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人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.2 画轴对称图形
学习目标
1．能作轴对称图形，能应用轴对称进行简单的图案设计；
2．能用轴对称的知识解决相应的数学问题．
3．通过独立思考、交流讨论、展示质疑，发展观察、归纳、想象及推理能力．
重点：作轴对称图形．
难点：用轴对称知识解决相应的数学问题．
老师告诉你
利用特殊点画对称图形的方法：
画一个图形关于某条直线的对称图形，只要分别作出图形中的一些特殊点关于此条直线的对称点，再连接这些对称点，便可得到原图形关于此直线的对称图形。
知识点拨
知识点1 轴对称变换
轴对称变换： 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线 l 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同(位置、朝向可能不同)；
轴对称变换的性质：
（1）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称点；
（2）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
【新知导学】
例1-1 .下列每对图形中的两个图形成轴对称变换的是（ ）
A． B． C． D．
【对应导练】
1．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是（　　）
A. 15：01 B. 10：51 C. 10：21 D. 12：01
2．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是 （　　）
A. AC=A'C' B. BO=B'O C. A′A⊥MN D. AB∥B'C'
3．把一个正方形如图对折三次后沿虚线剪下两个角，则展开余下部分所得的图形想是( )
A. B. C. D.
知识点2 画轴对称图形
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
找对称轴：对应点连线的垂直平分线即为对称轴
【新知导学】
例2-1．下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【对应导练】
1．作已知点关于某直线的对称点的第一步是（　　）
A. 过已知点作一条直线与已知直线相交
B. 过已知点作一条直线与已知直线垂直
C. 过已知点作一条直线与已知直线平行
D. 不确定
2．在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．
3．在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形．
在下面各图中画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于l成轴对称图形．
5 .利用图形中的对称点，画出图形的对称轴．
知识点3 轴对称综合题（几何变换）
综合应用线段垂直平分线性质判定、轴对称的性质、平移的性质、全等三角形判定、性质解决综合问题。
【新知导学】
例3-1 .如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，5）．B（﹣4，3），C（﹣1，1）．
（1）作出△ABC向右平移5个单位的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
（3）请求△ABC的面积．
【对应导练】
1 .如图，在四边形中，分别是边上的动点．
若的周长最小，利用无刻度直尺和圆规确定点的位置(不写作法，保留尺规作图痕迹)；
在(1)的条件下，求的度数．
2．折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，发展推理能力的一种有效的方法．

（1）如图1，四边形ABCD是长方形纸片，AB∥CD，折叠纸片，折痕为EF，AE和CD交于点G．探究∠A′EF和∠CFE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得C′G经过点E，折痕为GH．探究两次折痕EF和GH的位置关系，并说明理由．
3．如图，已知点P在∠AOB的内部，且点P与点M关于OA对称，PM交OA于点Q，点P与点N关于OB对称，PN交OB于点R，MN分别交OA，OB于点E，F．
（1）连接PE，PF，若MN=15，求△PEF的周长；
（2）若PM=PN，求证：OP平分∠AOB．
二、题型训练
1.画轴对称图形在网格中的应用
1.如图，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上，请在图①②③④中分别画出另一个三角形，使它与已知的三角形关于某条直线成轴对称，并画出对称轴．
如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，画出线段O′A'，使O′A′与OA关于直线l成轴对称．
（2）在图②中，画出△BCD的对称轴．
（3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF．
2.利用轴对称变换寻找全等三角形
3．如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3）．
（1）在图中△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，则C1（ _____，_____）；
（2）△A1B1C1的面积是 _____；
（3）如果要使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，那么点D的坐标是 _____．
4．如图，已知AD=AE，AB=AC．
（1）求证：∠B=∠C；
（2）若∠A=50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？
5．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形称为格点三角形.在网格中与成轴对称的全等格点三角形一共有__________________个.
成轴对称的作图在计算中的应用
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），已知AD=5，△ABC关于直线l对称．
（1）求点A的坐标；
（2）若点C的坐标为（-2，-2），判断△ABC的形状，并说明理由．
7．如图，已知△ABC．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1并写出各顶点的坐标．
（2）求△ABC的面积．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是（　　）
A. 等腰三角形 B. 菱形
C. 等腰梯形 D. 正六边形
2．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（　　）
A. 21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：01
3．小华将一张如图所示的矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形进行图形变换，构成了下列四个图形，这四个图形中不是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
4．如图所示的图形共有对称轴的条数为（　　）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
5．如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
6 .如图，△ABE和△ADC分别沿着边AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE与DC交于点F，则∠EFC的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
7.将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是（ ）
A．100° B．104° C．108° D．112°
8 .如图，小强拿一张正方形的纸，沿图甲中虚线对折一次得图乙，再对折一次得图丙，然后用剪刀沿图丙中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有_____对．
10．黑板上写着在正对着黑板的镜子里的像是 _____．
11 .如图，在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6，D为线段AC的中点，把△ABC沿BD折叠，C点的对应点为点E，若△ADE为直角三角形，则CD＝ ．
12 .如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有 种补法．
13 .如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C、D分别在y轴、 上运动，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）画出下列轴对称图形的对称轴．
15 .（6分）如图所示，在的正方形网格中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”. 是一个格点三角形，请你在图1，图2，图3中分别画出一个与成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影.（注：所画的三个图不能重复.）
16 .（9分）在图示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线MN与网格中竖直的线相重合．
（1）直接写出△ABC的面积；
（2）作出△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'；
（3）在网格内找一点D，使点D到线段BC，B'C'的距离相等且DB＝DC．（在网格上直接标出点D的位置，不写作法）
17 .（8分）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)作出关于x轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)在x轴上作出点P，使得最短，并写出点P的坐标．
18 .（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）当CF＝AB时，点E运动多长时间？并说明理由．
19 .（9分）在平面直角坐标系中，经过点M（0，m）且平行于x轴的直线记作直线y＝m．给出如下定义：①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段②将点P（x，y）关于y轴的对称点记作点P1，再将点P1关于直线y＝m的对称点记作点P2，则称点P2为点P（x，y）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”．例如：点P（3，1）关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”为点P2（﹣3，5）．
（1）点A（3，4）关于y轴和直线y＝1的“青一对称点”A2的坐标是 　 　；
（2）点B（3m+n，m﹣n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是（﹣9，5），求m和n的值；
（3）若点C（6x﹣5，2x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.2 画轴对称图形
学习目标
1．能作轴对称图形，能应用轴对称进行简单的图案设计；
2．能用轴对称的知识解决相应的数学问题．
3．通过独立思考、交流讨论、展示质疑，发展观察、归纳、想象及推理能力．
重点：作轴对称图形．
难点：用轴对称知识解决相应的数学问题．
老师告诉你
利用特殊点画对称图形的方法：
画一个图形关于某条直线的对称图形，只要分别作出图形中的一些特殊点关于此条直线的对称点，再连接这些对称点，便可得到原图形关于此直线的对称图形。
知识点拨
知识点1 轴对称变换
轴对称变换： 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线 l 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同(位置、朝向可能不同)；
轴对称变换的性质：
（1）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称点；
（2）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
【新知导学】
例1-1 .下列每对图形中的两个图形成轴对称变换的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可.
【详解】
A.两个图形是平移变换，不符合题意；
B.两个图形是平移变换，不符合题意；
C.两个图形成轴对称，符合题意；
D.两个图形是旋转+平移变换，不符合题意；
故选C.
【名师点拨】
本题主要考查图形的轴对称的定义，掌握轴对称的定义，是解题的关键.
【对应导练】
1．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是（　　）
A. 15：01 B. 10：51 C. 10：21 D. 12：01
【答案】C
【解析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的5实际应为2．
解：电子表的实际时刻是10：21．
故选：C．
2．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是 （　　）
A. AC=A'C' B. BO=B'O C. A′A⊥MN D. AB∥B'C'
【答案】D
【解析】根据轴对称的性质逐项判断即可得．
解：A．AC=A′C′，则此项正确，不符合题意；
B．BO=B′O，则此项正确，不符合题意；
C．AA′⊥MN，则此项正确，不符合题意；
D．AB∥B'C'不一定正确，则此项符合题意；
故选：D．
3．把一个正方形如图对折三次后沿虚线剪下两个角，则展开余下部分所得的图形想是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：从折叠的图形中剪去10个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去5个小正方形，
故选：C.
知识点2 画轴对称图形
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
找对称轴：对应点连线的垂直平分线即为对称轴
【新知导学】
例2-1．下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据轴对称的定义判断即可得．
解：作△ABC关于直线MN的轴对称图形正确的是B选项，
故选：B．
【对应导练】
1．作已知点关于某直线的对称点的第一步是（　　）
A. 过已知点作一条直线与已知直线相交
B. 过已知点作一条直线与已知直线垂直
C. 过已知点作一条直线与已知直线平行
D. 不确定
【答案】B
【解析】根据作图方法可得第一步是过已知点作一条直线与已知直线垂直．
解：作已知点关于某直线的对称点的第一步是过已知点作一条直线与已知直线垂直，
故选：B．
2．在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．
【解析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
解：如图所示：
3．在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形．
【解析】根据轴对称的性质作图即可．
解：如图所示：
．
在下面各图中画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于l成轴对称图形．
【分析】分别找出点A、B、C关于直线l的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：△A′B′C′如图所示．
5 .利用图形中的对称点，画出图形的对称轴．
【分析】根据轴对称图形的性质来画，先从图上找出几个对称点，连接，作垂直平分对应点连线的垂线就是对称轴．
【解答】解：
知识点3 轴对称综合题（几何变换）
综合应用线段垂直平分线性质判定、轴对称的性质、平移的性质、全等三角形判定、性质解决综合问题。
【新知导学】
例3-1 .如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，5）．B（﹣4，3），C（﹣1，1）．
（1）作出△ABC向右平移5个单位的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
（3）请求△ABC的面积．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1即可；
（2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接，并写出点C2的坐标即可；
（3）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）S△ABC＝3×4﹣×2×3﹣×2×2﹣×1×4＝12﹣3﹣2﹣2＝5．
【对应导练】
1 .如图，在四边形中，分别是边上的动点．
若的周长最小，利用无刻度直尺和圆规确定点的位置(不写作法，保留尺规作图痕迹)；
在(1)的条件下，求的度数．
【答案】(1)见分析；(2)
【分析】(1)先利用四边形的内角和求得，要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，
(2)由(1)可得出进而得出即可得出答案．
（1）解：如图作出关于和的对称点，
连接，交于，交于，点即为所求，
则 即为的周长最小值．
（2）∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，同时考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，根据轴对称得出的位置是解题关键．
2．折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，发展推理能力的一种有效的方法．

（1）如图1，四边形ABCD是长方形纸片，AB∥CD，折叠纸片，折痕为EF，AE和CD交于点G．探究∠A′EF和∠CFE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得C′G经过点E，折痕为GH．探究两次折痕EF和GH的位置关系，并说明理由．
【解析】（1）结论：∠A′EF=∠CFE．利用平行线的性质翻折变换的性质证明；
（2）结论：EF∥GH，证明∠FEG=∠HGE即可．
解：（1）结论：∠A′EF=∠CFE．
理由：∵AB∥CD，
∴∠CFE=∠AEF，
由翻折变换的性质可知∠AEF=∠A′EF，
∴∠A′EF=∠CFE；
（2）结论：EF∥GH．
理由：∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠CGE，
由翻折变换的性质可知∠FEG=∠AEG，∠HGE=∠CGE，
∴∠FEG=∠HGE，
∴EF∥GH．
3．如图，已知点P在∠AOB的内部，且点P与点M关于OA对称，PM交OA于点Q，点P与点N关于OB对称，PN交OB于点R，MN分别交OA，OB于点E，F．
（1）连接PE，PF，若MN=15，求△PEF的周长；
（2）若PM=PN，求证：OP平分∠AOB．
【解析】（1）先根据轴对称的性质可得ME=PE，FN=PF，再根据三角形的周长公式即可得；
（2）先根据轴对称的性质可得，，从而可得Q=PR，再根据角平分线的判定定理即可得证．
（1）解：∵点P与点M关于OA对称，
∴ME=PE．
同理：FN=PF．
∴△PEF的周长=EP+FP+EF=ME+EF+FN=MN=15；
（2）证明：∵PN=PM，Q、R为MP，PN的中点，
∴，，
∴PQ=PR．
又∵点P与点M关于OA对称，点P与点N关于OB对称，
∴PQ⊥QA，PR⊥OB，
∴OP平分∠AOB．
二、题型训练
1.画轴对称图形在网格中的应用
1.如图，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上，请在图①②③④中分别画出另一个三角形，使它与已知的三角形关于某条直线成轴对称，并画出对称轴．
【分析】根据画出的三角形与已知的三角形关于某条直线成轴对称，分别作图，即可作答．
【解答】解：如图所示：
如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，画出线段O′A'，使O′A′与OA关于直线l成轴对称．
（2）在图②中，画出△BCD的对称轴．
（3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）取CD的中点E，作直线BE即可．
（3）利用网格取格点P，使∠MPF＝∠NPF＝45°即可．
【解答】解：（1）如图①，线段O′A'即为所求．
（2）如图②，取CD的中点E，作直线BE，
则直线BE即为所求．
（3）如图③，点P即为所求．
2.利用轴对称变换寻找全等三角形
3．如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3）．
（1）在图中△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，则C1（ _____，_____）；
（2）△A1B1C1的面积是 _____；
（3）如果要使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，那么点D的坐标是 _____．
【答案】(1)-4;(2)3;(3)3;(4)（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）;
【解析】（1）根据关于y轴的对称点的坐标特点可得点C1的坐标；
（2）根据三角形的面积公式解答即可；
（3）根据网格和全等三角形的判定即可得到符合条件的点D的坐标．
解：（1）∵点C的坐标为（4，3），△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，
所以点C1的坐标为（-4，3）．
故答案为：-4；3；
（2）△A1B1C1的面积是=3，
故答案为：3；
（3）如图所示：
要使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，那么点D的坐标是（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）．
故答案为：（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）．
4．如图，已知AD=AE，AB=AC．
（1）求证：∠B=∠C；
（2）若∠A=50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？
【解析】（1）要证明∠B=∠C，可以证明它们所在的三角形全等，即证明△ABE≌△ACD；已知两边和它们的夹角对应相等，由SAS即可判定两三角形全等．
（2）因为△ABE≌△ACD，公共点A，对应线段CD与BE相交，所以要通过旋转，翻折两次完成．
（1）证明：在△AEB与△ADC中，AB=AC，∠A=∠A，AE=AD；
∴△AEB≌△ADC，
∴∠B=∠C．
（2）解：先将△ADC绕点A逆时针旋转50°，
再将△ADC沿直线AE对折，即可得△ADC与△AEB重合．
或先将△ADC绕点A顺时针旋转50°，
再将△ADC沿直线AB对折，即可得△ADC与△AEB重合．
5．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形称为格点三角形.在网格中与成轴对称的全等格点三角形一共有__________________个.
答案：3
成轴对称的作图在计算中的应用
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），已知AD=5，△ABC关于直线l对称．
（1）求点A的坐标；
（2）若点C的坐标为（-2，-2），判断△ABC的形状，并说明理由．
【解析】（1）直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），AD=5，可得点A的坐标；
（2）根据△ABC关于直线l对称，可得BC⊥AD，BE=CE，AB=AC，根据点C的坐标，可得AE=CE=3，所以∠CAE=∠C=45°，所以∠BAC=90°，即可得出结论．
解：（1）∵直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），AD=5，
∴点A的坐标为（-5，1）；
（2）△ABC为等腰直角三角形，
理由：如图，设直线l与BC交于点E，
∵△ABC关于直线l对称，
∴BC⊥AD，BE=CE，AB=AC，
∵点C的坐标为（-2，-2），
∴点E的坐标为（-2，1），
∴AE=CE=3，
∴∠CAE=∠C=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
7．如图，已知△ABC．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1并写出各顶点的坐标．
（2）求△ABC的面积．
【解析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接；根据图示以及直角坐标系的特点写出个顶点的坐标；
（2）利用割补法求三角形的面积．
解：（1）如图所示：
A1（0，-2），B1（-2，-4），C1（-4，-1）
（2）由图可知，．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是（　　）
A. 等腰三角形 B. 菱形
C. 等腰梯形 D. 正六边形
【答案】A
【解析】根据轴对称的性质对各选项进行逐一判断即可．
解：A、没有刻度尺不能作轴对称，故本选项正确；
B、连接菱形的对角线即是对称轴，故本选项错误；
C、等腰梯形对称轴是两腰延长线的交点和对角线的交点的连线，故本选项错误；
D、连接两个对角线即是对称轴，故本选项错误．
故选：A．
2．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（　　）
A. 21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：01
【答案】C
【解析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51．
故选：C．
3．小华将一张如图所示的矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形进行图形变换，构成了下列四个图形，这四个图形中不是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，分析各图形的特征求解．
解：A、只是中心对称图形，不是轴对称图形，
B、C、D都轴对称．
故选：A．
4．如图所示的图形共有对称轴的条数为（　　）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【答案】B
【解析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．
解：相邻两边的中垂线，都是对称轴，故选B．
5．如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可．
解：如图：
共3个，
故选：B．
6 .如图，△ABE和△ADC分别沿着边AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE与DC交于点F，则∠EFC的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【答案】B
【分析】根据∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，三角形的内角和定理分别求得∠BCA，∠ABC，∠BAC的度数，然后根据折叠的性质求出∠D、∠DAE、∠BEA的度数，在△AOD中，根据三角形的内角和定理求出∠AOD的度数，继而可求得∠EOF的度数，最后根据三角形的外角定理求出∠EFC的度数．
【解析】在△ABC中，
∵∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，
∴设∠BCA为28x，∠ABC为5x，∠BAC为3x，
则28x+5x+3x＝180°，
解得：x＝5°，
则∠BCA＝140°，∠ABC＝25°，∠BAC＝15°，
由折叠的性质可得：∠D＝25°，∠DAE＝3∠BAC＝45°，∠BEA＝140°，
在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝110°，
∴∠EOF＝∠AOD＝110°，
∴∠EFC＝∠BEA﹣∠EOF＝140°﹣110°＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
7.将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是（ ）
A．100° B．104° C．108° D．112°
【答案】D
【分析】利用三角形的内角和为180°求出∠B，从而根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，再由折叠的性质得出∠ADE=∠A'DE，利用平角的知识可求出∠A′DB的度数．
【详解】解：∵∠C=120°，∠A=26°，
∴∠B=180°-（∠A+∠C）=34°，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=34°，
根据折叠的性质可得∠ADE=∠A'DE，
∴∠A'DE=∠ADE=∠B=34°，
∴∠A′DB=180°-∠ADE-∠A'DE=112°．
故选D．
【点睛】本题考查折叠的性质，注意掌握折叠前后对应角相等，另外解答本题需要用到三角形的内角和定理及平行线的性质，也要注意对这些基础知识的掌握．
8 .如图，小强拿一张正方形的纸，沿图甲中虚线对折一次得图乙，再对折一次得图丙，然后用剪刀沿图丙中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．
【详解】解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个直角三角形，展开得到结论．
故选：B．
【点评】此题主要考查了学生的动手能力及空间想象能力，解题的关键是学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有_____对．
【答案】4
【解析】关于直线OE对称的三角形就是全等的三角形，据此即可判断．
解：△ODE和△OCE，△OAE和△OBE，△ADE和△BCE，△OCA和△ODB共4对．
故答案为：4．
10．黑板上写着在正对着黑板的镜子里的像是 _____．
【答案】50281
【解析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
解：根据镜面对称的性质，因此18502的真实图象应该是50281．
故答案为：50281．
11 .如图，在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6，D为线段AC的中点，把△ABC沿BD折叠，C点的对应点为点E，若△ADE为直角三角形，则CD＝ ．
【答案】6
【分析】由折叠可得，∠CDB＝∠EDB，由∠CDE＝90°，即可得到∠CDB＝45°，∠CBD＝45°，即可得出CD＝CB．
【详解】解：由折叠可得，∠CDB＝∠EDB，
∵Rt△ADE中，∠ADE＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CDB＝45°，∠CBD＝45°，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝CB＝6，
故答案为6．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
12 .如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有 种补法．
【答案】4
【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形，即可求得答案．
解：如图，

∴补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有4种补法．
故答案为：4．
【点拨】此题考查了利用轴对称设计图案的知识．掌握如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，且对称轴为折痕所在的这条直线是解题关键．
13 .如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C、D分别在y轴、 上运动，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先找出线段关于y轴的对称线段，再过点B作这条对称线段的垂线段，这条垂线段的长度即位的最小值．
解：如下图所示，先找出点B关于y轴对称的对称点，截取，此时点D与点关于y轴对称，从而可知．

再根据垂线段最短可知，当是线段的垂线段，与y轴交于点C时，即有最小值．

∵点A的坐标为，点B的坐标为
∴点的坐标为， =6． =5，4，
∴
即
∴
∴的最小值为
故答案为：．
【点拨】本题考查线段和的最小值，掌握垂线段最短和找出线段关于y轴的对称线段时解题的关键．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）画出下列轴对称图形的对称轴．
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可．
【解答】解：如图所示：
15 .（6分）如图所示，在的正方形网格中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”. 是一个格点三角形，请你在图1，图2，图3中分别画出一个与成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影.（注：所画的三个图不能重复.）
【答案】图形见解析，答案不唯一，
【分析】根据题意画出图形即可.
【详解】答案不唯一，例如：
【点评】本题考查格点画图能力,关键在于理解题意,由题意画图.
16 .（9分）在图示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线MN与网格中竖直的线相重合．
（1）直接写出△ABC的面积；
（2）作出△ABC关于直线MN对称的△A'B'C'；
（3）在网格内找一点D，使点D到线段BC，B'C'的距离相等且DB＝DC．（在网格上直接标出点D的位置，不写作法）
【分析】（1）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（3）作线段BC的垂直平分线交MN于点D，点D即为所求．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝4×51×51×34×4＝8；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）如图，点D即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用割补法求三角形面积，属于中考常考题型．
17 .（8分）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)作出关于x轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)在x轴上作出点P，使得最短，并写出点P的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
【分析】（1）根据A（4，1），B（﹣4，﹣2），C（1，﹣3）和轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，进而写出点B1的坐标；
（2）连接B1C交x轴于点P即可使得PB+PC最短，进而可以写出点P的坐标．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
点B1的坐标为（﹣4，2）；
（2）解：如图，点P即为所求；点P的坐标：（﹣2，0）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称﹣最短路径问题，坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握旋转的性质．
18 .（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）当CF＝AB时，点E运动多长时间？并说明理由．
【分析】（1）根据余角的性质即可得到结论；
（2）如图，分点E在射线BC上移动和点E在射线CB上移动两种情况，证△CEF≌△ACB得CE＝AC＝5，继而得出BE的长，从而得出答案．
【解析】（1）∵∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD；
（2）如图，当点E在射线BC上移动时，
∵∠A＝∠BCD，∠BCD＝∠ECF，
∴∠A＝∠ECF，
在△CFE与△ABC中，
，
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7，
∴BE＝BC+CE＝12，
∴t＝12÷2＝6（s）；
当点E在射线CB上移动时，
同理△CF′E′≌△CBA（AAS），
∴CE′＝AC＝7，
∴BE′＝CE′﹣CB＝2，
∴t＝2÷2＝1（s）
总之，当点E在射线CB上移动6s或1s时，CF＝AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19 .（9分）在平面直角坐标系中，经过点M（0，m）且平行于x轴的直线记作直线y＝m．给出如下定义：①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段②将点P（x，y）关于y轴的对称点记作点P1，再将点P1关于直线y＝m的对称点记作点P2，则称点P2为点P（x，y）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”．例如：点P（3，1）关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”为点P2（﹣3，5）．
（1）点A（3，4）关于y轴和直线y＝1的“青一对称点”A2的坐标是 　 　；
（2）点B（3m+n，m﹣n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是（﹣9，5），求m和n的值；
（3）若点C（6x﹣5，2x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围．
【分析】（1）根据定义可知P2（﹣x，2m﹣y），结合所给的点代入即可求解；
（2）根据题意可得，解方程组即可求解；
（3）先求C2（5﹣6x，2m﹣2x﹣1），再由C2在第二象限，可得5﹣6x＜0，2m﹣2x﹣1＞0，则x＞，x＜m﹣，根据满足条件的x的整数解有且只有一个，得到1＜m﹣≤2，解得＜m≤．
【解答】解：（1）P（x，y）关于y轴的对称点P1（﹣x，y），P1（﹣x，y）关于直线y＝m的对称点P2（﹣x，2m﹣y），
∵A（3，4），
∴点A（3，4）关于y轴和直线y＝1的“青一对称点”A2的坐标是（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）；
（2）∵点B（3m+n，m﹣n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是（﹣9，5），
∴，
解得；
（3）点C（6x﹣5，2x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2为（5﹣6x，2m﹣2x﹣1），
∵C2在第二象限，
∴5﹣6x＜0，2m﹣2x﹣1＞0，
∴x＞，x＜m﹣，
∵满足条件的x的整数解有且只有一个，
∴1＜m﹣≤2，
解得＜m≤．
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