资源简介 高中数学《三角函数》经典专题训练(含解析答案)评卷人 得 分一.单选题(每题3分,共60分)1.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别为( )A.2,-B.2,-C.4,-D.4,2.下列说法正确的个数是( )①小于90°的角是锐角;②钝角一定大于第一象限角;③第二象限的角一定大于第一象限的角;④始边与终边重合的角为0°.A.0 B.1 C.2 D.33.若0<y<x<,且tan2x=3tan(x-y),则x+y的可能取值是( )A.B.C.D.4.已知函数y=tan(ωx)(ω>0)的最小正周期为2π,则函数y=ωcosx的值域是( )A.[-2,2] B.[-1,1] C.[-,] D.[-,]5.在△ABC中,sin2=(a、b、c分别为角A、B、C的对应边),则△ABC的形状为( )A.正三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形6.已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是( )A.f(x)既是偶函数又是周期函数B.f(x)最大值是1C.f(x)的图象关于点(,0)对称D.f(x)的图象关于直线x=π对称7.sin55°sin65°-cos55°cos65°值为( )A.B.C.-D.-8.若角α终边上一点的坐标为(1,-1),则角α为( )A.2kπ+B.2kπ-C.kπ+D.kπ-,其中k∈Z9.为了得到函数的图象,只需把函数的图象( )A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度10.已知α是第二象限的角,那么是第几象限的角( )A.第一、二象限角 B.第二、三象限角C.第一、三象限角 D.第三、四象限角11.函数y=cos(2x-),在区间[-,π]上的简图是( )A.B.C.D.12.已知α为锐角,sin(α+)=,则sinα的值是( )A.B.C.-D.13.已知cos2α+sinα(2sinα-1)=,α∈(,π),则tan()的值为( )A.B.C.D.14.已知m>0,且mcosα-sinα=sin(α+φ),则tanφ=( )A.-2 B.-C.D.215.已知cosα+sinα=,则cos(-2α)的值等于( )A.-B.-C.D.16.为了得到函数y=3cos2x的图象,只需把函数y=3sin(2x+)的图象上所有的点( )A.向右平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动个单位长度 D.向左平行移动个单位长度17.若,并且α是第二象限角,那么sinα的值为( )A.B.C.D.18.若α是锐角,且cos(α+)=,则sinα的值等于( )A.B.C.D.19.若cosα=-,α是第三象限角,则=( )A.2 B.C.-2 D.-20.在△ABC中,若3cos(A-B)+5cosC=0,则tanC的最大值为( )A.-B.-C.-D.-2评卷人 得 分二.填空题(每题3分,共15分)21.把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,则得到的函数的解析式是______.22.已知π<α+β<π,-π<α-β<-,则2α的取值范围是______.23.已知α、β均为锐角,且tanβ=,则tan(α+β)=______.24.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sinα+cosβ=______.25.sin14°cos16°+cos14°sin16°的值等于______.评卷人 得 分三.简答题(每题5分,共25分)26.函数f(x)=2acos2x+bsinxcosx,满足f(0)=2,f()=+,(1)求函数f(x)的最大值和最小值;(2)若α,β∈(0,π),f(α)=f(β),且α≠β,求tan(α+β)的值.27.已知向量=(-2,sinθ)与=(cosθ,1)互相垂直,其中θ∈(,π).(1)求sinθ和cosθ的值;(2)若sin(θ-φ)=,<φ<π,求cosφ的值.28.已知函数.(1)求f(x)的最小正周期和对称中心;(2)若不等式|f(x)-m|≤3对一切x∈[-,]恒成立,求实数m的取值范围;(3)当x∈[-π,π]时,求f(x)的单调递减区间.29.已知f(x)=coscos-sinsin.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)当x∈,求函数f(x)的零点.30.已知函数(a为常数,x∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)若函数f(x)在上的最大值与最小值之和为3,求常数a的值.参考答案评卷人 得 分一.单选题(共__小题)1.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别为( )A.2,-B.2,-C.4,-D.4,答案:A解析:解:由图可知,,∴T=π,则,∴ω=2.又据五点法可得=,解得:φ=-.故选:A.2.下列说法正确的个数是( )①小于90°的角是锐角;②钝角一定大于第一象限角;③第二象限的角一定大于第一象限的角;④始边与终边重合的角为0°.A.0 B.1 C.2 D.3答案:A解析:解:①-30°是小于90°的角,但它不是锐角,故①错误; ②390°是第一象限的角,故②错误;③第二象限的角必大于第一象限的角,错误,例如-225°为第二象限的角,30°为第一象限的角,-225°<30°;④始边与终边重合的角为k 360°,错误;故选:A.3.若0<y<x<,且tan2x=3tan(x-y),则x+y的可能取值是( )A.B.C.D.答案:A解析:解:∵tan2x=3tan(x-y),∴tan[(x+y)+(x-y)]=3tan(x-y),由两角和的正切公式可得=3tan(x-y),变形可得tan(x+y)+tan(x-y)=3tan(x-y)-3tan2(x-y)tan(x+y),即[1+3tan2(x-y)]tan(x+y)=2tan(x-y),∴tan(x+y)==,∵0<y<x<,∴0<x-y<,∴tan(x-y)>0,∴由基本不等式可得tan(x+y)=≤=当且仅当tan(x-y)=时取等号,结合0<x+y<π可得x+y≤,或<x+y<π,四个选项只有A符合,故选:A4.已知函数y=tan(ωx)(ω>0)的最小正周期为2π,则函数y=ωcosx的值域是( )A.[-2,2] B.[-1,1] C.[-,] D.[-,]答案:D解析:解:∵函数y=tan(ωx)(ω>0)的最小正周期为2π,∴T==2π,∴ω=.∴函数y=ωcosx=cosx∈[-,],∴函数y=cosx的值域是[-,],故选:D.5.在△ABC中,sin2=(a、b、c分别为角A、B、C的对应边),则△ABC的形状为( )A.正三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形答案:B解析:解:因为sin2==,即,由余弦定理可得,可得a2+b2=c2,所以三角形是直角三角形.故选B.6.已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是( )A.f(x)既是偶函数又是周期函数B.f(x)最大值是1C.f(x)的图象关于点(,0)对称D.f(x)的图象关于直线x=π对称答案:B解析:解:A,∵f(x)=cosxsin2x,∴f(-x)=cos(-x)sin2(-x)=cosxsin2x=f(x),∴f(x)是偶函数;又f(x+2π)=cos(x+2π)sin2(x+2π)=cosxsin2x=f(x),f(x)是周期函数;∴f(x)既是偶函数又是周期函数,即A正确;B,∵|cosx|≤1,|sin2x|≤1,二者不能同时取到等号,∴无论x取什么值,f(x)=cosxsin2x均取不到值1,故B错误;C,∵f(x)+f(π-x)=cosxsin2x+cos(π-x)sin2(π-x)=cosxsin2x-cosxsin2x=0,∴f(x)的图象关于点(,0)对称,即C正确;D,∵f(2π-x)=cos(2π-x)sin2(2π-x)=cosxsin2x=f(x),∴f(x)的图象关于直线x=π对称,即D正确.综上所述,结论中错误的是:B.故选:B.7.sin55°sin65°-cos55°cos65°值为( )A.B.C.-D.-答案:A解析:解:sin55°sin65°-cos55°cos65°=-cos(55°+65°)=-cos120°=,故选:A.8.若角α终边上一点的坐标为(1,-1),则角α为( )A.2kπ+B.2kπ-C.kπ+D.kπ-,其中k∈Z答案:B解析:解:终边过点(1,-1),那么可以作出角α的终边,进而得出角α的大小.所以,α=2kπ-;故选B.9.为了得到函数的图象,只需把函数的图象( )A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度答案:C解析:解:∵===∴把函数的图象向右平移个单位即可得的图象故选 C10.已知α是第二象限的角,那么是第几象限的角( )A.第一、二象限角 B.第二、三象限角C.第一、三象限角 D.第三、四象限角答案:C解析:解:∵α是第二象限的角,∴2kπ+<α<2kπ+π,k∈z,∴kπ+<<kπ+,k∈z,故是第一、三象限角,故选 C.11.函数y=cos(2x-),在区间[-,π]上的简图是( )A.B.C.D.答案:A解析:解:∵y=cos(2x-)=cos(-2x)=sin[-(-2x)]=sin(2x-),又x∈[-,π],∴2x-∈[-,],∴当x=-时,y=sin(-π-)=-sin(π+)=sin=>0,故可排除B,D;又当x=-时,y=sin(2x-)=sin(-π)=0,可排除C,故选A.12.已知α为锐角,sin(α+)=,则sinα的值是( )A.B.C.-D.答案:D解析:解:α为锐角,sin(α+)=<,∴π>α+>.∴cos(α+)=-=-,∴sinα=sin[(α+)-]=sin(α+)cos-cos(α+)sin=+=,故选:D.13.已知cos2α+sinα(2sinα-1)=,α∈(,π),则tan()的值为( )A.B.C.D.答案:A解析:解:∵cos2α+sinα(2sinα-1)=,∴1-2sin2α+2sin2α-sinα=,解得sinα=,又α∈(,π),∴cosα==-,∴tanα==,∴tan()==故选:A14.已知m>0,且mcosα-sinα=sin(α+φ),则tanφ=( )A.-2 B.-C.D.2答案:A解析:解:因为mcosα-sinα=sin(α+φ)=cosφsinα+sinφcosα,所以,所以m2+1=5,所以m=2,tanφ=-m=-2.故选A.15.已知cosα+sinα=,则cos(-2α)的值等于( )A.-B.-C.D.答案:B解析:解:∵cosα+sinα=,∴,∴.∴cos(-2α)==.故选:B.16.为了得到函数y=3cos2x的图象,只需把函数y=3sin(2x+)的图象上所有的点( )A.向右平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动个单位长度 D.向左平行移动个单位长度答案:D解析:解:函数y=3cos2x=3sin(2x+),把函数y=3sin(2x+)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,可得函数y=3sin[2(x+)+]=3sin(2x+) 的图象,故选:D.17.若,并且α是第二象限角,那么sinα的值为( )A.B.C.D.答案:D解析:解:∵,∴,即cosα=-2sinα.又sin2α+cos2α=1,∴sin2α+(-2sinα)2=1,即5sin2α=1.又α是第二象限角,∴.故选:D.18.若α是锐角,且cos(α+)=,则sinα的值等于( )A.B.C.D.答案:B解析:解:α是锐角,且cos(α+)=,∴sin(α+)=,则sinα=sin[(α+)-]=sin(α+)cos-cos(α+)sin=-×=,故选:B.19.若cosα=-,α是第三象限角,则=( )A.2 B.C.-2 D.-答案:D解析:解:若cosα=-,α是第三象限角,则有 sinα=-.∴====-,故选D.20.在△ABC中,若3cos(A-B)+5cosC=0,则tanC的最大值为( )A.-B.-C.-D.-2答案:B解析:解:△ABC中,若3cos(A-B)+5cosC=0,即3cos(A-B)+5cos(π-A-B)=3cos(A-B)-5cos(A+B)=0,即 3cosAcosB+3sinAsinB-5cosAcosB+5sinAsinB=0,故8sinAsinB=2cosAcosB,tanAtanB=,tanA+tanB≥2=1,∴tan(A+B)=≥=,则tanC=-tan(A+B)≤-,当且仅当tanA=tanB时,等号成立,故选:B.评卷人 得 分二.填空题(共__小题)21.把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,则得到的函数的解析式是______.答案:y=3sin2x-1解析:解:把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,可得函数y=3sin[2(x-)+]=3sin2x的图象,再向下平移1个单位长度,则得到的函数的解析式是y=3sin2x-1,故答案为 y=3sin2x-1.22.已知π<α+β<π,-π<α-β<-,则2α的取值范围是______.答案:(0,π)解析:解:∵π<α+β<π,-π<α-β<-,∴0<2α<π,∴2α的取值范围是(0,π).故答案为:(0,π).23.已知α、β均为锐角,且tanβ=,则tan(α+β)=______.答案:1解析:解析:∵tanβ=,∴tanβ==tan(-α).又∵α、β均为锐角,∴β=-α,即α+β=,∴tan(α+β)=tan=1.故答案为:1.24.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sinα+cosβ=______.答案:解析:解:∵<β<α<,∴-<-β<-,∴π<α+β<,0<α-β<.又cos(α-β)=,sin(α+β)=-,∴sin(α-β)==,cos(α+β)=-,∴cos[(α-β)+(α+β)]=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)=×(-)-×(-)=-.同理可求:cos[(α+β)-(α-β)]=-;又α=,β=,由<β<α<可知,sinα>0,cosβ<0.∴sinα=sin===,cosβ=cos=-=-=-,∴sinα+cosβ==.故答案为:.25.sin14°cos16°+cos14°sin16°的值等于______.答案:解析:解:由题意sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin30°=故答案为:.评卷人 得 分三.简答题(共__小题)26.函数f(x)=2acos2x+bsinxcosx,满足f(0)=2,f()=+,(1)求函数f(x)的最大值和最小值;(2)若α,β∈(0,π),f(α)=f(β),且α≠β,求tan(α+β)的值.答案:解:(1)函数f(x)=2acos2x+bsinxcosx=a(1+cos2x)+,∵f(0)=2,f()=+,∴2a=2,+=,解得a=1,b=2.∴f(x)=1+cos2x+sin2x=+1,∵∈[-1,1],∴f(x)max=+1,f(x)min=1-.(2)∵f(α)=f(β),∴=,∵α,β∈(0,π),且α≠β,∴+=π或3π,∴α+β=或.∴tan(α+β)=1.27.已知向量=(-2,sinθ)与=(cosθ,1)互相垂直,其中θ∈(,π).(1)求sinθ和cosθ的值;(2)若sin(θ-φ)=,<φ<π,求cosφ的值.答案:解:(1)∵与互相垂直,则,即sinθ=2cosθ,代入sin2θ+cos2θ=1得,,又∵θ,∴.(2)∵φ<π,∴<θ-φ<,由sin(θ-φ)=,结合同角三角函数关系得∴cosφ=cos(θ-(θ-φ))=cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ)=.28.已知函数.(1)求f(x)的最小正周期和对称中心;(2)若不等式|f(x)-m|≤3对一切x∈[-,]恒成立,求实数m的取值范围;(3)当x∈[-π,π]时,求f(x)的单调递减区间.答案:解:(1)f(x)=-2sin2x+2sinxcosx+2=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,∴f(x)的最小正周期为T==π.令2x+=kπ,则x=-(k∈Z),∴f(x)的对称中心为(-,1)(k∈Z).(2)∵x∈[-,],∴-≤2x+≤,∴-≤sin(2x+)≤1,∴0≤f(x)≤3.∴当x=-时,f(x)的最小值为0;当x=时,f(x)的最大值为3.由题意得,-3≤f(x)-m≤3,∴m-3≤f(x)≤m+3对一切x∈[-,]恒成立,∴,解得0≤m≤3,∴所求实数m的取值范围为[0,3].(3)由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),即f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z),又x∈[-π,π],∴f(x)的单调递减区间为[-,-],[,].29.已知f(x)=coscos-sinsin.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)当x∈,求函数f(x)的零点.答案:解:(Ⅰ)f(x)=coscos-sinsin=cos(+)=cos2x,(4分)∵ω=2,∴T==π,则函数f(x)的最小正周期为π;(5分)(Ⅱ)令f(x)=0,即cos2x=0,又∵x∈[,π],(7分)∴2x∈[π,2π],(9分)∴2x=,即x=,则x=是函数f(x)的零点.(12分)30.已知函数(a为常数,x∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)若函数f(x)在上的最大值与最小值之和为3,求常数a的值.答案:解:(Ⅰ)==-2=,∴函数f(x)的最小正周期T==π. (Ⅱ)当x∈,,∴函数f(x)在上的最大值是,最小值是,∴(1+a)+(-2+a)=3,得a=2.高中数学三角函数(大题)专项训练1.在△ABC中,角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1,已知2(sin2A﹣sin2C)=(a﹣b)sinB.(1)证明a2+b2﹣c2=ab;(2)求角C和边c.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣).(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.3.已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=﹣.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α﹣β)的值.4.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.5.已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)若f(x)在区间[﹣,m]上的最大值为,求m的最小值.6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2﹣b2﹣c2)(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)求sin(2B﹣A)的值7.设函数f(x)=sin(ωx﹣)+sin(ωx﹣),其中0<ω<3,已知f()=0.(Ⅰ)求ω;(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[﹣,]上的最小值.8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.(Ⅰ)求b和sinA的值;(Ⅱ)求sin(2A+)的值.9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.11.已知函数f(x)=cos(2x﹣)﹣2sinxcosx.(I)求f(x)的最小正周期;(II)求证:当x∈[﹣,]时,f(x)≥﹣.12.已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π].(1)若,求x的值;(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.13.在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.14.已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求f(x)的单调递增区间.15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.16.设f(x)=2sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2.(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g()的值.17.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA.(1)求B;(2)已知cosA=,求sinC的值.18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(Ⅰ)证明:A=2B;(Ⅱ)若△ABC的面积S=,求角A的大小.19.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.(Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC;(Ⅱ)若b2+c2﹣a2=bc,求tanB.20.在△ABC中,AC=6,cosB=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos(A﹣)的值.21.已知函数f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间[﹣,]上的单调性.22.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.参考答案1.在△ABC中,角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1,已知2(sin2A﹣sin2C)=(a﹣b)sinB.(1)证明a2+b2﹣c2=ab;(2)求角C和边c.【解答】证明:(1)∵在△ABC中,角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1,∴由正弦定理得:=2R=2,∴sinA=,sinB=,sinC=,∵2(sin2A﹣sin2C)=(a﹣b)sinB,∴2()=(a﹣b) ,化简,得:a2+b2﹣c2=ab,故a2+b2﹣c2=ab.解:(2)∵a2+b2﹣c2=ab,∴cosC===,解得C=,∴c=2sinC=2 =.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣).(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理得,得bsinA=asinB,又bsinA=acos(B﹣).∴asinB=acos(B﹣),即sinB=cos(B﹣)=cosBcos+sinBsin=cosB+,∴tanB=,又B∈(0,π),∴B=.(Ⅱ)在△ABC中,a=2,c=3,B=,由余弦定理得b==,由bsinA=acos(B﹣),得sinA=,∵a<c,∴cosA=,∴sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A﹣1=,∴sin(2A﹣B)=sin2AcosB﹣cos2AsinB==.3.已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=﹣.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α﹣β)的值.【解答】解:(1)由,解得,∴cos2α=;(2)由(1)得,sin2,则tan2α=.∵α,β∈(0,),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)==.则tan(α+β)=.∴tan(α﹣β)=tan[2α﹣(α+β)]==.4.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.【解答】解:(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.∴由正弦定理得:=,即=,∴sin∠ADB==,∵AB<BD,∴∠ADB<∠A,∴cos∠ADB==.(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB=,∵DC=2,∴BC===5.5.已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)若f(x)在区间[﹣,m]上的最大值为,求m的最小值.【解答】解:(I)函数f(x)=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin(2x﹣)+,f(x)的最小正周期为T==π;(Ⅱ)若f(x)在区间[﹣,m]上的最大值为,可得2x﹣∈[﹣,2m﹣],即有2m﹣≥,解得m≥,则m的最小值为.6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2﹣b2﹣c2)(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)求sin(2B﹣A)的值【解答】(Ⅰ)解:由,得asinB=bsinA,又asinA=4bsinB,得4bsinB=asinA,两式作比得:,∴a=2b.由,得,由余弦定理,得;(Ⅱ)解:由(Ⅰ),可得,代入asinA=4bsinB,得.由(Ⅰ)知,A为钝角,则B为锐角,∴.于是,,故.7.设函数f(x)=sin(ωx﹣)+sin(ωx﹣),其中0<ω<3,已知f()=0.(Ⅰ)求ω;(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[﹣,]上的最小值.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=sin(ωx﹣)+sin(ωx﹣)=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin(﹣ωx)=sinωx﹣cosωx=sin(ωx﹣),又f()=sin(ω﹣)=0,∴ω﹣=kπ,k∈Z,解得ω=6k+2,又0<ω<3,∴ω=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=sin(2x﹣),将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(x﹣)的图象;再将得到的图象向左平移个单位,得到y=sin(x+﹣)的图象,∴函数y=g(x)=sin(x﹣);当x∈[﹣,]时,x﹣∈[﹣,],∴sin(x﹣)∈[﹣,1],∴当x=﹣时,g(x)取得最小值是﹣×=﹣.8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.(Ⅰ)求b和sinA的值;(Ⅱ)求sin(2A+)的值.【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,∵a>b,故由sinB=,可得cosB=.由已知及余弦定理,有=13,∴b=.由正弦定理,得sinA=.∴b=,sinA=;(Ⅱ)由(Ⅰ)及a<c,得cosA=,∴sin2A=2sinAcosA=,cos2A=1﹣2sin2A=﹣.故sin(2A+)==.9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.【解答】解:(1)由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=,∴3csinBsinA=2a,由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA,∵sinA≠0,∴sinBsinC=;(2)∵6cosBcosC=1,∴cosBcosC=,∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣,∴cos(B+C)=﹣,∴cosA=,∵0<A<π,∴A=,∵===2R==2,∴sinBsinC= ===,∴bc=8,∵a2=b2+c2﹣2bccosA,∴b2+c2﹣bc=9,∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33,∴b+c=∴周长a+b+c=3+.10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.【解答】解:(1)sin(A+C)=8sin2,∴sinB=4(1﹣cosB),∵sin2B+cos2B=1,∴16(1﹣cosB)2+cos2B=1,∴16(1﹣cosB)2+cos2B﹣1=0,∴16(cosB﹣1)2+(cosB﹣1)(cosB+1)=0,∴(17cosB﹣15)(cosB﹣1)=0,∴cosB=;(2)由(1)可知sinB=,∵S△ABC=ac sinB=2,∴ac=,∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=(a+c)2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4,∴b=2.11.已知函数f(x)=cos(2x﹣)﹣2sinxcosx.(I)求f(x)的最小正周期;(II)求证:当x∈[﹣,]时,f(x)≥﹣.【解答】解:(Ⅰ)f(x)=cos(2x﹣)﹣2sinxcosx,=(co2x+sin2x)﹣sin2x,=cos2x+sin2x,=sin(2x+),∴T==π,∴f(x)的最小正周期为π,(Ⅱ)∵x∈[﹣,],∴2x+∈[﹣,],∴﹣≤sin(2x+)≤1,∴f(x)≥﹣12.已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π].(1)若,求x的值;(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【解答】解:(1)∵=(cosx,sinx),=(3,﹣),∥,∴﹣cosx=3sinx,当cosx=0时,sinx=1,不合题意,当cosx≠0时,tanx=﹣,∵x∈[0,π],∴x=,(2)f(x)==3cosx﹣sinx=2(cosx﹣sinx)=2cos(x+),∵x∈[0,π],∴x+∈[,],∴﹣1≤cos(x+)≤,当x=0时,f(x)有最大值,最大值3,当x=时,f(x)有最小值,最小值﹣2.13.在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.【解答】解:(1)∠A=60°,c=a,由正弦定理可得sinC=sinA=×=,(2)a=7,则c=3,∴C<A,∵sin2C+cos2C=1,又由(1)可得cosC=,∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=,∴S△ABC=acsinB=×7×3×=6.14.已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求f(x)的单调递增区间.【解答】解:f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx,=sin2ωx+cos2ωx,=,由于函数的最小正周期为π,则:T=,解得:ω=1.(2)由(1)得:函数f(x)=,令(k∈Z),解得:(k∈Z),所以函数的单调递增区间为:[](k∈Z).15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,∴sinB+sinC=2sinAcosB,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).∴A=2B.(II)解:cosB=,∴sinB==.cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==.∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.16.设f(x)=2sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2.(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g()的值.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=2sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2 =2sin2x﹣1+sin2x=2 ﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin(2x﹣)+﹣1,令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,可得函数的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z.(Ⅱ)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=2sin(x﹣)+﹣1的图象;再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)=2sinx+﹣1的图象,∴g()=2sin+﹣1=.17.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA.(1)求B;(2)已知cosA=,求sinC的值.【解答】解:(1)∵asin2B=bsinA,∴2sinAsinBcosB=sinBsinA,∴cosB=,∴B=.(2)∵cosA=,∴sinA=,∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB==.18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(Ⅰ)证明:A=2B;(Ⅱ)若△ABC的面积S=,求角A的大小.【解答】(Ⅰ)证明:∵b+c=2acosB,∴sinB+sinC=2sinAcosB,∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B)∵A,B是三角形中的角,∴B=A﹣B,∴A=2B;(Ⅱ)解:∵△ABC的面积S=,∴bcsinA=,∴2bcsinA=a2,∴2sinBsinC=sinA=sin2B,∴sinC=cosB,∴B+C=90°,或C=B+90°,∴A=90°或A=45°.19.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.(Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC;(Ⅱ)若b2+c2﹣a2=bc,求tanB.【解答】(Ⅰ)证明:在△ABC中,∵+=,∴由正弦定理得:,∴=,∵sin(A+B)=sinC.∴整理可得:sinAsinB=sinC,(Ⅱ)解:b2+c2﹣a2=bc,由余弦定理可得cosA=.sinA=,=+==1,=,tanB=4.20.在△ABC中,AC=6,cosB=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos(A﹣)的值.【解答】解:(1)∵△ABC中,cosB=,B∈(0,π),∴sinB=,∵,∴AB==5;(2)cosA═﹣cos(π﹣A)=﹣cos(C+B)=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣.∵A为三角形的内角,∴sinA=,∴cos(A﹣)=cosA+sinA=.21.已知函数f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间[﹣,]上的单调性.【解答】解:(1)∵f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.∴x≠kπ+,即函数的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z},则f(x)=4tanxcosx (cosx+sinx)﹣=4sinx(cosx+sinx)﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣=sin2x+(1﹣cos2x)﹣=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣),则函数的周期T=;(2)由2kπ﹣<2x﹣<2kπ+,k∈Z,得kπ﹣<x<kπ+,k∈Z,即函数的增区间为(kπ﹣,kπ+),k∈Z,当k=0时,增区间为(﹣,),k∈Z,∵x∈[﹣,],∴此时x∈(﹣,],由2kπ+<2x﹣<2kπ+,k∈Z,得kπ+<x<kπ+,k∈Z,即函数的减区间为(kπ+,kπ+),k∈Z,当k=﹣1时,减区间为(﹣,﹣),k∈Z,∵x∈[﹣,],∴此时x∈[﹣,﹣),即在区间[﹣,]上,函数的减区间为∈[﹣,﹣),增区间为(﹣,].22.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,整理得:2cosCsin(A+B)=sinC,即2cosCsin(π﹣(A+B))=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=,∴C=;(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab ,∴(a+b)2﹣3ab=7,∵S=absinC=ab=,∴ab=6,∴(a+b)2﹣18=7,∴a+b=5,∴△ABC的周长为5+. 展开更多...... 收起↑ 资源预览