：时，，
时，，
且，则函数只有一个零点，不符题意；
③由（2）知，时，在上单调递增，也不符题意；
④若，，
令，
显然时，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
注意到，，
所以 使得，
即在和上单调递增，在上单调递减，
又时，，，，
所以在区间各存在一个零点，及也是一个零点，符合题意；
综上.
【变式8-3】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值；
(3)已知数列的通项公式为，求证：．
【解题思路】（1）构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析证明；
（2）求导可得，分、和三种情况，结合导数分析单调性即可；
（3）根据（1）（2）分析可得，进而可得，根据题意结合裂项相消法分析证明.
【解答过程】（1）由题意可知：等价于，其中．
构建，
则，
可知在上单调递减，则时，，
所以时，．
（2）由题意可知：，
则
①若，则，由可得，
可知在上单调递减，不合题意；
②若，则，
可知 上为增函数，符合题意；
③若，则，由可得，
可知在上单调递减，不合题意；
综上所述：．
（3）由（2）知：在上单调递增，
所以时，，即，
由（1）知：时，，
则，
所以时，，
令得：，
即，
因为，
所以，
由知：，又因为，
所以，
所以．
【题型9 数列与概率统计的交汇问题】
【例9】（2024·黑龙江·二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】写出甲同学回答第题时答错的概率，构造得到数列是等比数列，从而利用等比数列通项得到数列递减，由函数单调性即可得到答案.
【解答过程】因为回答第题时有答对、答错两种情况，则回答第题时答错的概率，
所以，
由题意知，则，
所以是首项为、公比为的等比数列，
所以，即.
显然数列递减，所以当时，，
所以的最小值为.
故选：D.
【变式9-1】（2024·山东菏泽·一模）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用分类讨论及通项公式的特点，再利用组合数公式和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可求解.
【解答过程】为奇数时，前项中有个奇数项，即有个正数，
，，故A错误；
为偶数时，前项中有个奇数项，即有个正数，
，
，，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
【变式9-2】（2024·广东广州·模拟预测）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；
(2)投掷次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；
(3)设，求证：.
【解题思路】（1）分析事件“三次投掷骰子后球在甲手中”包括四类情况，由独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式即得；
（2）经分析，满足递推公式，变形后转化成等比数列，即可求得通项；
（3）将（2）代入化简得，利用裂项求和法得，再对分奇偶进行讨论，利用函数单调性求出和的范围即得.
【解答过程】（1）依题意，球在甲手中时，保留在自己手中的概率为，传给乙的概率为；
球在乙手中时，传给甲的概率为，传给丙的概率为；球在丙手中时，传给甲和丙的概率都是.
则三次投掷骰子后球在甲手中包括四类的情况，
第一类情况：甲→甲→甲→甲，概率为；
第二类情况：甲→乙→甲→甲，概率为；
第三类情况：甲→乙→丙→甲，概率为；
第四类情况：甲→甲→乙→甲，概率为
由互斥事件的概率加法公式，三次投掷骰子后球在甲手中的概率为.
（2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，
故有，变形为.
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
所以数列的通项公式.
（3）由（2）可得 ，
则
① 当是奇数时，因是单调增函数，故，则，
于是，，故；
② 当是偶数时，因是单调减函数，故，则，
于是，，故.
综上，.
【变式9-3】（2024·全国·模拟预测）甲、乙两名小朋友，每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲手中的3张卡片为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片都是金色的，现在两人各从自己的卡片中随机取1张，去与对方交换，重复次这样的操作，记甲手中银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为．
(1)求的值．
(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张，求首次出现这种情况的概率．
(3)记．
（i）证明数列为等比数列，并求出的通项公式．
（ii）求的分布列及数学期望．（用表示）
【解题思路】（1）根据题意，弄清楚，表示的事件，利用互斥事件和独立事件的乘法公式计算概率；
（2）由（1）知，交换一次不会出现的情况，而，利用间接法求得答案；
（3）根据题意，可得，，由此可得与的递推关系式，变换可证是等比数列；由题意得的所有可能取值为，求出对应概率得解.
【解答过程】（1）根据题意，表示“重复2次操作，甲手中恰有2张银色卡片”的概率，
包含两种情况：第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片；
第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片.
则．
所以；
表示“重复2次操作，甲手中恰有1张银色卡片”的概率，包含两种情况：
第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换银色卡片；第一次甲交换银色卡片，
第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片，乙交换金色卡片.
则 .
（2）结合（1）的计算得，即交换一次不会出现的情况，
而，则操作两次就会首次出现0张，其概率为.
（3）根据题意可得．
．
（i） ，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
（ii）由已知及（1）（2），得的所有可能取值为．
其分布列为
0 1 2
从而.
【题型10 数列与平面几何的交汇问题】
【例10】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知等比数列的公比为，前项和为，，，．
（1）求．
（2）在平面直角坐标系中，设点，直线的斜率为，且，求数列的通项公式．
【解题思路】（1）设出等比数列的首项和公比，根据已知条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则通项公式可求；
（2）根据题意表示出斜率关系，然后采用累加法求解出的通项公式.
【解答过程】（1）因为等比数列的公比为，，，
由已知，，得，
解得或（舍），
所以，．
，
由得，所以．
所以，．
（2）由直线的斜率为，得，即，
由，，，，，
可得，
所以，
当时也满足，
所以，．
【变式10-1】（2024·四川达州·二模）已知抛物线，直线与交于两点，线段AB中点.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与轴交于点为原点，设的面积分别为，若成等差数列，求.
【解题思路】（1）联立与，得到两根之和，故，，得到答案；
（2）联立抛物线和直线方程，得到，故，根据成等差数列，得到，故，进而得到方程，求出答案.
【解答过程】（1）设，
，
，故，
，，
，
（2），∴，
故，

成等差数列，成等差数列.
，，故，
，即，
.
【变式10-2】（2024·安徽合肥·二模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）如图在平面直角坐标系中，点，，…，，
，，…，，若记的面积为，求数列的前项和.
【解题思路】（1）数列的公比为，数列的公差为，根据已知条件列方程求出首项和，的值即可求解；
（2）利用（1）的结论计算，，计算的通项，利用乘公比错位相减即可求解.
【解答过程】（1）设数列的公比为，则.
因为，，
所以，
得，又因为，
所以，可得，所以；
设数列的公差为，
因为，，
所以解得，所以；
（2）由（1）得 ，
，
故，
则，
，①
，②
由①－②得，，
，
所以.
【变式10-3】（2024·四川内江·模拟预测）已知椭圆，点是椭圆上的动点，是左、右焦点，是的重心，且到点与点的距离之和为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过点，与椭圆交于A，B两点．若成等比数列，求的值．
【解题思路】（1）根据相关点法计算得出椭圆的方程；
（2）根据直线与椭圆相交联立方程组消元利用韦达定理求解，结合若成等比数列，求得直线的斜率，利用余弦定理求解的值．
【解答过程】（1）由题意可设，
因为到点与点的距离之和为，
所以．
则点的轨迹为实轴长，焦距为的椭圆上，即
因为是的重心，可得点在线段上，且即代入点的轨迹方程可得
则椭圆C的方程为.
（2）根据题意可知直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，联立方程组，
消元可得
则
，
因为成等比数列，所以，
则，代入化简得，
（也可用的坐标表示列方程求），
所以
根据题意可知，
，
余弦定理可得
的值为．
【题型11 数列中的结构不良题】
【例11】（24-25高二上·全国·课后作业）已知是等差数列，其前n项和为，，再从条件①：；条件②：.这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)数列的通项公式；
(2)的最小值，并求当取得最小值时n的值.
【解题思路】（1）应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算即可求出通项公式；
（2）先求出，再根据二次函数的性质可得取得最小值.
【解答过程】（1）若选择①：
设等差数列的公差为d，由可得；
又，得，即，
解得，，
所以；
即数列的通项公式为.
若选择②：
设等差数列的公差为d，由可得；
又，即，得；
解得，，
所以；
即数列的通项公式为.
（2）若选择①：
由可得，，
根据二次函数的性质可得当时，为最小值，
即当时，取得最小值，且最小值为.
若选择②：
由可得，，
根据二次函数的性质可得当或时，为最小值，
即当或时，取得最小值，且最小值为.
【变式11-1】（2024·青海西宁·二模）已知数列，_______________.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.）①数列的前项和为（）；②数列的前项之积为（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【解题思路】（1）选①或②均可证明数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求出数列的通项公式；
（2）由分组求和法结合等差、等比的前项和公式求解即可.
【解答过程】（1）若选①，
当时，，即，
当时，由（I），则（II），
（I）（II）得：，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；
若选②，当时，，即，
当时，，即，
当时，符合上式，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；
（2）因为，所以，
所以，
则.
【变式11-2】（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
【解题思路】（1）根据等差数列定义可求得数列的通项公式，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求出.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
∵，，
∴，
∴.
∴.
设等比数列的公比为，
若选条件①，，
由，且，
得，
∴，解得.
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
故.
若选条件②，，
令，得，
∴公比，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.
从而.
（2）因为，
所以，
两式相减，得，
即，
所以.
【变式11-3】（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若各项均为正数的数列其前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，设，求数列的通项公式和数列的前项和.
条件①：；
条件②：；
条件③：且都有成立，.
【解题思路】（1）设出首项和公差，建立方程求解基本量，求出通项公式即可.
（2）条件①利用数列前项和和通项公式的关系求出，再利用分组求和法求和即可，条件②利用等比数列的定义求出，再利用分组求和法求和即可，条件③设出首项和公比，求出，再利用分组求和法求和即可.
【解答过程】（1）已知等差数列中，满足.
设首项为，公差为，
得到，解得，
（2）选条件①
.当时，，
当时，，
当时，，
，
是以2为首项，3为公比的等比数列，
设的前项和为，
.
选条件②
，是以2为首项，3为公比的等比数列，
，设的前项和为，
.
选条件③
且都有成立，是等比数列，且设公比为，
，，
(负根舍去)，
是以2为首项，3为公比的等比数列，
，设的前项和为，
.
【题型12 数列的新定义、新情景问题】
【例12】（2024·河北张家口·二模）如果项数相同的数列满足，且为奇数时，；为偶数时，，其中，那么就称为“互补交叉数列”，记为的“互补交叉数列对”，为的前项和.
(1)若，且，写出所有满足条件的“互补交叉数列对"；
(2)当为“互补交叉数列”时，
（i）证明：取最大值时，存在；
（ii）当为偶数时，求的最大值.
【解题思路】（1）根据所给定义列出符合题意的“互补交叉数列对"；
（2）（i）假设存在，使且为奇数，不妨设，当存在为偶数），使得，对其进行一次变换，推出矛盾；若对任意的为偶数），都有，还是进行一次变换得到与上一种情况相同的问题，即可得证；（ii）令，记为的前项和，推导出，又，可得，再列出符合题意的“互补交叉数列对"，使得，即可得解.
【解答过程】（1）因为，且时，
则满足条件的“互补交叉数列对”分别为.
（2）（i）证明：若取最大值时，存在，使，
由题意知为奇数，不妨设.
①若存在为偶数），使得，则让的值变为初始的值，让的值变为，
这样所得到的新数列也是“互补交叉数列”，
但调整后的的前项和，与题设取最大值矛盾，所以存在；
②若对任意的为偶数），都有，交换让的值变为初始的值，
再让的值变为初始的值，所得到的新数列和也是“互补交叉数列”，此时转化为①的情况；
综上可知，存在正整数，使得.
（ii）当为偶数时，令，对任意满足条件的“互补交叉数列对”，
一方面，，
因此①，
另一方面，，
因此，
即②，
记为的前项和，由①②得；
又，可得；
又“数列对”是“互补交叉数列对”，
且，
综上可知，当为偶数时，的最大值为.
【变式12-1】（2024·浙江·模拟预测）已知正整数，设，，…，，，，…，是个非负实数，.若对于任意，取，，，都有，则称这个数构成—孪生数组.
(1)写出8个不全相等的数，使得这8个数构成—孪生数组；
(2)求最小的，使得，，…，，，，…，构成—孪生数组；
(3)若，且，，…，，，，…，构成—孪生数组，求的最大值.
参考公式：（i），当且仅当时取等；（ii）当正偶数时，设，有；当正奇数时，设，有 .
【解题思路】（1）根据—孪生数组的含义写出即可；
（2）由题知，进而可以求出，再结合参考公式（i）即可证明；
（3）由题知，结合（2）可得.再利用参考公式（ii）放缩，进而求解最大值.
【解答过程】（1）根据—孪生数组的含义可知:构成—孪生数组，当然其答案不唯一;
（2）若，由题知:
所以.
由参考公式（i），有，
记是数列中奇数项的和，即，
不妨设，则有
因为，解得，当且仅当时取等.
故最小的为12.
（3）类比前问，得:.
由参考公式（ii），有
若为正偶数， .
由基本不等式，得.
当且仅当时等号成立.
所以，因为，解得;
同理，当为正奇数，解得，
由构成孪生数组，所以等号需要全部成立.
对于参考公式（ii），左边的项在右边全部出现，若等号成立，则其余项均需为0.
若，则等号直接成立.
不妨设，则，
当为正奇数时，；
当为正偶数时，若，则，不妨使，则此时仅，其余项均为0.
故.
所以
的最大值为4.
【变式12-2】（2024·安徽芜湖·模拟预测）对于数列，如果存在正整数，当任意正整数时均有，则称为的“项递增相伴数列”．若可取任意的正整数，则称为的“无限递增相伴数列”．
(1)已知，请写出一个数列的“无限递增相伴数列”，并说明理由？
(2)若满足，其中是首项的等差数列，当为的“无限递增相伴数列”时，求的通项公式：
(3)已知等差数列和正整数等比数列满足：，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得为的“2024项递增相伴数列”．
【解题思路】（1）利用指数数列，构造一个加上正的常数，就可得到一个递增相伴数列，只需要检验前二项和最后三项；
（2）由于有一个是等差数列，两数列相加也是等差数列，说明另一个数列还是等差数列，通过假设，就可以表示出两个数列的通项，进而引入后三项不等式进行分析，即可求出数列通项；
（3）利用前面两小问，知道构造的数列比已知数列每项加1，再去证明即可.
【解答过程】（1）由于，我们可以取，此时恒有，
再由，当时，，
所以恒有，即满足题意.
（2）
设 ,
当为的“无限递增相伴数列”时对任意恒成立
，当时，，因为，所以，
即.
（3）证明：取，若存在这样的正整数k使得
成立，
所以，
由，得，
于是，
又因为，所以当时，，
而时，，
所以，最后说明存在正整数k使得，
由，
上式对于充分大的k成立，即总存在满足条件的正整数k.
【变式12-3】（2024·新疆·二模）我们把满足下列条件的数列称为数列：
①数列的每一项都是正偶数；
②存在正奇数m，使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数．
(1)若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是数列；
(2)若数列满足对任意正整数p，q，恒有，且，判断数列是否是数列，并证明你的结论；
(3)已知各项均为正数的数列共有100项，且对任意，恒有，若数列为数列，求满足条件的所有两位数k值的和．
【解题思路】（1）根据数列的定义证明即可；
（2）由条件可以得到数列 是等比数列，再判断该数列是否满足数列的两个条件即可；
（3）用赋值的方法可知数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 再对 进行化简，进而构造数列，进而再根据数列为数列进行求解.
【解答过程】（1）若 是 数列, 则 都是正偶数,
设 ，则
若 , 则 除以 3 为 , 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾,
若 , 则 除以 3 为 , 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾,
若 , 则 除以 3 为 , 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾,
所以 不是 数列.
（2）在 中, 令 , 得 ,
所以数列 是首项为 8 , 公比为 8 的等比数列, 所以 ,
因为 是正偶数, 所以数列 的每一项都满足题中条件 (1),
因为,
能被 7 整除,
所以 除以 7 的余数为 1 , 即数列 的每一项被 7 除余 1 , 一定不是正整数,
所以一定不是正偶数, 即数列 的每一项都满足题中条件(2),
所以数列 是 数列.
（3）因为
,
所以 ,
,
得 .
因为 , 所以 ,
,
得 .
因为 , 所以 .
在 中,
分别令 , 得 ,
所以数列 是首项为 , 公差为 的等差数列,
所以 .
若数列 是 数列,
则 是正偶数, 除以 111 所得的商都不是正偶数,
因为 , 且 ,
所以当 为 3 或 37 的正偶数倍时, 数列 不是 数列,
所以满足条件的所有两位数 值的和为
.
一、单选题
1．（2024·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为（ ）
A．11 B．12 C．20 D．21
【解题思路】依题意得，再由列不等式求解即可．
【解答过程】设等差数列的公差为d，
由，得，得，由于，得，
由，得，
得，
得，
得，
得，且，
则n的最大值为21，
故选：D.
2．（2024·山东菏泽·二模）已知是等差数列，，在数列中，若是等比数列，则的值为（ ）
A．6072 B．
C． D．
【解题思路】求出公差，得，求出公比，得，即可求．
【解答过程】设的公差为的公比为，
则由题意可得，，即，解得，
所以
根据已知又有：，
则，得，
所以，进而，
故.
故选：C.
3．（2024·四川·模拟预测）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为，则该数列的第18项为（ ）
A．188 B．208 C．229 D．251
【解题思路】记该二阶等差数列为，，计算出，利用累加法结合等差数列求和能求出的值.
【解答过程】记该二阶等差数列为，且该数列满足，记，
由题意可知，数列为等差数列，且，
所以等差数列的公差为，所以，
所以，则，
所以，
故选：A.
4．（2024·青海西宁·一模）等差数列中的，是函数的极值点，则（ ）
A． B．1 C． D．
【解题思路】先根据极值点求出导函数为0求出，再结合等差数列得出，最后计算对数.
【解答过程】函数的极值点是，，
导函数为，所以，
等差数列中，，所以，
则.
故选：B.
5．（2024·全国·二模）数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，是数列的前项和，，，，，则（ ）
A．，且
B．当，且时，数列是递减数列
C．
D．
【解题思路】首先分别求奇数项和偶数项的通项公式，再根据通项公式，判断选项.
【解答过程】由，所以，
奇数项的首项为，公比，偶数项的首项，公比，
所以，，
A. ，，即，当时，不成立，故A错误；
B.，，，所以当，且时，数列不是递减数列，故B错误；
C.，故C错误；
D.，
，故D正确.
故选：D.
6．（2024·全国·模拟预测）已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】对n分奇数与偶数讨论，求出数列与数列的公共项，利用裂项相消法求和.
【解答过程】因为数列是正奇数数列，对于数列，当为奇数时，设，则，为奇数；当为偶数时，设 ，则，为偶数，所以，
，
所以，
故选：D．
7．（2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解题思路】由与的关系且为等差数列，求出，由，得，构造函数，由在时恒成立，求实数x的取值范围.
【解答过程】因为，时，，
时，，
所以，，，
因为为等差数列，所以，，
从而，，
所以，即，
则当时，恒成立，
，解得或，
只有选项A符合题意，
故选：A.
8．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从第一个正三角形（边长为1）P1开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，称为科赫曲线.设Pn的周长和面积分别为Ln、Sn，下列结论正确的是（ ）
①P 的边数为
②
③既不是等差数列，也不是等比数列；
④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解题思路】设每个图形的边数为，写出，，，，，可判断①；求得，可判断②；根据等比数列求得，根据迭代累加可得，可判断③④．
【解答过程】设每个图形的边数为，由题意可得，，，，，…,，故①正确；
，故②正确；
，
第一个图形的面积即正三角形的面积，
从第1个图形到第2个图形，边数增加了，同时每条边上多了一个小三角形，这个小三角形的面积是原图形的，
所以，，
以此类推，第个图形的面积为，
依次迭代，则
，
所以
，故，，故④正确．
，可得既不是等差数列，也不是等比数列，故③正确
故选：D．
二、多选题
9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算.下列说法正确的是（ ）
A．等额本金方案，所有的利息和为2340元
B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元
C．等额本息方案，每月还款金额中的本金部分呈现递增等比数列
D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案
【解题思路】对于AB，根据等额本金的还款方案分析计算即可，对于C，等额本息的还款方案分析判断，对于D，通过比较两种还款方案的优劣进行判断.
【解答过程】对于A，利息和为（元），故A正确；
对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元，本息和应为10030元，故B正确；
对于C，设第个月贷款利息为，偿还本金为，为贷款总额，
则，，则，
，则，
同理得，，……，，
所以数列是以为公比的递增等比数列，所以C正确;
对于D，由选项C可知，，得，
所以每月还款的本息和为，
所以等额本息还款利息和为
两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误.
故选：ABC.
10．（2024·吉林·模拟预测）已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先由等差数列的条件求得通项公式，进而求得，，可判断AC，再根据，的正负情况判断BD.
【解答过程】设等差数列的公差为，则，，
，因为是与的等比中项，所以，
即，解得或，又因为，所以，
所以，故A正确；
，
令，则，又因为，所以，此时，
即只有时，且，除此之外，
所以成立，故B正确；
，故C错误；
因为只有时，，除此之外，所以的最小值为，
又时，，所以的最大值为，
所以成立，故D正确.
故选：ABD.
11．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知数列，其前n项和为，若存在常数，对任意的，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（ ）
A．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列
B．若为数列，则也为数列
C．若为数列，则也为数列
D．若均为数列，则也为数列
【解题思路】对A，根据题意可得，利用数列的定义求解判断；对B，举反例不合题意；对C，根据条件得，结合数列的定义和绝对值三角不等式可判断；对D，由数列是数列，可得，，结合绝对值三角不等式可证，得解.
【解答过程】对于A，，于是，
，故A正确；
对于B，若，显然数列是数列，，
但，所以数列不是数列，故B错误；
对于C，因为数列是数列，
所以存在正数，对于任意的，
有，即，
所以
，所以数列是数列，故C正确；
对于D，若数列是数列，
则存在正数，对任意的，有
，，
因为
，
同理可得，记，，
则有
，所以数列也是数列，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·河北·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，各项不等的数列是首项为2，公比为的等比数列，且，则 1 ．
【解题思路】由已知结合等差数列与等比数列的通项公式即可列式求解．
【解答过程】解：由已知可得，，，，
再由，，
得，，
联立以上两式可得：，
（舍去），或，即．
故答案为：1．
13．（2024·河南驻马店·二模）定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为 .
【解题思路】利用二次函数的性质求解析式，再利用数列的递推思想构造等比数列，即可求和，从而用数列的单调性来求出最小值.
【解答过程】由二次函数最低点为可知：，
又，所以，
则.由题意得，
又由，得，
因为，所以，
即，又，
所以，则，即，
故是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
令.，则，
故当时，，当时，，
故.
故答案为：.
14．（2024·江苏扬州·模拟预测）对于有穷数列，从数列中选取第项 第项 第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为 2016 ．
【解题思路】求出和式中原数列中各项出现的次数即可得解.
【解答过程】数列中的每一项，含有一个项的子列有个，含有两个项的子列有个，
含有三个项的子列有个，含有四个项的子列有个，含有五个项的子列有个，含有六个项的子列有个，
因此和式中，数列中的每一项，都出现次，
所以所求和为.
故答案为：2016.
四、解答题
15．（2024·湖南·模拟预测）已知数列的前项和为，正项等差数列满足，且成等比数列.
(1)求和的通项公式；
(2)证明：.
【解题思路】（1）根据与之间的关系分析可知是首项为，公比为的等比数列，即可得，根据等比中项结合等差数列通项公式运算求解，即可得；
（2）分析可知是以首项，公比为的等比数列，结合等比数列求和公式分析证明.
【解答过程】（1）由得，
两式相减可得，即.
当时，，即，
则，解得，
且，可知是首项为，公比为的等比数列，
可得.
设等差数列的公差为，
因为成等比数列，则，
即，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）得，则，
可知是以首项，公比为的等比数列，
则
，
所以.
16．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围.
【解题思路】（1）运用公式，已知求即可；
（2）求出，后运用错位相减求出，后结合函数单调性可解．
【解答过程】（1）①，且，
当时，代入①得；
当时，.②
①-②得，整理得，
因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以.
（2），，③
，④
③-④得，
所以，所以，且，化简得，
令，所以，
所以的最大值为，所以.
所以的取值范围为.
17．（2024·四川凉山·三模）如图，点均在x轴的正半轴上，，…，分别是以，，…，（）为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．

(1)求，，的值，并写出的通项公式（不用证明）；
(2)求数列的前n项和．
【解题思路】（1）结合图象，通过计算点的坐标，依次求出，推测出数列通项,再运用等差数列的定义证明为等差数列，求出其通项；
（2）写出的表达式并化简，运用裂项相消法求和即得.
【解答过程】（1）第一个等边三角形顶点坐标代入得，
将点坐标代入，解得，
将点坐标代入解得，故推测：.
下面提供证明：
依题意，点，（）在上，
可得，①；
又在上，
可得，②，
由②-①，，因，则得，，（），
即为首项是，公差是的等差数列，故.
（2）由（1）得，
故
．
18．（2024·广西南宁·三模）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若前一天选择绿豆汤，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而前一天选择银耳羹，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．
(1)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
(2)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，证明：为等比数列；
(3)求从第1天到第10天中，该同学选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹概率的天数．
【解题思路】（1）利用条件概率公式计算即得；
（2）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得；
（3）由（2）求出数列的通项公式，再分奇偶解不等式得解．
【解答过程】（1）设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹，
根据题意得，，
所以．
（2）设表示第天选择绿豆汤，则，
根据题意得，，
由全概率公式得， ，
即，整理得，，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（3）由（2）得，，
由题意，只需，即，
则，即，
显然必为奇数，为偶数时不成立，
当时，有，
当时，显然成立，
当时，，不成立，
由单调递减得，时，也不成立，
综上，该同学只有1天选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹的概率．
19．（2024·河南·三模）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
②求的最小值．
【解题思路】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式及前项和，再利用定义判断即得.
（2）①根据给定条件，可得，再按，探讨，当时，，又按且讨论得解；②由定义，消去结合基本不等式得，再迭代得，借助正项数列建立不等式求解即可.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，由，得，
解得，则，
于是，即，
所以数列具有性质．
（2）①由数列具有性质，得，又等比数列的公比为，
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
当时，，而，整理得，
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
若，则，当时，恒成立，满足题意；
当且时，，解得，与为任意正整数相矛盾；
所以.
②由，得，即，
因此，即，
则有，
由数列各项均为正数，得，从而，即，
若，则，与为任意正整数相矛盾，
因此当时，恒成立，符合题意，
所以的最小值为4．
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