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滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试
数学试题
（时间：120分钟，满分：150分）
第I卷（选择题）
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在四面体中，已知点是的中点，记，则等于（ ）
A. B.
C. D.
2.若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3.若直线的一个法向量是，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
5.设是的二面角内一点，是垂足，，则的长度为（ ）
A. B.5 C. D.
6.对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ）
A.四点共面 B.四点共面
C.四点共面 D.五点共面
7.将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论不正确的是（ ）
A.
B.，所成角为
C.为等边三角形
D.与平面所成角为
8.正方形的边长为12，其内有两点，点到边的距离分别为3，2，点到边的距离也分别是3和2.如图，现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合.则此时两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：体题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.
9.下列说法中，正确的有（ ）
A.直线必过定点
B.方程是直线的一般式方程
C.直线的斜率为
D.点到直线的距离为1
10.已知空间单位向量两两垂直，则下列结论正确的是（ ）
A.向量与共线
B.问量的模是
C.可以构成空间的一个基底
D.向量和夹角的余弦值为
11.如图，已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为，所有顶点均在球的球面上，则下列说法错误的是（ ）
A.直线与直线异面
B.若是侧棱上的动点，则的最小值为
C.直线与平面所成角的正弦值为
D.球的表面积为
第II卷（非选择题）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是__________.
13.若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为__________.
14.已知正三棱柱的底面边长为，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线的方程：
（1）过定点；
（2）斜率为.
16.（本小题满分15分）如图，在四面体中，面是的中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面.
17.（本小题满分15分）如图所示，平行六面体中.
（1）用向量表示向量，并求；
（2）求
18.（本小题满分17分）如图，在五棱锥中，平面是等腰三角形.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
19.（本小题满分17分）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为是边长为2的等边三角形，且，点在棱上运动（包括端点）.请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：
（1）若点为棱的中点，求点到平面的距离；
（2）求锐二面角的余弦值的取值范围.
滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试
数学试题参考答案
一 单选题
1.A 2.D 3.B 4.C 5.D 6.B 7.D
8.【答案】B
【详解】解法一：如图建系
设圆柱底面半径为，则，所以，
则
所以.
解法二：如图，设过点且平行底面的截面圆心为，
过点且平行底面的截面圆心为，设圆柱底面半径为，则，
所以，则，
.
二 多选题
9.AD 10.BCD.
11.【答案】AC
【详解】对于A，如图①，连接，则，所以，所以直线与直线共面，故A错误；
对于B，将平面沿着翻折到与平面共面的位置，得到矩形，
如图②所示.因为底面边长为，所以，
则的最小值为，故B正确；
对于C，以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴，建立如图
①所示的空间直角坐标系，
则，所以.
设平面的法向量为，则，即，
令，得，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，则，故C错误；
对于D，如图③，设球的半径为，根据对称性可知，正六棱柱的外接球的球心在上
下底面的中心的连线的中点处.
，则，
所以球的表面积，故D正确.
三 填空题
12.
13.【答案】
【详解】由解得
把代入可得，所以，
所以点到原点的距离，
当时等号成立，此时.
所以点到原点的距离的最小值为.
14.【答案】
【详解】由题意知内切球的半径为1，设球心为，
则
.因为，所以.
四 解答题
15.【答案】（1）或.（2）或.
【详解】（1）由题意知直线的斜率存在，设为
则直线的方程为，
它在轴，轴上的截距分别是，
由已知，得，
解得或.
故直线的方程为或.
（2）设直线在轴上的截距为，则直线的方程是，
它在轴上的截距是，
由已知，得，
所以.
所以直线的方程为或.
16.解法一：
以为坐标原点，所在直线为z轴，线段的延长线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，由题意得，
因为，所以
即
即
所以，
所以
又因为面BCD的一个法向量为
所以所以
又因为面
所以面.
解法二：
取的中点，连接，因为为BM的中点，
所以，所以平面，
过作，交BC于
以为坐标原点，的方向分别为x轴 y
轴 z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为为中点，设
则
设点的坐标为.
因为，所以.
因为为的中点，故，又为的中点，故，
所以
又平面BCD的一个法向量为，
故，所以
又平面BCD，
所以平面BCD.
17.【答案】
（1）（2）
【详解】（1），
则
，
所以.
（2）由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
因为是正方形，所以
，
则.
18.【答案】（1）见详解（2）
【详解】（1）证明：在中，因为，
所以，
因此
故，
所以，即
又平面，所以.
又平面，且，
所以平面.
又平面，
所以平面平面.
（或者建系求法向量，证明法向量垂直，略）
（2）由（1）知两两相互垂直，分别以的方向为轴 轴 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于是等腰三角形，所以.
又，因此，
.因为，
所以四边形是直角梯形.
因为，
所以，因此，
故，所以.
因此.
设是面的一个法向量，
则，解得.
取，得.
又，
设表示向量与平面的法向量所成的角，
则，
又因为，所以，
因此直线与平面所成的角为.
19.【答案】（1）（2）
解法一：
连接，因为在平面内的射影为，所以平面，
由于平面，所以，
由于三角形是等边三角形，所以，
，又，
以为原点，分别以的方向为轴 轴
轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
因为所以
又因为为中点，所以所以
设面的一个法向量为
则
令，则所以
所以点到平面的距离为
（2）因为在棱上（包括端点）设
因为，所以
设平面的法向量为，
令，则所以，
设锐二面角为，
则，
令，所以，
设则，
二次函数的开口向上，对称轴为，
所以当时，该二次函数单调递增，
所以当时，该二次函数有最小值，
当时，该二次函数有最大值，
所以，即.
所以锐二面角的余弦值的取值范围.
解法二：
（1）连接，因为在平面内的射影为，所以平面，
由于平面，所以，
由于三角形是等边三角形，所以，
又，
以为原点，分别以的方向为轴 轴 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
又，故，
则
设平面的法向量为，
则，故可设，
又，所以点到平面的距离为.
（2）设，
则，
设平面的法向量为，
则
令，所以，所以，
设锐二面角为，
则
令，所以，
设则，
二次函数的开口向上，对称轴为，
所以当时，该二次函数单调递增，
所以当时，该二次函数有最小值，
当时，该二次函数有最大值，
所以，即.
所以锐二面角的余弦值的取值范围.

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