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重难点18 球的切、接问题【十大题型】
【新高考专用】
【题型1 定义法求外接球问题】 4
【题型2 补形法求外接球问题】 7
【题型3 截面法求外接球问题】 9
【题型4 棱切球模型问题】 13
【题型5 内切球模型问题】 15
【题型6 多球相切问题】 19
【题型7 外接球之二面角模型】 23
【题型8 与球的切、接有关的最值问题】 27
【题型9 与球的切、接有关的截面问题】 31
【题型10 多面体与球体内切外接综合问题】 35
1、球的切、接问题
球的切、接问题是历年高考的重点、热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决.
【知识点1 正方体与球、长方体与球】
1．正方体与球的切、接问题
(1)内切球：内切球直径2R=正方体棱长a.
(2)棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长.
(3)外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长.
2．长方体与球
外接球：外接球直径2R=体对角线长( a,b,c分别为长方体的长、宽、高).
【知识点2 正棱锥与球】
1．正棱体与球的切、接问题
(1)内切球：(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高.
(2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，(正
棱锥外接球半径为R，高为h).
【知识点3 正四面体的外接球、内切球】
1．正四面体的外接球、内切球
若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则，，
，.
【知识点4 正三棱柱的外接球】
1．正三棱柱的外接球
球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心.
.
【知识点5 圆柱、圆锥的外接球】
1．圆柱的外接球
(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径).
2．圆锥的外接球
(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).
【知识点6 几何体与球的切、接问题的解题策略】
1．常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
2．空间几何体外接球问题的求解方法：
空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：
(1)定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，
确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
(2)补形法：若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般
把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.
(3)截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线
作截面，把空间问题转化为平面问题求解.
3．内切球问题的求解策略：
(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.
(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.
【题型1 定义法求外接球问题】
【例1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用余弦定理先求出底面三角形的外接圆半径，再利用为三棱锥的高，为外接球半径），即可求解．
【解答过程】在中，，，，
由余弦定理可得，
即，所以，
设的外接圆半径为，
则，所以，
平面，且，
设三棱锥外接球半径为，
则，即，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故选：B．
【变式1-1】（2024·海南·模拟预测）已知正方体的棱长为2，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】画出图分析出球心为两个面斜边中点的垂线的交点，然后利用勾股定理求球的半径即可求解.
【解答过程】如图：
四面体 的面是直角三角形，
为面与的中心，所以面，
因为斜边的中点是三角形外心，所以球心在的直线上，
面也为直角三角形，分别为与的中点，所以，
面，所以面，
因为斜边的中点是三角形外心，所以球心在的直线上，
故球心为直线与直线的交点，
正方体的棱长为2，
所以球的半径为，
所以四面体的外接球的表面积为：.
故选：D.
【变式1-2】（2024·河南周口·模拟预测）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出圆锥的侧面展开图的圆心角，再由此求出圆锥的底面圆半径和高，然后可求外接球的半径，由此求得圆锥的外接球的面积.
【解答过程】设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由题意可知，，解得，
设圆锥的底面圆半径为，则，所以，
则该圆锥的高为，
设该圆锥的外接球的半径为，由球的性质可知，，
解得，所以该圆锥的外接球的面积为.
故选：C.
【变式1-3】（2024·青海·二模）如图，已知在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，底面积为，且，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】取的中点为，即可说明点为梯形外接圆的圆心，再证明平面，过的中点作交于点，则平面，即可得到为四棱锥外接球球心，外接球半径为，从而求出表面积.
【解答过程】取的中点为，因为，等腰梯形的面积为，
所以梯形的高为，所以，则，所以，连接、，
所以、为等边三角形，点为梯形外接圆的圆心，
连接，在中，根据余弦定理得，即，解得.
因为，，所以 ，所以.
因为，，平面，所以平面，
过的中点作交于点，则平面，且为的中点，
所以点为外接圆圆心，所以为四棱锥外接球球心，
所以外接球半径为，故表面积.
故选：D.
【题型2 补形法求外接球问题】
【例2】（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）在空间直角坐标系中，已知，则四面体ABCD外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先由四点的坐标，确定几何体的关系，利用补体法，求四面体外接球的半径，即可求球的表面积.
【解答过程】根据已知4个点的空间直角坐标可得，平面 ，，
所以四面体ABCD可以补成长、宽、高分别为4，3，2的长方体，
所以四面体ABCD外接球的半径 ，
所以四面体ABCD外接球的表面积为．

故选：A.
【变式2-1】（2024·江西·模拟预测）现为一球形玩具设计一款球形的外包装盒（盒子厚度忽略不计）．已知该球形玩具的直径为2，每盒需放入4个玩具球，则该种外包装盒的直径的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据外包装盒的直径最小得出四个球两两外切，结合外接球的知识可得答案.
【解答过程】当外包装盒的直径最小时，四个球两两外切且内切于包装盒这个大球，
所以大球的半径是棱长为2的正四面体的外接球半径与小球半径的和，
把棱长为2的正四面体补形为棱长为的正方体，则正四面体的外接球就是正方体的外接球，
其半径为，
所以外包装盒的直径的最小值为.
故选：D.
【变式2-2】（2024·重庆·模拟预测）已知四面体ABCD中，，若四面体ABCD的外接球的表面积为7，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解题思路】将四面体放入长方体中，如图，设长宽高分别为，由题意列方程求出，再由三棱锥的体积公式求解即可.
【解答过程】将四面体放入长方体中，如图，
设长宽高分别为，由
，
故选：A.
【变式2-3】（2024·四川雅安·模拟预测）如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，把多面体放在棱长为的正方体中，结合正方体的结构特征确定球心，求出球半径作答.
【解答过程】把该多面体放入正方体中，如图，
由于多面体的棱长为，则正方体的棱长为，
因此该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得，于是得该多面体的外接球球心是正方体体对角线中点，
该多面体外接球半径等于球心到一个顶点的距离，即正方体面对角线的一半，则，解得，
所以经过该多面体的各个顶点的球的表面积.
故选：A.
【题型3 截面法求外接球问题】
【例3】（2024·江苏南通·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可.
【解答过程】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，

因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，
则，，，
因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切，
，则，则，
过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则，
则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，

即该正四棱台内半径最大的球半径，球的表面积为.
故选：D.
【变式3-1】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与的上、下底面及侧面均相切，则的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据圆台的轴截面图，利用切线长定理结合圆台和球的结构特征求解，，然后代入圆台体积公式求解即可.
【解答过程】如图，设的上、下底面圆心分别为，，则的内切球的球心O一定在的中点处．
设球O与的母线AB切于M点，则，，
，，所以．过A作，垂足为G，
则，由，得，所以，
所以的体积为．
故选：A．
【变式3-2】（2024·湖北·二模）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由已知和正弦定理，勾股定理求出圆锥底面圆的半径和高，再由三角形面积相等求出圆锥内切球半径，然后由球的表面积公式和圆锥的侧面积公式求出结果即可.
【解答过程】因为三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，
所以为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长，
由正弦定理可得底面圆的半径，
所以圆锥的高，
如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径，
轴截面三角形面积为，
所以内切球半径，
内切球的表面积为，
圆锥的侧面积为，
所以其和为，
故选：C.
【变式3-3】（2024·四川成都·三模）已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球的表面上，则该四棱台的高为（ ）
A．2 B．8 C．8或12 D．2或12
【解题思路】做出截面，根据圆心是否位于截面内部分两种情况，根据线段关系即可求解.
【解答过程】

如图，做出截面，
当圆心位于截面内部时，

取中点，中点，连接、和，
易得点在上，由题意得，，，
因为，，
所以，
当不在截面内时，

同第一种情况理可得，，
所以，综上所述：该四棱台的高为2或12.
故选：D.
【题型4 棱切球模型问题】
【例4】（2024·全国·模拟预测）正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将正四面体补形为正方体，此时正方体的内切球即为正四面体的棱切球，利用球的体积公式求解即可.
【解答过程】如图，将棱长为的正四面体补形为棱长为的正方体，则正方体的内切球即为正四面体的棱切球，所以正四面体的棱切球的半径为，
所以棱切球的体积为．
故选：C．
【变式4-1】（2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】取中点，根据空间向量的数量积运算得，判断的最大值即可求解.
【解答过程】取中点，可知在球面上，可得，
所以，

点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，当为直径时，，
所以的最大值为.
故选：B.
【变式4-2】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ．
【解题思路】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值.
【解答过程】
设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心，
则外接球的半径，，
所以，
因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径，
所以.
故答案为：.
【变式4-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为 .
【解题思路】设，外接球的半径为，根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球，利用勾股定理求解半径，即可由球的表面积公式即可求解．
【解答过程】设，外接球的半径为，
该多面体是由棱长为的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，
如图，过，，三点的截面为正六边形，其面积，即，
根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球，
故，即，
故该多面体的棱切球的表面积为．
故答案为：．
【题型5 内切球模型问题】
【例5】（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的交点，平面，，则四棱锥的内切球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】求出四棱锥的高和侧棱长，再利用四棱锥的体积与其内切球半径之间的关系求四棱锥的内切球半径即可得解.
【解答过程】因为四边形为菱形，，所以是正三角形，
则.
因为平面平面，所以.
设，则，.
在中，由，
可得，解得，
所以.
因为为的中点，，所以.又，，
所以，同理可证，，
所以.
设四棱锥的内切球的半径为，则，
所以，
所以四棱锥的内切球的体积，
故选：C.
【变式5-1】（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据正四棱锥的性质结合线面垂直的判定定理、性质定理找出内切球的半径，利用等面积法求出半径的大小，即可求解.
【解答过程】如图，连接交于点，连接，
取的中点，连接，
因为,所以,
,
由可得平面，
且，所以平面，
过作，
因为平面，平面，所以,
且平面，所以平面，
所以为该正八面体结构的内切球的半径，
在直角三角形中，，
由等面积法可得，,解得，
所以内切球的表面积为，
故选:D.
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，探讨圆台两底半径与母线的关系，再利用圆台侧面积公式及圆台、球的体积公式求解即得.
【解答过程】设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，高为，内切球的半径为，
显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则，，
由，整理得，而，解得，，
因此圆台的高，，
则圆台的体积，
内切球的体积，所以.
故选：D.
【变式5-3】（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半径计算作答.
【解答过程】如图，取中点，中点，连接，，，
因是正三角形，则，又是矩形，有，
而平面平面，平面平面，平面，平面，
因此平面，平面，
又，则平面，平面，则，，
，平面，则平面，又平面，
所以，而，则，显然，
由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆，
此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形，
设，又，，则球的半径，
又四棱锥的表面积为，
由，解得，
，，
所以.
故选：C.
【题型6 多球相切问题】
【例6】（2024高三·全国·专题练习）在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这两个小球的表面积之和最大为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意确定两个小球的表面积之和最大的情况，如图，根据勾股定理可得，则，解出r，结合球的表面积公式计算即可求解.
【解答过程】当两个小球的表面积之和最大时两小球相切，且两小球均与半球形封闭容器相切，
此时设两小球的球心分别为，，半球形封闭容器的底面圆心为O，
作出过，，O的截面如图所示，连接并延长，交半圆于点A，
则A为圆与半圆的切点，设两个小球的半径为r，
得，所以，解得，
所以这两个小球的表面积之和的最大值为．
故选：A.
【变式6-1】（2024·河北沧州·模拟预测）某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包装盒（盒子厚度忽略不计），已知该球形玩具的直径为2，每盒需放入10个塑料球，则该种外包装盒的棱长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先确定正四面体的棱长与高还有内切球半径的关系，然后根据当a取得最小值时，从上到下每层中放在边缘的小球都与正四面体的面都相切，从而计算出棱长的最小值.
【解答过程】设正四面体的棱长为，高为，内切球半径为
则，可得，
又，可得，

即正四面体的高等于其棱长的，正四面体的内切球的半径等于其棱长的．
如图，10个直径为2的小球放进棱长为a的正四面体中，构成三棱锥的形状，有3层，从上到下每层的小球个数依次为1，3，6．

当a取得最小值时，从上到下每层中放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体的底面相切，任意相邻的两个小球都外切，位于底层正三角状顶点的所有相邻小球的球心连线为一个正四面体，底面的中心为，与面的交点为，
则该正四面体的棱长为，
可求得其高为，，
所以正四面体的高为，
进而可求得其棱长a的最小值为．
故选：C.
【变式6-2】（2024·湖南益阳·模拟预测）如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】依题意画出直观图，则四个金属原子的球心的连线所围成的图形为正四面体，设正四面体的棱长为 ，高为 ，外接球球心为，为正三角形的中心，求出外接球的半径，即可得到，从而得解.
【解答过程】由题意知，四个金属原子的球心的连线所围成的图形为如图所示的正四面体，
设正四面体的棱长为 ，高为 ，外接球球心为，为正三角形的中心，
则必有平面且，，三点共线，
在正三角形中，易求得，
在中，由，可得，
在中，由，得，
解得，
由题意得，所以，
所以．
故选：D．
【变式6-3】（2024·浙江温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程 高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊 平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.
【解答过程】如图，取的中点，连接，，则，，
过点作⊥底面，垂足在上，且，
所以，故，
点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥，
设最大球的半径为，则，
因为∽，所以，即，解得，
即，则，故
设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为，
连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为，
则，则，
又，所以，解得，
又，故，解得，
所以，
模型中九个球的表面积和为.
故选：B.
【题型7 外接球之二面角模型】
【例7】（2024·陕西宝鸡·三模）与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据外接球球心的性质确定球心的位置为过正与的中心的垂线上，再构造直角三角形求解球的半径，即可求解．
【解答过程】解：由题，设正与的中心分别为，，
根据外接球的性质有平面，平面，
又二面角的大小为，故，
又正与的边长均为2，
故，
故，
，
，
故，
故，又，
故球的半径，
故球的表面积为．
故选：C．
【变式7-1】（2024·山东·模拟预测）如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形，且，，现将沿折起，使得点到达点处，且二面角的大小为，连接，如图②，若三棱锥的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】过点作且，连接、，即可得到是二面角的平面角，从而求出，即可得到，则平面，则为三棱锥的外接球的直径，即可求出外接球的表面积.
【解答过程】过点作且，连接、，则四边形为平行四边形，
所以，因为，所以，又，
所以是二面角的平面角，即，
在中，由余弦定理可得，
即，所以，所以，
又，，所以，，平面，
所以平面，平面，所以，
所以为三棱锥的外接球的直径，
所以外接球的半径，
所以外接球的表面积.
故选：B.
【变式7-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，是的中点，沿将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先证明平面，利用二面角的定义可得，利用勾股定理可得的外接圆直径为，将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径，再利用球体表面积公式可得出答案.
【解答过程】如图所示，
折叠前，由于是边长为4的正三角形，是的中点，则，
折叠后，则有，，因为，所以平面，
因为二面角为直二面角，，
则二面角的平面角为，且，，
可将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径，即，解得，从而三棱锥外接球的表面积为．
故选：B.
【变式7-3】（2024·上海徐汇·二模）三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ）
①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为.
A．①②都是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①②都是假命题
【解题思路】根据球的截面圆的性质可得出二面角，利用直角三角形性质判断外心和外心的位置，利用垂直关系证明是中点，利用体积公式判断①，根据为定长判断点轨迹是圆，判断②．
【解答过程】由题意知，故,
设外心为，则为BC的中点，设外心为，如图，
则平面，平面，
平面，平面，
，，
，平面，平面，
又因为，则平面，即，，，四点共面，
则平面，
连接，则为二面角的平面角，
二面角的大小为，，
而，，因为平面，平面，
故 ，而，则，
在中，，
则，故，即三点共线，
且是的中点；
则，故①是真命题；
又 ，
点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
轨迹长度为，故②真命题．
故选：A．
【题型8 与球的切、接有关的最值问题】
【例8】（2024·湖北·模拟预测）已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分别为和的中点，平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，求出圆的半径，利用圆心到直线距离求点M到直线距离的最小值.
【解答过程】如图，设四棱锥的内切球的半径为r，取的中点为H，的中点为N，连接，，，

球O为四棱锥的内切球，
底面为矩形，侧面为正三角形且垂直于底面，
则平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，
此圆为的内切圆，半径为r，与，分别相切于点E，F，
平面平面，交线为，平面，
为正三角形，有，平面，
平面，，
，，则有，，，
则中，，解得.
所以，四棱锥内切球半径为1，连接.
平面，平面，，
又，平面，，
平面，平面，可得，
所以内切球表面上一点M到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径，
又.
所以四棱锥内切球表面上的一点M到直线的距离的最小值为.
故选：B.
【变式8-1】（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥中，底面四边形为正方形，四棱锥外接球的表面积为，则当四棱锥的体积最大时，（ ）
A． B．2 C． D．3
【解题思路】由题意，如图，确定四棱锥的体积最大的情况，设，根据球的表面积公式和勾股定理、锥体的体积公式可得（），结合基本不等式计算即可求解.
【解答过程】因为四棱锥的底面为正方形，
所以当点在底面的射影为底面正方形的中心，且球心在线段上时，
四棱锥的体积最大.设四棱锥外接球的半径为，
则，得，设，则，
由，得，所以，
则，
令，则，
所以，
当且仅当时取等号，此时，即.
故选：C.
【变式8-2】（2024·福建泉州·一模）泉州花灯技艺源于唐朝中期从形式上有人物灯、宫物灯、宫灯，绣房灯、走马灯、拉提灯、锡雕元宵灯等多种款式．在2024年元宵节，小明制做了一个半正多面体形状的花灯，他将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，如图所示．已知该半正多面体的体积为，M为的中心，过M截该半正多面体的外接球的截面面积为S，则S的最大值与最小值之比（ ）
A． B． C．3 D．9
【解题思路】利用半正多面体和中心对称性，确定外接球球心和半径，再去找到最大截面圆和最小截面圆的半径，即可求出它们的比值.
【解答过程】把这个半正多面体补全为正方体，再设该正方体的边长为，
则每个截去的小三棱锥的体积为，
所以该半正多面体的体积：，解得，
由图可知，半正多面体的外接球半径是，
由正方体的性质易证明平面平面：
又因为在正方体中平面，所以平面，
所以过点截外接球的最小截面圆的半径是，最大截面圆的半径是，
即的最小值比最大值等于，则最大值比最小值等于3.
故选：C.
【变式8-3】（2024·福建南平·模拟预测）某雕刻师在切割玉料时，切割出一块如图所示的三棱锥型边料，测得在此三棱锥中，侧面底面，且，该雕刻师计划将其打磨成一颗球形玉珠，则磨成的球形玉珠的直径的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用等体积法求得三棱锥内切球的直径，从而确定正确答案.
【解答过程】如图，设的中点为，连接，因为 ，
所以，所以，且，
又侧面底面且交线为，平面，所以平面，
由于平面，所以，
由于平面，所以平面，
又，所以，
因为，所以．
当球形玉珠为三棱锥的内切球时，球形玉珠的直径最大．
设三棱锥的表面积为，内切球的半径为，则，
又 ，
，故，
所以，
所以磨成的球形玉珠的直径的最大值为．
故选：C.
【题型9 与球的切、接有关的截面问题】
【例9】（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体外接球的体积为，、、分别为棱的中点，则平面截球的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由已知，得到正方体外接球的半径，进而得到正方体的棱长，再由勾股定理计算出平面截球的截面圆的半径，即可得到截面面积.
【解答过程】

设正方体外接球的半径为，棱长为，
因为正方体外接球的体积为，
所以，则，
由，得，
设球心到平面的距离为，平面截球的截面圆的半径为，
设到平面的距离为,
因为、、分别为棱的中点，
所以是边长为的正三角形,
由,得,
则,
解得,又,
所以到平面的距离为，
则，
，
所以平面截球的截面面积为，.
故选：A.
【变式9-1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据球的截面性质，结合三角形面积等积性、勾股定理进行求解即可.
【解答过程】如图，
设球的半径为，线段的中点为，因为，
所以，解得，
设经过和中点的平面截球所得截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离，
则，要截面面积最小，则要最小，即要最大，
因为当为点到的距离时最大，此时，又，
所以，
所以，
故截面面积的最小值为．
故答案为：．
故选：A.
【变式9-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据线面垂直关系可得四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同，确定外接球半径，根据线面关系求解三棱锥的体积，利用等体积法确定球心到平面的距离为，从而得截面面积.
【解答过程】因为平面，底面为矩形，
如下图所示，
易知四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同；
由题意可知球心为中点，
故球O的直径，解得
由分别是的中点可得，因为平面，可得平面；
所以球心到平面的距离等于点到平面的距离，
设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，
因为，分别是的中点，所以，且，
又，
所以，故，又平面，所以平面，
且，所以，
而，由等体积法得，
所以，故截面面积为．
故选：B.
【变式9-3】（2024·全国·模拟预测）在正方体中，E，F分别为棱，的中点，过直线EF的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为，最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意可求得正方体的外接球球心位置，易知当截面面积最大时，截面圆的半径为该正方体外接球的半径，当截面与OP垂直时，截面面积最小；分别求出对应的半径大小即可得出结果.
【解答过程】如图，正方体的外接球球心在其中心点处，设该正方体的棱长为，
则外接球的半径，
要使过直线EF的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段EF的中点，
连接OE，OF，OP，则，
，
所以，
此时截面圆的半径．
显然当截面面积最大时，截面圆的半径为该正方体外接球的半径；
所以．
故选：D．
【题型10 多面体与球体内切外接综合问题】
【例10】（2024·全国·模拟预测）已知圆台的内切球半径为2，圆台的体积为28π，则圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先根据圆台内切球半径为2求出圆台上、下底面半径的乘积为4，然后结合圆台的体积为28π并利用圆台的体积公式得到圆台的上、下底面半径，根据圆台和球的对称性并利用勾股定理求得圆台外接球的半径，即可求得圆台外接球的表面积．
【解答过程】设圆台的上、下底面半径分别为，，易知内切球的轴截面与圆台的轴截面内切，
所以，解得，
又圆台的体积为，
所以，．
设圆台外接球的半径为R，易知圆台的轴截面与外接球的轴截面内接，外接球球心O在线段上，（提示：当O在的延长线上时，设，则，所以，无解，所以O在线段上）,
如图，连接OC，OB，
则，，
设，则，
所以，得，
故，
所以该圆台外接球的表面积为，
故选：D．
【变式10-1】（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知正四棱锥外接球的半径为3，内切球的半径为1，则该正四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设正四棱锥底边长为2a，高为，外接球半径，内切球半径，设，分别为AD和BC的中点，由题意得的内切圆半径即为内切球半径，的外接圆半径即为正四棱锥的外接球半径，利用勾股定理求解即可.
【解答过程】设正四棱锥的底边长为2a，高为，外接球半径，内切球半径．
设M，N分别为AD和BC的中点，则的内切圆半径即为内切球半径．
设，则，．
由，得，即．
另外的外接圆半径即为正四棱锥的外接球半径，所以在中，
有，即 ，即，
所以，解得．
故选：D.
【变式10-2】（2024·甘肃金昌·模拟预测）在底面是边长为4的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为，则四棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】依题意可得为正四棱锥，由可得异面直线与所成的角为，取中点，连接、，即可求出、，再求出四棱锥的表面积与体积，从而求出内切球的半径，再由勾股定理求出外接球的半径，即可得解.
【解答过程】由题可得四棱锥为正四棱锥，即有．
因为，所以异面直线与所成的角为，
取中点，连接、，则，所以，
所以，．
从而可以求得四棱锥的表面积和体积分别为，，
所以内切球的半径为．
设四棱锥外接球的球心为，外接球的半径为，则，
则，解得，所以．

故选：C.
【变式10-3】（2024·云南大理·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体的棱长为，此八面体的外接球与内切球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，确定八面体的外接球球心及半径，利用体积法求出内切球半径，再利用球的体积公式求解即得.
【解答过程】正八面体的棱长为，连接，
由四边形为正方形，得，
则四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等，
于是此八面体的外接球球心为，半径为，
此八面体的表面积为，设此八面体的内切球半径为，
由，得，即，解得，
所以此八面体的外接球与内切球的体积之比为.
故选：A.
一、单选题
1．（2024·辽宁·一模）已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积.
【解答过程】
如图，设在底面的射影为，则平面，
且为的交点.
因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且，
故，故.
由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为，
则，故，故，
故正四棱锥的外接球的表面积为，
故选：B.
2．（2024·山东济南·二模）已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 ，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【解题思路】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中点O，再求出三棱锥的高，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解.
【解答过程】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，
所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上，
又因为底面边长为，
所以底面正三角形的内切圆的半径为，
又因为球的半径，即，
所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O，
如图，过球心O作PA的垂线交PA于H，则H为棱切球在PA上的垂足，

所以，
又因为，所以,
因为，所以，
又由题意可知，平面，所以，
所以
所以，
所以.
故选：A.
3．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设的外接圆的圆心为，根据 中，，解得，过点作圆的截面，当截面过球心时，截面面积最大，由此能求出所得截面圆面积的最大值．
【解答过程】如图，设的中心为，球的半径为，连接，，
则，，
在 中，，解得，
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为．
所得截面圆面积的最大值为．
故选：D．

4．（2024·广东广州·模拟预测）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，，且，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，即可得答案.
【解答过程】如图：为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，
设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，，
设球的半径为，圆台上下底面的半径为，.注意到与均为角平分线，
因此，从而，故.
设圆台的体积为，球的体积为，则.
故选：B.
5．（2024·陕西宝鸡·三模）与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成三棱锥且长为，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据外接球球心的性质确定球心的位置为过正三角形与的中心的垂线上，再构造直角三角形求解球的半径即可.
【解答过程】设的中点为，正与正的中心分别为，，如图，
根据正三角形的性质有，分别在，上，平面，平面，
因为与都是边长为2的正三角形，则，又，
则是正三角形，
又，，，平面，
所以平面，所以在平面内，
故，易得，
故，
故，又，故球的半径，
故球的表面积为．
故选：D．
6．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】补形成长方体模型来解即可.
【解答过程】由于二面角为直二面角，且和都是直角三角形，
故可将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径R，
即，解得，
从而三棱锥外接球的体积．
故选：D.

7．（2024·天津和平·二模）如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意可得正四棱锥的斜高为5，底面正方形的边长为6，从而可得正四棱锥的高，设这个正四棱锥的内切球的半径为，高线与斜高的夹角为，则易得，，从而可得，再代入球的体积公式，即可求解．
【解答过程】作出四棱锥如图：
根据题意可得正四棱锥的斜高为，底面正方形的边长为6，
正四棱锥的高为，
设这个正四棱锥的内切球的球心为，半径为，与侧面相切于，
则高线与斜高的夹角为，则，
则,
，，
这个正四棱锥的内切球的体积为．
故选：B．
8．（2024·安徽安庆·三模）如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ）
A．这两个球体的半径之和的最大值为
B．这两个球体的半径之和的最大值为
C．这两个球体的表面积之和的最大值为
D．这两个球体的表面积之和的最大值为
【解题思路】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，设两圆的半径，则，，其中，表达出，，求导得到函数单调性，得到最值，并求出，令，函数在上单调递增，求出，得到答案.
【解答过程】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，上面的球与圆锥的底面相切，
过底面圆的直径作截面，
如图所示，过点O作OF⊥AB，垂足为F，过点作⊥AB，垂足为E，
过点作⊥OF，垂足为D．
设圆O的半径为R，圆的半径为r，当下面的球与上底面相切时，取得最大值，
此时为该圆的内切球半径，等边三角形的边长为，内切球半径为，
故，故R的最大值为，且取最大值时，
三点共线，设，则，
则，解得，
所以，，，，.
因为，所以①，
整理得，解得，
令函数，，
.
令函数，，所以是增函数.
又因为，，所以，，
所以，，，，
即，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，即这两个球体的半径之和的最大值为.
由①可得，
这两个球体的表面积之和为.
令，函数在上单调递增，
所以，即这两个球体的表面积之和的最大值为.
故选：D．
二、多选题
9．（2024·黑龙江·模拟预测）图柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（ ）
A．圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等
B．圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为
C．圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为
D．圆柱内切球的体积与圆柱体积比为
【解题思路】圆柱内切球半径等于圆柱底面半径，再利用即可得到ABD，圆柱内接圆锥半径圆柱底面半径，高等于圆柱的高即可得到C.
【解答过程】设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，所以内切球的半径为，A正确；
圆柱的表面积为 ，内切球的表面积为，所以圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为，B正确；
圆柱内接圆锥的表面积为，圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为错误；
圆柱内切球的体积，圆柱的体积，所以 ，D正确.
故选：.
10．（2024·河北衡水·三模）已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），且平面，球为正方体的内切球，下列说法正确的是（ ）
A．球的体积为 B．点的轨迹长度为
C．异面直线与BP所成角的余弦值取值范围为 D．三棱锥外接球与球内切
【解题思路】根据正方体内切球的性质判断A；利用面面平行确定点的轨迹，即可求得其长度，判断B；根据异面直线所成角的概念，确定该角取到最值时的位置，即可判断C；根据圆内切的判断条件可判断D.
【解答过程】由题意知球的半径为1，故其体积为，故A选项正确；
取的中点为，
连结，易知，平面，平面，
故平面，
连接MN，，即四边形为平行四边形，
则，平面，平面，所以平面．
又因为，平面，
故平面平面，平面平面，结合平面，
故点的轨迹为线段，故B选项错误；
因为，故异面直线与BP所成角等于或其补角，
当P位于N点时，得取得最小，;
当P位于点时，取得最大，，故选项正确；
由正方体几何性质易知，
故BM为三棱锥外接球的直径，取为BM的中点，
即为三棱锥外接球的球心，由题意知为的中点，
故，
因为球的半径为，球的半径为，
故三棱锥外接球与球内切，D正确
故选：ACD．
11．（2024·江苏无锡·模拟预测）在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．与平面所成的角相等
B．
C．二面角的大小可能为
D．若，则球的表面积为
【解题思路】对于A，取的中点得平面，平面，根据可判断A； 可判断B；做， 得即为的平面角，若，则，推出矛盾可判断C；根据，求出正方体的外接球半径可判断D.
【解答过程】对于A，取的中点，因为，所以点是的外心，
连接，则平面，
因为是的中点，所以，所以平面，
点是是的中点，，所以，
又，所以，所以，故A正确；

对于B，，
，
，故B正确；
对于C，因为，，，平面，
所以平面，平面，所以，
做，交于点，
，平面，
所以平面，平面，所以，
所以即为的平面角，若，
则，而在直角三角形中，斜边，
这是不可能的，故C错误；

对于D，若，则，，
所以，外接球半径，
，故D正确.

故选：ABD．
三、填空题
12．（2024·四川·模拟预测）在平面四边形中，，将沿折起，使点到达，且，则四面体的外接球的体积为 ．

【解题思路】先求几何体的边长取的中点，，即可得出外接球的半径，进而得出外接球的体积.
【解答过程】由题意知，，
由勾股定理可知，，，
所以，
取的中点，所以，
所以四面体的外接球在斜边的中点处，
四面体的外接球的半径，
外接球的体积．
故答案为：.
13．（2024·贵州贵阳·二模）在一个棱长为的正四面体容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器内朝着任意方向自由运动，则小球不可能接触到的容器内壁的面积为 .
【解题思路】由题意，小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近便得切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为，故小三角形的边长为，做出面积相减，即可得到结果.
【解答过程】如图：

考虑小球O即在正四面体的一个角上时，做平面平面，为平面的中心，则.
因为可得，所以,.
由题意，考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近便得切点的轨迹仍为正三角形，

因为，平分，所以，.
因为正四面体的棱长为，故小三角形的边长为，
小球与一个面不能接触到的部分的面积为：
.
所以几何体的四个面永远不可能接触到容器的内壁的面积是.
故答案为：.
14．（2024·四川·模拟预测）在平面四边形中，，将沿折起，使点到达，且，则四面体的外接球为球，若点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 ．
【解题思路】先根据勾股定理逆定理得到，再根据直角三角形中线性质找出外接球的球心，再结合球的截面距离分析，要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最小，只需球心到截面的距离最大即可．
【解答过程】由题意知，，
由勾股定理可知，，所以，
取的中点，所以，所以四面体的外接球在斜边的中点处，四面体的外接球的半径，
根据题意可知，过点作球的截面，若要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最小，设球到截面的距离，只需球心到截面的距离最大即可，
而当且仅当与截面垂直时，球心到截面的距离最大，即，
取的中点，易知为等腰三角形，，所以，
所以截面圆的半径为．
故答案为：．
四、解答题
15．（2024·四川成都·模拟预测）已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【解题思路】（1）依题意可得，即可得证；
（2）由球的表面积求出球的半径，由正四棱锥的性质可知球心必在上，连接，利用勾股定理求出，即可求出，再由为中点得到到平面的距离为，最后由计算可得.
【解答过程】（1）依题意底面为正方形，、相交于，
所以为的中点，又为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）设球的半径为，由球的表面积公式，
解得（负值舍去），
设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，
连接，则，，，
则在，则，即，
解得（负值舍去），
则，所以，
又为中点，平面且，所以到平面的距离为，
所以.

16．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，为棱的中点．
(1)若是线段上的动点，试探究：是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由．
(2)过作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围．
【解题思路】（1）根据题意利用勾股定理可得，所以向量在上的投影向量为，运算得解；
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到直线的距离即点到过的截面的距离最大值，从而得到过的最小截面圆的半径，又最大的截面面积为，得解.
【解答过程】（1）因为是的中点，所以，
所以，，，
因为，所以，又点在线段上，
所以向量在上的投影向量为，故，为定值．
（2）设球心为，外接球半径为，最小截面圆的半径为．
由已知可得，则最大的截面面积为．
以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，．
取，，则，．
所以点到直线的距离为，
即点到过的截面的距离最大值为．
所以过的最小截面圆的半径，
因此最小的截面面积为，
综上，截面面积的取值范围是．
17．（2023·重庆·三模）如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD是边长为的等边三角形，球心O到底面的距离为1．
(1)求球O的表面积；
(2)求二面角的余弦值．
【解题思路】（1）由正弦定理求出底面外接圆的半径，再根据勾股定理求出球的半径，然后用球的表面积公式可求出结果；
（2）取的中点，连，过作，交于，连，则是二面角的平面角，解三角形可得结果.
【解答过程】（1）底面外接圆的半径，
又球心O到底面的距离为1．所以球的半径，
所以球O的表面积为.
（2）因为为球的直径，所以，，
取的中点，连，则，则,
因为，，所以，
在等腰三角形中，过作，交于，连，
则是二面角的平面角，，
在中， ，，
， ， ，
在中，,
在中， ，
在中， .
所以二面角B－AC－D的余弦值为.
18．（2024·四川成都·三模）已知平面与平面是空间中距离为1的两平行平面，，，且，和的夹角为.
(1)证明：四面体的体积为定值；
(2)已知异于、两点的动点，且、、、、均在半径为的球面上.求点到直线的距离的取值范围.
【解题思路】（1）用补形法将三棱锥补形为三棱柱，利用三棱锥与三棱柱体积的关系即可求解.
（2）考查点到直线的距离问题，与球的截面圆相结合，先确定球心位置和动点P的轨迹即可进一步研究点到直线的距离的取值范围.
【解答过程】（1）如图，平移线段使得与重合，
并将四面体补成一个斜三棱柱，
则该斜棱柱的底面积，高，
所以该斜棱柱的体积为定值，
又此斜棱柱恰好可以分为三个与三棱锥的底面积相同，高相同的三棱锥，
于是这三个三棱锥的体积都相等，都是斜棱柱的，
所以四面体的体积为，是定值.
（2）设球心是，并设与平面，平面的距离分别是，，
由可知，
在，的中垂面和，的中垂面（过线段中点且垂直于线段的平面）的交线上，
设的中点是，的中点是.则由勾股定理得，
注意到，所以，，共线，且平面，
因为，且、、、、均在球上，
所以在以点为圆心、以为直径的圆上（除去、两点），
过点N直线AB的平行线，
设点到直线AB，的距离分别为，，则，
又，所以.
19．（2024·浙江绍兴·三模）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点是的中点，．
(1)求证：为三棱锥外接球的球心；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值最大时的值．
【解题思路】（1）根据图形特征得出即得证球心；
（2）根据线面角定义结合线面垂直及面面垂直的性质定理可得；
（3）空间向量法求出锐二面角的余弦值再结合最值可得参数.
【解答过程】（1）为的中线，且，则为正的中心，
又中，，
，即为三棱锥外接球的球心
（2）是正三角形，点是的中点，．
又平面平面，平面平面，平面，
平面
为直线与平面所成的角
又，，，
即直线与平面所成角的正弦值为
（3）在平面中，过点作，，垂足分别为，，
设，则，，．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，．
设平面的法向量为，
由，得，令，故，
设平面的法向量为，
则，即，令，则．
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
，
当时，，此时余弦值最大，
即当时，平面与平面所成锐二面角的余弦值最大．
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重难点18 球的切、接问题【十大题型】
【新高考专用】
【题型1 定义法求外接球问题】 4
【题型2 补形法求外接球问题】 4
【题型3 截面法求外接球问题】 5
【题型4 棱切球模型问题】 6
【题型5 内切球模型问题】 6
【题型6 多球相切问题】 7
【题型7 外接球之二面角模型】 8
【题型8 与球的切、接有关的最值问题】 9
【题型9 与球的切、接有关的截面问题】 10
【题型10 多面体与球体内切外接综合问题】 11
1、球的切、接问题
球的切、接问题是历年高考的重点、热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决.
【知识点1 正方体与球、长方体与球】
1．正方体与球的切、接问题
(1)内切球：内切球直径2R=正方体棱长a.
(2)棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长.
(3)外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长.
2．长方体与球
外接球：外接球直径2R=体对角线长( a,b,c分别为长方体的长、宽、高).
【知识点2 正棱锥与球】
1．正棱体与球的切、接问题
(1)内切球：(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高.
(2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，(正
棱锥外接球半径为R，高为h).
【知识点3 正四面体的外接球、内切球】
1．正四面体的外接球、内切球
若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则，，
，.
【知识点4 正三棱柱的外接球】
1．正三棱柱的外接球
球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心.
.
【知识点5 圆柱、圆锥的外接球】
1．圆柱的外接球
(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径).
2．圆锥的外接球
(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).
【知识点6 几何体与球的切、接问题的解题策略】
1．常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
2．空间几何体外接球问题的求解方法：
空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：
(1)定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，
确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
(2)补形法：若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般
把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.
(3)截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线
作截面，把空间问题转化为平面问题求解.
3．内切球问题的求解策略：
(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.
(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.
【题型1 定义法求外接球问题】
【例1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·海南·模拟预测）已知正方体的棱长为2，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·河南周口·模拟预测）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·青海·二模）如图，已知在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，底面积为，且，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 补形法求外接球问题】
【例2】（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）在空间直角坐标系中，已知，则四面体ABCD外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·江西·模拟预测）现为一球形玩具设计一款球形的外包装盒（盒子厚度忽略不计）．已知该球形玩具的直径为2，每盒需放入4个玩具球，则该种外包装盒的直径的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·重庆·模拟预测）已知四面体ABCD中，，若四面体ABCD的外接球的表面积为7，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式2-3】（2024·四川雅安·模拟预测）如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 截面法求外接球问题】
【例3】（2024·江苏南通·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与的上、下底面及侧面均相切，则的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·湖北·二模）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·四川成都·三模）已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球的表面上，则该四棱台的高为（ ）
A．2 B．8 C．8或12 D．2或12
【题型4 棱切球模型问题】
【例4】（2024·全国·模拟预测）正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式4-2】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ．
【变式4-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为 .
【题型5 内切球模型问题】
【例5】（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的交点，平面，，则四棱锥的内切球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 多球相切问题】
【例6】（2024高三·全国·专题练习）在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这两个小球的表面积之和最大为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·河北沧州·模拟预测）某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包装盒（盒子厚度忽略不计），已知该球形玩具的直径为2，每盒需放入10个塑料球，则该种外包装盒的棱长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·湖南益阳·模拟预测）如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2024·浙江温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程 高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊 平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 外接球之二面角模型】
【例7】（2024·陕西宝鸡·三模）与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·山东·模拟预测）如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形，且，，现将沿折起，使得点到达点处，且二面角的大小为，连接，如图②，若三棱锥的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，是的中点，沿将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·上海徐汇·二模）三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ）
①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为.
A．①②都是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①②都是假命题
【题型8 与球的切、接有关的最值问题】
【例8】（2024·湖北·模拟预测）已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥中，底面四边形为正方形，四棱锥外接球的表面积为，则当四棱锥的体积最大时，（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式8-2】（2024·福建泉州·一模）泉州花灯技艺源于唐朝中期从形式上有人物灯、宫物灯、宫灯，绣房灯、走马灯、拉提灯、锡雕元宵灯等多种款式．在2024年元宵节，小明制做了一个半正多面体形状的花灯，他将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，如图所示．已知该半正多面体的体积为，M为的中心，过M截该半正多面体的外接球的截面面积为S，则S的最大值与最小值之比（ ）
A． B． C．3 D．9
【变式8-3】（2024·福建南平·模拟预测）某雕刻师在切割玉料时，切割出一块如图所示的三棱锥型边料，测得在此三棱锥中，侧面底面，且，该雕刻师计划将其打磨成一颗球形玉珠，则磨成的球形玉珠的直径的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【题型9 与球的切、接有关的截面问题】
【例9】（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体外接球的体积为，、、分别为棱的中点，则平面截球的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2024·全国·模拟预测）在正方体中，E，F分别为棱，的中点，过直线EF的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为，最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型10 多面体与球体内切外接综合问题】
【例10】（2024·全国·模拟预测）已知圆台的内切球半径为2，圆台的体积为28π，则圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知正四棱锥外接球的半径为3，内切球的半径为1，则该正四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2024·甘肃金昌·模拟预测）在底面是边长为4的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为，则四棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（2024·云南大理·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体的棱长为，此八面体的外接球与内切球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·辽宁·一模）已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东济南·二模）已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 ，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，，且，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西宝鸡·三模）与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成三棱锥且长为，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．
7．（2024·天津和平·二模）如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·安徽安庆·三模）如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ）
A．这两个球体的半径之和的最大值为
B．这两个球体的半径之和的最大值为
C．这两个球体的表面积之和的最大值为
D．这两个球体的表面积之和的最大值为
二、多选题
9．（2024·黑龙江·模拟预测）图柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（ ）
A．圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等
B．圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为
C．圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为
D．圆柱内切球的体积与圆柱体积比为
10．（2024·河北衡水·三模）已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），且平面，球为正方体的内切球，下列说法正确的是（ ）
A．球的体积为 B．点的轨迹长度为
C．异面直线与BP所成角的余弦值取值范围为 D．三棱锥外接球与球内切
11．（2024·江苏无锡·模拟预测）在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．与平面所成的角相等
B．
C．二面角的大小可能为
D．若，则球的表面积为
三、填空题
12．（2024·四川·模拟预测）在平面四边形中，，将沿折起，使点到达，且，则四面体的外接球的体积为 ．

13．（2024·贵州贵阳·二模）在一个棱长为的正四面体容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器内朝着任意方向自由运动，则小球不可能接触到的容器内壁的面积为 .
14．（2024·四川·模拟预测）在平面四边形中，，将沿折起，使点到达，且，则四面体的外接球为球，若点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为 ．
四、解答题
15．（2024·四川成都·模拟预测）已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
16．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，为棱的中点．
(1)若是线段上的动点，试探究：是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由．
(2)过作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围．
17．（2023·重庆·三模）如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD是边长为的等边三角形，球心O到底面的距离为1．
(1)求球O的表面积；
(2)求二面角的余弦值．
18．（2024·四川成都·三模）已知平面与平面是空间中距离为1的两平行平面，，，且，和的夹角为.
(1)证明：四面体的体积为定值；
(2)已知异于、两点的动点，且、、、、均在半径为的球面上.求点到直线的距离的取值范围.
19．（2024·浙江绍兴·三模）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点是的中点，．
(1)求证：为三棱锥外接球的球心；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值最大时的值．
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