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重难点23 与圆有关的最值与范围问题【十大题型】
【新高考专用】
【题型1 斜率型最值（范围）问题】 2
【题型2 直线型最值（范围）问题】 2
【题型3 定点到圆上点的最值（范围）】 3
【题型4 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 4
【题型5 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 4
【题型6 圆的切线长度最值（范围）问题】 5
【题型7 周长面积型最值（范围）问题】 5
【题型8 数量积型最值（范围）问题】 6
【题型9 坐标、角度型最值（范围）问题】 6
【题型10 长度型最值（范围）问题】 7
1、与圆有关的最值与范围问题
从近几年的高考情况来看，与圆有关的最值与范围问题是高考的热点问题，由于圆既能与平面几何相联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活，故与圆相关的最值与范围问题备受命题者的青睐.此类问题考查形式多样，对应的解题方法也是多种多样，需要灵活求解.
【知识点1 与距离有关的最值问题】
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论.
1．圆上的点到定点的距离最值问题
一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值.
2．圆上的点到直线的距离最值问题
已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：.
【知识点2 利用代数法的几何意义求最值】
1．利用代数法的几何意义求最值
(1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题.
【知识点3 切线长度最值问题】
1．圆的切线长度最值问题
(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
【知识点4 弦长最值问题】
1．过圆内定点的弦长最值问题
已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.
【知识点5 解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法】
1．与圆有关的最值与范围问题的解题方法
(1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.
(2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解.
(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证.
(4)多与圆心联系，转化为圆心问题.
(5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解.
【题型1 斜率型最值（范围）问题】
【例1】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·河南·模拟预测）已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·福建南平·三模）已知为圆：上任意一点，则的最大值为 .
【题型2 直线型最值（范围）问题】
【例2】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）如果实数满足等式，那么的最大值是 ；的最大值是 ．
【变式2-2】（23-24高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，是实数，且．
(1)求的最值；
(2)求的取值范围；
(3)求的最值．
【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y＋x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
【题型3 定点到圆上点的最值（范围）】
【例3】（2024·陕西铜川·三模）已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式3-1】（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知是圆上的动点，点满足，点，则的最大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）点是圆上任意一点，为圆的弦，且，为的中点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．47
【变式3-3】（2024·四川乐山·三模）已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】
【例4】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知M，N是圆C：上的两个点，且，P为的中点，Q为直线：上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·辽宁鞍山·二模）已知直线，点在圆上运动，那么点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·河北·二模）已知，是圆上的两个动点，且，若点满足，点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·湖南岳阳·二模）已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【题型5 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】
【例5】（23-24高二上·重庆·期末）已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【变式5-3】（2024·江西赣州·二模）已知直线.圆，则（ ）
A．l过定点 B．l与C一定相交
C．若l平分C的周长，则 D．l被C截得的最短弦的长度为4
【题型6 圆的切线长度最值（范围）问题】
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式6-1】（2024·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式6-2】（2024·四川宜宾·二模）已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
【变式6-3】（2024·湖北·模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 周长面积型最值（范围）问题】
【例7】（2024·上海普陀·二模）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．10 D．12
【变式7-1】（2024·山西吕梁·一模）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）设P为直线上的动点，PA，PB为圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的周长的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知，，设是圆上一动点，则面积的最大值与最小值之差等于（ ）．
A．12 B． C．6 D．
【题型8 数量积型最值（范围）问题】
【例8】（2024·陕西安康·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，为圆的直径，点是直线上任意一点；则的最小值为（ ）
A．4 B．12 C．16 D．18
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知圆是圆心为原点的单位圆，是圆上任意两个不同的点，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·河南开封·二模）已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型9 坐标、角度型最值（范围）问题】
【例9】（2024·江西·模拟预测）已知点是圆上一点，点是圆上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（23-24高一下·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系中，已知 ，曲线上任一点满足，点在直线上，如果曲线上总存在两点到点的距离为，那么点的横坐标的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（23-24高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型10 长度型最值（范围）问题】
【例10】（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（ ）
A．34 B．40 C．44 D．48
【变式10-1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知圆上两点满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
一、单选题
1．（2024·江西·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
2．（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东济南·三模）圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
5．（2024·陕西汉中·二模）已知，直线为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·安徽·模拟预测）已知点M是直线和（）的交点，，，且点M满足恒成立，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知直线交圆于两点，则的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．27 D．30
8．（2024·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④
二、多选题
9．（2024·安徽六安·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆关于直线对称
B．已知，，则的最小值为
C．的最小值为
D．的最大值为
10．（2024·吉林延边·一模）已知是圆上的两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若点到直线的距离为，则
B．若，则
C．若，则的最大值为6
D．的最小值为
11．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（ ）
A．弦有最小值为 B．有最小值为
C．面积的最大值为 D．的最大值为9
三、填空题
12．（2024·四川泸州·三模）动直线l：被圆C：截得弦长的最小值为 ．
13．（2024·四川绵阳·模拟预测）直线 ，与圆相交于、两点，点为直线上一动点，则的最小值是 .
14．（23-24高二上·北京·期末）已知、满足：，，，则代数式的取值范围是 .
四、解答题
15．（23-24高二下·全国·随堂练习）已知点在圆上，点，．求点到直线距离的最大值；
16．（23-24高二上·全国·期中）已知圆过，，三点.
(1)求圆的标准方程；
(2)若点在圆上运动，求的最大值.
17．（2024高三·全国·专题练习）已知为圆：上任意一点.
(1)求的最大值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
18．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆.
(1)过点作的切线，求的方程；
(2)若点为直线上的动点，过作圆的切线，记切点为，当取最小值时，求的大小.
19．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点．
(1)求P点到直线的距离的最大值和最小值．
(2)求的最大值和最小值．
(3)求的最大值和最小值.
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重难点23 与圆有关的最值与范围问题【十大题型】
【新高考专用】
【题型1 斜率型最值（范围）问题】 2
【题型2 直线型最值（范围）问题】 5
【题型3 定点到圆上点的最值（范围）】 7
【题型4 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 9
【题型5 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 12
【题型6 圆的切线长度最值（范围）问题】 14
【题型7 周长面积型最值（范围）问题】 16
【题型8 数量积型最值（范围）问题】 18
【题型9 坐标、角度型最值（范围）问题】 21
【题型10 长度型最值（范围）问题】 24
1、与圆有关的最值与范围问题
从近几年的高考情况来看，与圆有关的最值与范围问题是高考的热点问题，由于圆既能与平面几何相联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活，故与圆相关的最值与范围问题备受命题者的青睐.此类问题考查形式多样，对应的解题方法也是多种多样，需要灵活求解.
【知识点1 与距离有关的最值问题】
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论.
1．圆上的点到定点的距离最值问题
一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值.
2．圆上的点到直线的距离最值问题
已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：.
【知识点2 利用代数法的几何意义求最值】
1．利用代数法的几何意义求最值
(1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题.
【知识点3 切线长度最值问题】
1．圆的切线长度最值问题
(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
【知识点4 弦长最值问题】
1．过圆内定点的弦长最值问题
已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.
【知识点5 解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法】
1．与圆有关的最值与范围问题的解题方法
(1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.
(2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解.
(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证.
(4)多与圆心联系，转化为圆心问题.
(5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解.
【题型1 斜率型最值（范围）问题】
【例1】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据圆上任意一点到定点的斜率，即可结合相切求解斜率得解.
【解答过程】，
由于为圆上任意一点，
故可看作圆上任意一点到定点的斜率，
当直线与圆相切时，此时斜率最大，
由于相切时，故，此时斜率,
故的最大值为，
故选：C.
【变式1-1】（2024·河南·模拟预测）已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将看作时圆上的点到点的直线的斜率的最小值即可求解.
【解答过程】看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数.
当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，
设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得 故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为，
故选：C.
【变式1-2】（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案.
【解答过程】设，变形可得，
则的几何意义为直线的斜率，
圆化为，
所以圆的圆心为，半径为.
因为是圆上任意一点，
所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径，
所以，解得，
即的最大为.
故选:D.
【变式1-3】（2024·福建南平·三模）已知为圆：上任意一点，则的最大值为 .
【解题思路】将转化为点和连线的斜率，由图像可知当直线与圆相切时取得最大值，由解出斜率即可.
【解答过程】
由于，故表示和连线的斜率，设，如图所示，当与圆相切时，取得最大值，
设此时，即，又圆心，半径为1，故，解得，
故的最大值为.
故答案为：.
【题型2 直线型最值（范围）问题】
【例2】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B． C． D．
【解题思路】由圆所过点的坐标求得，可看成是直线在轴上的截距，直线与圆相切时，取得最大值或最小值，由此可得．
【解答过程】因为圆：经过点，
．又，所以，
可看成是直线在轴上的截距.如图所示，
当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得，
所以的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值之和为.
故选：C．
【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）如果实数满足等式，那么的最大值是 ；的最大值是 ．
【解题思路】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可.
【解答过程】由，得的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方．
因为圆心到原点的距离为，所以圆上的动点到原点距离的最大值为，
则的最大值是．
令，则是直线在轴上的截距，
当直线与圆相切时，直线在轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值，
此时，圆心到直线的距离，解得，
所以的最大值为．
故答案为：；.
【变式2-2】（23-24高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，是实数，且．
(1)求的最值；
(2)求的取值范围；
(3)求的最值．
【解题思路】（1）首先设，利用直线与圆有交点，列式求的最值；
（2）首先设，转化为直线与圆有交点，列不等式求的取值范围；
（3）根据的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值.
【解答过程】（1）设，化为，
可知直线与圆有交点，圆心，半径为2，
有，解得，
可得的最小值为1，最大值为21；
（2）设，化为，
可知直线与圆有交点，
有，解得或，
故的取值范围为；
（3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离，
圆的圆心到坐标原点的距离为，
故的最小值为，最大值为．
【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y＋x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
【解题思路】（1）令＝t，进行求解即可；
（2）令y＋x＝m，得其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间，进行求解即可；
（3）根据x2＋y2的几何意义，进行求解即可.
【解答过程】（1） 如图，令＝t，则x2＋t2x2－4x＋1＝0，即（1＋t2）x2－4x＋1＝0.由Δ≥0得－≤t≤，
所以的最小值为－，最大值为.
（2）令y＋x＝m，得y＝－x＋m.直线y＝－x＋m与圆x2＋y2－4x＋1＝0有公共点时，其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间，而相切时有＝，|m－2|＝，m＝2±.
所以y＋x的最大值为2＋，最小值为2－.
（3） 如图，x2＋y2是圆上点到原点距离的平方，故连接OC，与圆交于点B，并延长交圆于C′，可知B到原点的距离最近，点C′到原点的距离最大，此时有OB＝＝2－，OC′＝＝2＋，
则（x2＋y2）max＝OC′2＝7＋4，（x2＋y2）min＝OB2＝7－4.
【题型3 定点到圆上点的最值（范围）】
【例3】（2024·陕西铜川·三模）已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解题思路】由题意及圆的定义得圆心所在的轨迹方程，然后利用点与圆的位置关系求解最大值即可.
【解答过程】由圆经过点，可得，
即，故圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
又，所以圆心到原点的距离的最大值为.
故选：C.
【变式3-1】（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知是圆上的动点，点满足，点，则的最大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【解题思路】首先求点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，求的最大值.
【解答过程】设，，
由，得，，
因为点在圆上，即，
则，
所以点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，
因为，，所以点在圆外，
所以的最大值为.
故选：C.
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）点是圆上任意一点，为圆的弦，且，为的中点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．47
【解题思路】根据弦长公式先求出，然后可知点N在以为圆心，1为半径的圆上，结合圆的性质可求的最小值.
【解答过程】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为．
如图所示，由弦长公式知，
解得，
所以点在以为圆心、1为半径的圆上，
由图可知，的最小值为．
故选：B．
【变式3-3】（2024·四川乐山·三模）已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，由表示出点坐标，代入直线方程得出点的轨迹，根据点到圆上一点距离最小值求法计算即可．
【解答过程】设，由题可知，则，即，
所以，所以点，
将点的坐标代入，化简得（不同时为0），
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又，点在该圆外，
所以的最小值为，
故选：B．
【题型4 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】
【例4】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知M，N是圆C：上的两个点，且，P为的中点，Q为直线：上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先根据弦长得出点P的轨迹，利用直线与圆的位置关系即可解决.
【解答过程】圆C的标准方程：，圆心C，半径为2，
由，可得，
所以点P在以C为圆心，为半径的圆上，
又点C到直线：的距离，
所以的最小值为.
故选：B.
【变式4-1】（2024·辽宁鞍山·二模）已知直线，点在圆上运动，那么点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，加上圆的半径，即可得答案.
【解答过程】圆的圆心为，半径为.
则圆心到直线：的距离为：.
所以圆上的点到直线：距离的最大值为：.
故选：C.
【变式4-2】（2024·河北·二模）已知，是圆上的两个动点，且，若点满足，点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】连接，根据已知可得，且，从而可得动点的轨迹为圆，由圆心到直线的距离可解.
【解答过程】如图，连接，
由，是圆上的两个动点，且，
即，
又，则，可得，
所以，
则动点的轨迹方程为，
且圆心到直线的距离为，
所以的最小值为.
故选：D.
【变式4-3】（2024·湖南岳阳·二模）已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【解题思路】题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，利用数形结合转化求解即可．
【解答过程】因为，、，在圆上，，
因为，则是等腰直角三角形，
表示、到直线的距离之和的倍，
原点到直线的距离为，如图所示：
，，是的中点，作于，
且，，，
，当且仅当三点共线，且在的两侧时等号成立，
又，故的最大值为
的最大值为．
故选：B．
【题型5 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】
【例5】（23-24高二上·重庆·期末）已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用几何法求弦长.
【解答过程】如图： ，所以圆心，半径

由图可知，当弦 时，弦长最短.
此时，中，，，
所以：.
所以弦长.
故选：D.
【变式5-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，求得直线恒过点，结合圆的性质和弦长公式，即可求解.
【解答过程】因为直线，可得，
由，解得，所以直线恒过点，
可得点在圆内部，
又由圆，可得圆心，半径为，
当直线过圆心时，截得弦长最长，此时，
当直线与垂直时，此时弦长最短，又由，
可得，
所以弦长的取值范围是.
故选：B.
【变式5-2】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【解题思路】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.
【解答过程】由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A.
【变式5-3】（2024·江西赣州·二模）已知直线.圆，则（ ）
A．l过定点 B．l与C一定相交
C．若l平分C的周长，则 D．l被C截得的最短弦的长度为4
【解题思路】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，再根据定点与圆的关系，判断直线与圆的位置关系，判断B，根据直线平分圆的周长，可得直线与圆的关系，判断C，当定点为弦的中点时，此时弦长最短，结合弦长公式，即可判定D.
【解答过程】选项A：，
联立，解得，所以l过定点，故A错误；
选项B：因l过定点，且，
所以定点在圆内，即l与C一定相交，故B正确；
选项C：若l平分C的周长，则直线过圆心，所以，
即，故C错误；
选项D：当定点为弦的中点时，此时弦长最短，
此时圆心到弦所在直线的距离，
则弦长，故D错误；
故选：B.
【题型6 圆的切线长度最值（范围）问题】
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【解题思路】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可.
【解答过程】连接，则，
而的最小值为点C到直线l的距离，
所以.
故选：A.
【变式6-1】（2024·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【解题思路】先求出圆心和半径，再将切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可.
【解答过程】圆化为，圆心为，半径为1，
直线上的点向圆引切线，设切点为，
则，
要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小，
由点到直线的距离公式可得，.
所以切线长的最小值为.
故选：B.
【变式6-2】（2024·四川宜宾·二模）已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
【解题思路】由题意可得，则当取得最小值时，线段长度的最小，利用点到直线的距离公式求出的最小值即可得解.
【解答过程】圆的圆心，半径，
由题意可得，
则，
则当取得最小值时，线段长度的最小，
，
所以.
故选：D.
【变式6-3】（2024·湖北·模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分析可知，由勾股定理可得，当取小值时，，求出圆心到直线的距离，作为的最小值，结合勾股求解即可.
【解答过程】由题意可知，圆的圆心为，半径为，
由圆的几何性质可知，，
由勾股定理可得,
所以要使切线长取最小值，只需取最小值即可.
当直线与直线垂直时，取最小值，
则的最小值是.
故选：A.
【题型7 周长面积型最值（范围）问题】
【例7】（2024·上海普陀·二模）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．10 D．12
【解题思路】先设动圆的圆心坐标为，，，结合直线与圆相切的性质可得，当圆与直线相切于点处时，圆半径最小，结合两点间距离公式即可求解．
【解答过程】设动圆的圆心坐标为，
即圆半径，由题意，
设，，圆与直线相切于点，则，，
所以，
即的周长为，
所以的周长最小即为圆半径最小，因为，
则，整理得，
解得或,
当时，圆心在内，不合题意；
当时，符合题意，即圆半径的最小值为，周长的最小值为．
故选：C．
【变式7-1】（2024·山西吕梁·一模）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【解题思路】写出面积表达式，从而得到当与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可.
【解答过程】由题意得，，，
，
当垂直直线时，，
，
故选：B.
【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）设P为直线上的动点，PA，PB为圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的周长的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【解题思路】根据给定条件，利用圆的切线长定理将四边形周长表示为的函数求解.
【解答过程】依题意，圆的圆心，半径，
，，
因此四边形的周长，
而，当且仅当垂直于直线时取等号，
所以四边形的周长的最小值为4.
故选：C.
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知，，设是圆上一动点，则面积的最大值与最小值之差等于（ ）．
A．12 B． C．6 D．
【解题思路】求出到直线的距离的最大值与最小值，结合面积公式做差即可得.
【解答过程】因为直线与圆相离，
设圆心到直线的距离为，
则，又圆的半径为2，
所以到直线的距离的最小值为，
到直线的距离的最大值为，
因此面积的最大值与最小值之差等于：
．
故选：B．
【题型8 数量积型最值（范围）问题】
【例8】（2024·陕西安康·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，为圆的直径，点是直线上任意一点；则的最小值为（ ）
A．4 B．12 C．16 D．18
【解题思路】由题意求出圆C的方程，根据数量积的运算律求得的表达式，确定当为圆心到直线的距离时，取最小值，结合点到直线的距离即可求得答案.
【解答过程】对于曲线，令，则；令，则，
曲线与坐标轴的交点分别为，
设圆心，由，得，
则圆心为，半径为2，所以圆方程为，

，
当最小，即为圆心到直线的距离时，取到最小值，
圆心到直线的距离设为，则，
所以最小值为4，则的最小值为，
故选：B．
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知圆是圆心为原点的单位圆，是圆上任意两个不同的点，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设为弦的中点，则，后由图形结合C点在圆内部可得答案.
【解答过程】设为弦的中点，则．因为两点不重合，则直线AB与圆O相交，所以点在圆内.
考虑点D为圆上或圆内一点，如图当且仅当D，O，M三点共线时，最长为，因C在圆内，则；
考虑点E为圆上或圆内一点，如图当且仅当O，E，M三点共线时，最短为，因C在圆内，则.
综上，当点在圆内时，，则.
故选：D．
【变式8-2】（2024·河南开封·二模）已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先建立平面直角坐标系且，，，进而确定的轨迹圆，再利用向量数量积的坐标表示并结合所得表达式的几何意义求范围即可.
【解答过程】如下图构建平面直角坐标系，且，，，
所以在以为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为，
而，故，
综上，只需求出定点与圆上点距离平方的范围即可，
而圆心与的距离，故定点与圆上点的距离范围为，
所以.
故选：B.
【变式8-3】（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题.
【解答过程】

如图，取线段的中点，连接，则，
由 ，
因直线经过点，考虑临界情况，
当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长，
为，（但此时直线与轴平行，点不存在）；
当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）.
故的范围为.
故选：D.
【题型9 坐标、角度型最值（范围）问题】
【例9】（2024·江西·模拟预测）已知点是圆上一点，点是圆上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用圆的最值问题和正弦定理即可求解.
【解答过程】圆的圆心，半径，
圆的圆心， 半径，
在三角形中，，
根据正弦定理可得，，即，
所以，
因为，，
所以，
因为，所以是锐角，
所以的最大值为.
故选：B.
【变式9-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可得，可知当OP最小时，最小，结合点到直线的距离公式运算求解.
【解答过程】由题意可知：圆的圆心为，半径为1，
则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离，
因为，且，
当最小时，则最大，可得最小，即最小，
又因为的最小值即为圆心到直线的距离为，
此时，所以取得最小值．
故选：C．
【变式9-2】（23-24高一下·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系中，已知 ，曲线上任一点满足，点在直线上，如果曲线上总存在两点到点的距离为，那么点的横坐标的范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据可求出曲线的方程，根据曲线上总存在两点到点的距离为，可得到点到圆心的距离小于，解不等式即可.
【解答过程】设，因为满足
化简得：
∴曲线的方程：，圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，如图所示：
设点，只需点到圆心的距离小于即可．
此时点在点与点之间.
∴．
解得：．
故选：A.
【变式9-3】（23-24高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由圆的方程求得其圆心和半径，求出圆心到直线l的距离，确定当时，取最大值，结合，求出，结合圆的切线性质，即可求得答案.
【解答过程】圆的标准方程为，圆心，半径，
圆心到直线的距离为，即l与圆相离，
由于，故，

故当时，最小，此时最大，则也取最大值，
此时，，
故选：C.
【题型10 长度型最值（范围）问题】
【例10】（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（ ）
A．34 B．40 C．44 D．48
【解题思路】借助点到直线的距离公式与圆上的点到定点距离的最值计算即可得.
【解答过程】设，则
，
即等价于点到点的距离的平方的两倍加八，
又，
即.
故选：B.
【变式10-1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知圆上两点满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，由发现，又的几何意义是两点到直线的距离之和的倍，进而利用数形结合即可求解.
【解答过程】由得，即，则.
因为，
所以，由点到直线的距离公式可知表示两点到直线的距离之和的倍，如图所示：

设的中点分别为，易知，由梯形的中位线可得，
则，即点到直线的距离之和的4倍，
因为是直角三角形，所以，
则点在圆上运动，
显然，最小值为原点到直线距离与圆半径之差的4倍，
原点到直线距离，半径，
所以的最小值为.
故选：D.
【变式10-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】连接，可得，得到，结合直角三角形的性质和勾股定理，求得，，得到最小时，同时取得最小值，即可求解.
【解答过程】如图所示，连接，可得，且垂足为
要使得取得最小值，
即，
又由，
，
显然，当最小时，同时取得最小值，
所以，当时，且，
所以.
故选：B.
【变式10-3】（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【解题思路】利用圆的性质及“将军饮马”模型计算最值即可.
【解答过程】

如图所示，易知，两圆半径分别为，
取点关于横轴的对称点A，则，在横轴上任取一点，连接，
连接交横轴于P，交圆于E(圆上靠近横轴一点)，连接交圆于F(圆上靠近横轴一点)，
则 ，
当且仅当，，对应重合时等号成立，
此时的最小值为.
故选：D.
一、单选题
1．（2024·江西·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【解题思路】利用点即在圆上，又在直线上，可得，求解即可.
【解答过程】由题意知点在曲线上，
则圆心到直线的距离，
即，
又，
所以的最小值2．
故选：B.
2．（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【解题思路】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解.
【解答过程】
由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为，
设点到圆心的距离为，则有，所以，
所以取最小值时，取得最小值，
因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离，
所以，故的最小值为.
故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由恒过定点可得，过点的直径与直线垂直时，所截得的弦长最小，借助垂径定理计算即可得.
【解答过程】直线恒过定点，
，即，
设其圆心为，半径为，则，，
又，所以点在圆内，
则当直线与直线垂直时所截得的弦长最小，
最小值为．
故选：D．
4．（2024·山东济南·三模）圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【解题思路】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案.
【解答过程】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故选：C.
5．（2024·陕西汉中·二模）已知，直线为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得解.
【解答过程】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2，
所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离，
所以当，分别为圆的切线，且最小时，
最大，又，则最大，
所以最大，此时最小，
此时.
故选：D.
6．（2024·安徽·模拟预测）已知点M是直线和（）的交点，，，且点M满足恒成立，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，得到点的轨迹方程为，结合恒成立，求得点，再由，且直线的方程为，得到在直线上存在两个点满足或三点共线，进而求得其最小值.
【解答过程】将直线化为，可得直线恒过定点，
同理可得直线恒过定点，当时，
可得，则，，当时，显然，所以，
因为点是直线和的交点，所以点的轨迹方程为，
又因为恒成立，可得恒成立，
即恒成立，所以，即，
又由，且直线的方程为，
可得原点到直线的距离为，
所以在直线上存在两个点满足或三点共线，
如图所示，可得，
所以的最小值为.
故选：D.
7．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知直线交圆于两点，则的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．27 D．30
【解题思路】根据题中条件，先求得弦的中点的轨迹方程，则的几何意义为两点到直线的距离之和，即点到直线距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可.
【解答过程】由题设直线与轴的交点为，设弦的中点为，
连接，则，即，所以，
即，
所以点的轨迹方程为，
即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
设直线为，则到的最小距离为，
过分别作直线的垂线，垂足分别为，
则四边形是直角梯形，且是的中点，
则是直角梯形的中位线，所以，即，
即，
所以的最小值为30.
故选：D.
8．（2024·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④
【解题思路】利用数形结合，将面积的最值转化为求的最值，即可判断①②；利用数量积和三角函数表示，再转化为利用对勾函数的单调性求最值.
【解答过程】如图，当点是的中点时，此时，最短，最小值为，
当点与点或点重合时，此时最长，最大值为2，
因为是圆的切线，所以，，
则四边形的面积为，
所以四边形的面积的最小值为，最大值为，故①②正确；
,
，
，，
设，函数单调递增，最小值为0，最大值为，故③错误，④正确.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·安徽六安·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆关于直线对称
B．已知，，则的最小值为
C．的最小值为
D．的最大值为
【解题思路】对于A，由直线穿过圆心即可判断，对于BCD，分别将问题理解成圆上的点与定点的距离平方和、在y轴上的截距和圆上的点和定点连线的斜率，在数形结合即可求得最值情况，进而求解即可判断.
【解答过程】由题圆C的圆心为，半径为，
对于A，显然圆心满足，故直线穿过圆心，
所以圆关于直线对称，A对；
对于B， ，
设，如图，
所以根据代数式的几何意义可知的最小值为：，故B对；
对于C，设，即，动点在圆C上，
则z取得最小值时，即为直线在y轴上截距最小，
如图，过圆C所在平面作直线，直线与直线平行，
由图可知，当直线与圆C相切时其在y轴上截距取得最大值或最小值，
此时圆心C到直线的距离等于半径，即，
或，故的最小值为，故C错；
对于D，因为，设，
则根据代数几何意义可知当圆上的点与定点两点间斜率最大时，
的值最大，
如图，显然当过T的直线与圆相切时斜率最大，
设切线为，，
则有圆心到切线距离，或，
，故D对.
故选：ABD.
10．（2024·吉林延边·一模）已知是圆上的两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若点到直线的距离为，则
B．若，则
C．若，则的最大值为6
D．的最小值为
【解题思路】对于A选项：利用圆的弦长公式即可求解；对于B选项：运用余弦定理即可求解；对于C选项：将转化为到直线的距离之和的倍，进而求解；对于D选项：利用数量积公式即可求解；
【解答过程】依题意，圆的圆心，半径为
如图所示：
对于A选项：因为点到直线的距离为，所以，故选项A正确；
对于B选项：因为，且，
所以在中，由余弦定理可得：,
所以，故选项B错误；
对于C选项：由，
其几何意义为到直线的距离之和的倍
设的中点为,结合梯形的中位线可知：
则有，
因为，所以,
在直角三角形中，,
所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆.
因为到的距离为，
所以，
所以，故选项C正确；
对于D选项：因为，
所以当所成的角为时，.
故选项D正确;
故选：ACD.
11．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（ ）
A．弦有最小值为 B．有最小值为
C．面积的最大值为 D．的最大值为9
【解题思路】易得直线过定点，根据点为弦的中点时，最小，即可判断A；根据点为弦的中点，可得，进而可得出点的轨迹是以为直径的圆，即可判断B；要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，进而可判断C；设，联立，利用韦达定理求出，进而可求出的坐标，再根据数量积的坐标公式结合基本不等式即可判断D.
【解答过程】圆的圆心，半径，
直线过定点，
因为，所以点在圆内，
所以直线与圆一定相交，
当点为弦的中点时，有最小值，
此时直线的斜率不存在，而直线的斜率一定存在，
所以，故A错误；
因为点为弦的中点，所以，即，
所以点的轨迹是以为直径的圆(去除），圆心为，半径为，
所以轨迹方程为，
因为，所以点在圆外，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，，
要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离最大值为，
所以面积的最大值为，故C正确；
对于D，设，
联立，得，
则，故，
所以点的坐标为，
则，
当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述的最大值为9，故D正确.

故选：BCD.
三、填空题
12．（2024·四川泸州·三模）动直线l：被圆C：截得弦长的最小值为 8 ．
【解题思路】求出直线所过定点A，判断定点A在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，即可由勾股定理求出此时的弦长.
【解答过程】直线，即，
所以直线过定点，又圆，且，
所以点在圆内部，，
当垂直于直线时，到直线的距离最大，此时弦长最小，
所以直线被圆截得的弦长的最小值为.
故答案为：8.
13．（2024·四川绵阳·模拟预测）直线 ，与圆相交于、两点，点为直线上一动点，则的最小值是 .
【解题思路】计算直线的恒过点，圆的圆心和半径，可得直线恒过圆心，由向量线性运算，，两边平方作差可得，计算出范围即可.
【解答过程】因为直线，则直线恒过点，
由可得圆的圆心 ，半径，则直线恒过圆心，
因为，，
所以①，②
②①得
因为点到直线的距离为：，则，
的最小值是,
故答案为：.
14．（23-24高二上·北京·期末）已知、满足：，，，则代数式的取值范围是 .
【解题思路】分析可知，、在圆上，且，记，，对、与直线的位置关系进行分类讨论，引入参数表示、，利用三角恒等变换结合三角函数的有界性可求得的取值范围.
【解答过程】设、，，，，
故、在圆上，
且，其中为坐标原点，
因为，则，
因为，则是腰长为的等腰三角形，且，
（1）当点、在直线的同侧时，
设直线交圆于、两点，如下图所示：

记，，记，则，其中，
则，，
所以，
，
因为，则，所以，，
则；
（2）当点、在直线的异侧时，
设直线交圆于、两点，如下图所示：

记，，记，则，其中，
则，，
所以，
，
因为，则，则，
则；
（3）当点、中有一点在直线上时，

则.
综上所述，代数式的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高二下·全国·随堂练习）已知点在圆上，点，．求点到直线距离的最大值；
【解题思路】首先求出直线的方程，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径的和求解即可.
【解答过程】因为，，
所以，所以直线的方程为，即，
圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
故圆与直线相离，所以圆上的点到直线距离的最大值为.
16．（23-24高二上·全国·期中）已知圆过，，三点.
(1)求圆的标准方程；
(2)若点在圆上运动，求的最大值.
【解题思路】（1）将点代入圆方程求解参数即可.
（2）转化为点到直线的距离求解即可.
【解答过程】（1）设圆的一般方程为，
则，解得，
圆的一般方程为，
即标准方程为.
（2）设，则圆的圆心到直线的距离，
解得，的最大值为.
17．（2024高三·全国·专题练习）已知为圆：上任意一点.
(1)求的最大值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
【解题思路】（1）的最大值，等价于过圆上一点作斜率为的直线的截距的最大值，设，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，计算即得解；
（2）看成是过点和的直线斜率，设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离不大于半径解不等式即可.
（3）表示点与点的距离的平方，转化为圆上的点与点的距离的距离平方；
【解答过程】解：(1)∵的圆心，半径，
设，将看成直线方程，
∵该直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离，
解上式得：，∴的最大值为.
(2)记点，∵表示直线的斜率，设直线的方程为：，即，由直线与圆有公共点，
∴，可得，
∴的最大值为，最小值为；
(3)∵设，等价于圆的圆心到原点的距离的平方，
则，
.
18．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆.
(1)过点作的切线，求的方程；
(2)若点为直线上的动点，过作圆的切线，记切点为，当取最小值时，求的大小.
【解题思路】（1）根据点到直线的距离公式，利用相切即可求解直线方程，
（2）根据切线性质，结合勾股定理可将问题转化为当取最小值时，根据垂直即可求解..
【解答过程】（1）因为圆的圆心为，半径为，
当的斜率不存在时，满足条件.
当的斜率存在时，不妨设其方程为，
即，
圆心到的距离为，解得，
可得的方程为，
综上所述，的方程为或.
.
（2），
当最短时，即时，取得最小值，
此时，
，又，
.
19．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点．
(1)求P点到直线的距离的最大值和最小值．
(2)求的最大值和最小值．
(3)求的最大值和最小值.
【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值；
（2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值；
（3）首先设，再转化为直线与圆有交点，
【解答过程】（1）圆心到直线的距离为．
∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为．
（2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点，
∴，解得，
则，即的最大值为，最小值为．
解法二：设，则，其中，
∴得，即的最大值为，最小值为．
（3）表示圆上的点与点连线的斜率为k，
设，即，直线与圆有交点，
设，
解得．
则，即的最大值为，最小值为．
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