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2025届高考数学一轮复习收官模拟新课标Ⅰ卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数z满足，则( )
A.1 B. C. D.
3.设向量，向量，向量，则( )
A.-2 B.1 C.-6 D.-7
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C.π D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知函数若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，，则( )
A.-51 B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.李明每天从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则( )
A.
B.
C.李明计划前到校，应选择坐公交车
D.李明计划前到校，应选择骑自行车
10.已知函数，则( )
A.有两个极值点
B.有三个零点
C.点是曲线的对称中心
D.直线是曲线的切线
11.已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则下列说法正确的是( )
A.抛物线的准线方程为
B.若，则M到x轴的距离为3
C.若，则
D.的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
13.已知曲线存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为___________.
14.九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方，已知幻和等于15的九宫格共有8种.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件“”，则的值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的外接圆半径为R，且，.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的周长.
16.（15分）已知椭圆的长轴长为4，右焦点到直线的距离为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于M，N两点，椭圆上存在点P，使得，求实数的值.
17.（15分）如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，点N为PC上的动点.
（1）求证：存在点N，使得.
（2）求二面角的正弦值.
18.（17分）已知函数.
（1）求函数的单调区间和最大值；
（2）设函数有两个零点，，证明：.
19.（17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为，，…，，.
（1）当时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；
（2）当时，若构成等比数列，求正整数a；
（3）记，求证：.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为，，所以.
2.答案：D
解析：由，所以，故选D.
3.答案：C
解析：，，，又，.故选C.
4.答案：A
解析：因为，解得，所以.故选A.
5.答案：B
解析：设该圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，由已知条件可得解得故圆锥的高，所以该圆锥的体积为.故选B.
6.答案：C
解析：记曲线C对应的函数为，则.因为函数的图象关于y轴对称，所以，得.因为，所以.故选C.
7.答案：D
解析：当时，在上单调递增且；
当时，在上单调递增且，
所以在R上单调递增.
所以由，可得，由题可知的解集为R，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则有
解不等式组得.
综上可得，当时，的解集为R.故选D.
8.答案：D
解析：因为为奇函数，所以为奇函数，
所以，的图像关于点中心对称，.
因为为偶函数，所以，的图像关于直线对称.
由，得，则，
所以，，所以的图像关于点中心对称.
因为的图像关于直线对称，所以，，
所以，所以是以4为周期的周期函数.
因为，，所以，，，，所以.故选D.
9.答案：BCD
解析：由题意可得，，故，故A错误；，，所以，故B正确；，所以，故C正确；，，所以，故D正确.故选BCD.
10.答案：AC
解析：因为，所以，令，得.由，得或；由，得.所以在，上单调递增，在上单调递减，所以有两个极值点，故A正确.因为，，所以函数在R上有且只有一个零点，故B错误.因为函数的图象向上平移一个单位长度得函数的图象，函数的图象关于原点中心对称，所以点是曲线的对称中心，故C正确.假设直线是曲线的切线，切点为，则，解得.若，则切点坐标为，但点不在直线上，若，则切点坐标为，但点不在直线上，所以假设不成立，故D错误.
11.答案：ABD
解析：由题意知抛物线的准线方程为，A正确；抛物线的焦点为，设，，则，由抛物线的定义知，所以，所以M到x轴的距离为，B正确；，，由，得，即，又，所以，即，解得，，所以，C不正确；记抛物线的准线为直线l，过点P作垂直直线l于点，交抛物线于点Q，过A作垂直直线于点，连接，如图.，当且仅当点A与Q重合时取等号，所以，D正确.
12.答案：
解析：由题知，则，当且仅当，即时取等号.又点P是双曲线左支上任意一点，所以，即，所以.
13.答案：
解析：，依题意知有两个不同的实数解，即有两个不同的实数解，即有两个不同的实数解.令，则，所以有两个不同的实数解，所以与的图象有两个交点.，因为，所以，又，故.故实数a的取值范围是.
14.答案：
解析：由题意九宫格的中间位置填5；a，f，c，h位置填偶数2，4，6，8；b，d，g，e位置填奇数1，3，7，9.因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15，所以先从2，4，6，8中任意选出一个数填入a位置，则有4个结果，
②若a填2，
则h填8，c填6，f填4，b填7，e填1，g填3，d填9；
或h填8，c填4，f填6，b填9，e填3，g填1，d填7.
②若a填4，
则h填6，c填2，f填8，b填9，e填7，g填1，d填3；
或h填6，c填8，f填2，b填3，e填1，g填7，d填9.
③若a填6，
则h填4，c填2，f填8，b填7，e填9，g填3，d填1；
或h填4，c填8、f填2，b填1，e填3，g填9，d填7.
④若a填8，
则h填2，c填6，f填4，b填1，e填7，g填9，d填3；
或h填2，c填4，f填6，b填3，e填9，g填7，d填1.
所以总的结果数共8个，其中符合的情况有，，，，，，共6个，所以.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）由，
结合正弦定理，
得，
化简得，
故.
又，所以，
因此.
（2）由（1）知，，
则，
由正弦定理得，
令，则，，
则，解得，
因此的周长为.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得
解得
所以椭圆的方程为.
（2）设，，，
由得，
可得，，
所以，，
所以，
所以点.
因为点P在椭圆上，所以，
整理可得，解得，
所以实数的值为.
17.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以，
又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.
又，平面，平面PBC，所以平面PBC.
又，平面ADM，
所以平面平面PBC.
又平面AMD，所以平面PBC，
所以平面MABN与PC必有交点，且该交点为N，使.
（2）以D为原点，DC，DM所在直线分别为y，z轴，过点D在平面ABCD内作垂直于DC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为四边形ABCD是菱形，，所以，
又，，平面ABCD，
所以，，，，.
设平面AMP的法向量为.
则有
即
取，则.
设平面MPC的法向量为，
则有
即取，则.
则，
所以二面角的正弦值为.
18.答案：（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间和最大值；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）证明见解析
解析：（1）函数的定义域是，.
当时，恒成立，
故的单调递增区间为，无单调递减区间和最大值；
当时，令，得；令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
.
（2）证明：，
因为，为的两个零点，所以，不妨设.
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
证明等价于证明，
又因为，，在上单调递增，
因此证明原不等式等价于证明，即需证明，
即要证明，
即恒成立.
令，
则（等号不恒成立），
所以在上单调递减，所以，
又当时，取不到0，
所以在时恒成立，
因此不等式恒成立，即成立.
19.答案：（1）8
（2）
（3）见解析
解析：（1）当时正整数a的4个正约数构成等比数列，
比如1，2，4，8为8的所有正约数，即.
（2）由题意可知，，，，
因为，依题意可知，所以，
化简可得，所以，
因为，所以，
因此可知是完全平方数.
由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以，，…，为，，…，，
所以.
（3）证明：由题意知，，，…，，
所以，
因为，…，，
所以
，
因为，，所以，
所以，即.

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